1

Поздняк Н.И. СПб ГБОУ №517

Изучение темы молекулярной физики « Средняя длина свободного пробега

молекул»

Физические и эксплуатационные характеристики тонкопленочных покрытий и

нанослоев, полученные методами вакуумного испарения напрямую зависят от

условий

напыления,

и,

в

первую

очередь

чистоты

и

степени

вакуума.

Современные системы откачки остаточных газов позволяют получить разряжение

на уровне 10

-12

Па в лабораторных условиях. В условиях серийного производства

такой вакуум недостижим, и приходиться работать с вакуумом 10

-4

- 10

-6

Па.

Спрашивается, насколько эти условия пригодны для получения качественных и

технологически

воспроизводимых

покрытий.

Можно

предположить,

что

не

последнюю

роль

в

этом

играет

длина

свободного

пробега,

которая,

в

свою

очередь связана с частотой столкновения отдельной молекулы газа с другими

молекулами.

Кроме

того,

молекулы,

испаряемые

из

мишени,

тоже

будут

сталкиваться между собой и молекулами остаточного газа, в условиях некоторого

снижения

степени

вакуума.

Точный

расчет

длины

свободного

пробега

невозможен

ввиду

многочисленных

факторов,

влияющих

на

ее

величину,

например

степень

вакуума,

предварительная

подготовка

стен

камеры

и

материала

мишени,

физико-химические

свойства

температуры

мишени,

температуры

проведения

технологического

процесса

и

др..

В

равновесных

условиях

поведение

молекул

разряженного

газа

подчиняется

молекулярно-

кинетической теории идеального газа.

Расстояние

между

центрами

двух

сталкивающихся

молекул

называют

эффективным

диаметром.

А

площадь

сечения

такой

молекулы

называют

эффективным сечением:

d = r

1

+ r

2

, и

2

,

2

Примем за длину свободного пробега молекулы газа величину перемещения от

одного столкновения до другого. Тогда для N-столкновений получим среднюю

длину свободного пробега:

< l > = ( l

1

+ l

2

+ l

3

+ …… + l

n

)/ N, м

Определим

приближенно

среднее

число

столкновений

молекулы

в

единицу

времени. Пусть сначала движется одна молекула, а другие неподвижны. После

каждого

соударения

направление

вектора

скорости

молекулы

изменяется,

и

тогда

траектория

движения

молекулы

представляет

собой

ломаную

линию.

Каждый участок этой линии есть путь свободного пробега. Длина пути по этой

траектории за единицу времени равна средней арифметической скорости < V

a

>. В

этом случае, объем ломаного цилиндра равен:

V

ц

=

2

< V

a

>.

Если концентрация молекул известна, то число столкновений будет:

N = V

ц

n =

2

< V

a

> n.

Среднеарифметическая

скорость

определяет

скорость

одной

молекулы

относительно других неподвижных молекул, т.е. относительно стенок сосуда. В

самом

же

деле,

двигаются

все

молекулы,

поэтому

следует

брать

среднею

относительную скорость молекулы <V

отн

>. Относительная скорость двух молекул

равна:

V

отн

= V

2

- V

1

После возведения в квадрат:

| V

отн

|

2

= | V

2

- V

1

|

2

= V

1

2

+ V

2

2

- 2 V

1

V

2

Cos

Среднее значение суммы равно среднему значению слагаемых, поэтому:

< V

2

> = < V

1

2

> + < V

2

2

> - < 2V

1

V

2

Cos

>

3

Угол

между

векторами

скоростей

двух

молекул

равновероятно

принимает

значения от 0

0

до 180

0

, поэтому величина < 2 V

1

V

2

Cos

> = 0. Принимая скорости

одинаковых молекул равными между собой, получим:

<

V

отн

2

>

=

2

<

V

2

кв

>

или

<

V

отн

>

=

<

V

а

>,

учитывая

пропорциональность < V

кв

> и < V

а

>, получим:

< V

отн

> =

< V

а

>

Такое

же

соотношение

между

относительной

и

арифметической

скоростями

можно получить исходя из закона сохранения импульсов и закона сложения

скоростей. Для этого используется переход из лабораторной системы координат в

систему

центра

масс,

т.е.

к

движению

одной

частицы

с

массой

равной

приведенной.

В лабораторной системе, т.е. относительно стенок сосуда, суммарный импульс

молекул не равен нулю. В системе центра масс (система – С) суммарный импульс

равен нулю:

Р

с

=

сп

=

n

-

c

= 0 , тогда : V

c

=

n

/

n

Для двух сталкивающихся частиц скорость центра масс:

V

c

= ( m

1

V

1

+ m

2

V

2

)/( m

1

+ m

2

)

По

правилу сложения

скоростей

(преобразование Галилея)

скорость

молекул

составляет:

В

лабораторной

системе:

V

n

=

V

cn

+

V

c

В системе центра масс: V

cn

= V

n

+ V

c

, или

V

c1

= V

1

- V

c

= V

1

- ( m

1

V

1

+ m

2

V

2

)/ ( m

1

+ m

2

) = m

2

( V

1

- V

2

)/ ( m

1

+ m

2

)

V

c2

= V

2

- V

c

= m

1

( V

2

- V

1

)/ ( m

1

+ m

2

)

4

Импульс в системе центра масс: P

cn

= m

n

V

cn

, тогда:

P

c1

= m

1

m

2

( V

1

- V

2

)/ ( m

1

– m

2

) = M

прив

( V

1

- V

2

) и

P

c2

= m

1

m

2

(V

2

- V

1

)/ ( m

1

+ m

2

) = - M

прив

( V

1

– V

2

).

Импульсы

двух

молекул

в

системе

центра

масс

равны

по

модулю

и

противоположны по направлению, т.е. сумма импульсов равна нулю.

В системе центра масс приведенная масса равна: M

пр

=m

1

m

2

/{ m

1

+ m

2

)

,

это

значит, что вместо двух сталкивающихся молекул можно рассматривать всего

одну молекулу, но с приведенной массой.

В

случае

равенства

масс

двух

молекул

получим:

М

пр

=

m/2

и

функция

распределения для относительной скорости имеет вид:

f{ V

отр

} = 4πV

2

отн

{m/4πkT}

3/2

e

-mV2/4k T

и тогда средняя относительная

скорость молекулы будет:

<V

отн

> =

отн

f{V

отн

} dV

отн

=

=

<V

a

>, где T -

абсолютная температура, К

k – постоянная Больцмана, k = 1,38*10

-23

Дж/К

R – газовая постоянная, R = 8,31 Дж/моль*К

М – молярная масса, кг/моль

< l > = < V

а

>/ N = < V

а

>/(

π d

2

n < V

а

>) = 1/

π d

2

n), где

n – концентрация молекул, 1/м

3

,

Так как значение концентрации пропорционально давлению газа, то < l > тем

меньше, чем больше давление. С другой стороны, с ростом температуры < l >

немного увеличивается:

< l > = kT/

π d

2

P), с учетом P =n k T.

5

Проведем оценку средней длины свободного пробега молекул остаточного газа

при температуре 300К для разных давлений. Пусть эффективный диаметр всех

молекул составляет приблизительно 3 ангстрема (3 * 10

-10

м). Тогда по формуле:

< l > = kT/(

d

2

P) = 1,38*10

-23

300 /(1,41* 3,14* 9*10

-20

* P) = 10,4*10

-3

/

P

получим:

Для Р = 10

5

Па, < l > = 1,04*10

-7

м

Р = 1,0 Па, < l > = 1,04* 10

-2

м

Р = 0,1 Па, < l > = 0,1 м

Р = 10

-2

Па, < l > = 1,04 м

Р = 10

-3

Па, < l > = 10,4 м

Число столкновений в единицу времени для некоторых газов можно оценить по

формуле:

N =

d

2

<Va>P/kT = 1,41*3,14*9*10

-20

P <Va >/(1,38*10

-23

*300

) = 11,0 P<V

a

>

Или по формуле: N = < V

a

>/< l >.

Среднеарифметическая скорость молекул водорода, азота, кислорода и атомов

аргона соответственно равны: 1784м/с, 477м/с, 446м/с, 398,5м/с.

Средняя длина свободного пробега при давлении Р = 10

5

Па и температуре 300К

составляет 1,04*10

-7

м.

Тогда число столкновений молекул Н

2

, N

2 ,

О

2,

и атомов Ar

соответственно равны:

1,7*10

10

, 4,6*10

9

, 4,3*10

9

и 3,8*10

9

за одну секунду

При давлении 0,1Па число столкновений соответственно составляет: 1,7*10

4

,

4,6*10

3

, 4,3*10

3

, 3,8*10

3

При давлении Р = 10

-2

Па число столкновений будут соответственно равны: 1,7*10

3

, 4,6*10

2

, 4,3*10

2

, 3,8*10

2

При давлении Р = 10

-4

Па число столкновений соответственно составят: 17, 4,6 ,

4,3, 3,8.

6

Следует указать, что в реальности данный материал лучше подходит для

описания поведения атомов инертных газов, нежели молекул, которые с большой

натяжкой могут быть приняты за одиночный атом. Кроме этого, начальная

скорость молекул изменяется по величине в результате последовательного

соударения с другими молекулами, если речь идет о термическом испарении из

нагретого испарителя, а не равновесного состояния системы.

Н.И.Поздняк, фмф