РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ.

СХЕМА КУММЕРА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ПРИЗНАКОВ СХОДИМОСТИ РЯДОВ

Часто

при

изучении

положительных

рядов

для

определения

их

сходимости

применяются признаки Даламбера и Коши, но возникает вопрос – как определить сходимость

ряда, если названные признаки не дают ответа о сходимости? Необходимо использовать

более сложные признаки, а именно – Раабе, Бертрана, Куммера. Признак Куммера является

общей схемой для получения конкретных признаков. Цель данной работы состоит в том,

чтобы рассмотреть схему Куммера для вывода из нее признаков сходимости положительного

ряда – Даламбера, Раабе и Бертрана.

Эрнст

Эдуард

Куммер внёс

вклад

в

разбор,

теорию

алгебраических

чисел,

геометрию,

теоретическую

механику.

В

анализе

он

продолжил

работы

Гаусса

по

гипергеометрическим рядам. Его имя носит прославленный признак сходимости.

Пусть дан положительный ряд:

∑

n

=

1

+∞

a

n

=

a

1

+

a

2

+…+

a

n

+…

, где

a

n

≥

0

∀

n

∈

N

.

Признак Куммера [1].

Пусть

c

1

, c

2

,

…

, c

n

,

…

будет произвольная последовательность положительных чисел, такая,

что ряд

∑

n

=

1

+∞

1

c

n

расходится. Если существует предел:

lim

n

→+∞

(

c

n

⋅

a

n

a

n

+

1

−

c

n

+

1

)

=

ρ

, то:

1)

при

ρ

>

0

ряд

сходится,

2)

при

ρ

<

0

–

расходится,3)

при

ρ

=

0

вопрос

о

сходимости ряда оставляет открытым.

Подставляя в ряд

∑

n

=

1

+∞

1

c

n

c

n

=

1

выводится признак Даламбера.

Подставляя в ряд

∑

n

=

1

+∞

1

c

n

c

n

=

n

выводится признак Раабе.

Подставляя в ряд

∑

n

=

1

+∞

1

c

n

c

n

=

n

⋅

ln n

,

n≥ 2

¿

) выводится признак Бертрана.

Признак Раабе сильнее признака Даламбера, а признак Бертрана сильнее признака Раабе.

Наиболее

сложным

является

исследование

ряда

на

условную

сходимость.

Оказывается,

что

в

некоторых

случаях

после

применения

признаков,

полученных

с

применением схемы Куммера, к исследованию ряда, составленного из абсолютных величин

исходного ряда, можно установить расходимость исходного ряда. Если в признаке Даламбера

ρ

<

0

,

а в признаке Раабе

ρ

<−

1

, то, начиная с некоторого номера, будет выполняться

неравенство

a

n

a

n

+

1

−

1

<

0

,

откуда

следует,

что

lim

n →∞

a

n

≠ 0

,

то

есть

не

выполняется

необходимое условие сходимости ряда.

Литература

1.

Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:

Учеб. для

студентов

физ.

и

мех.-мат.

спец.

вузов:

Рек.

М-вом

образования

РФ:

В

3

т.

Т.2.

/

Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, 2003. – 864 с.