МБОУ г. Астрахани «Средняя общеобразовательная школа № 6»-

- методическое объединение учителей математики -

Р Е Ф Е Р А Т

ПО ТЕМЕ: "ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ

ФУНКЦИИ В ШКОЛЕ".

Автор:

учитель

математики Горинова Татьяна Викторовна.

- Астрахань - 2018 год -

Р Е Ц Е Н З И Я

на работу учителя математики СОШ №6

Гориновой Татьяны Викторовны по

теме: " Введение понятия функции в школе".

В

работе

изложены

основные

формы

введения

понятия

функции

в

школе

в

различные

периоды

времени

преподавания

математики.

Дано

обстоятельное

методическое описание различных подходов, с выявлением достоинств и недостатков

некоторых

из

них.

Также

в

начале

работы

представлено

краткое

историческое

описание

зарождения

и

развития

самого

понятия

функции.

Приведено

большое

количество примеров и задач различного характера:

а) имеющих непосредственное отношение к жизненному опыту учащихся;

б-в) задачи алгебраического и геометрического содержания;

г) задачи прикладной профессиональной направленности.

Проведена

экспериментальная

работа

с

целью

выявления

у

учащихся

интуитивного

представления

о

функции,

которое

сформировалось

у

ребят

за

определенный период ее изучения. Сделан вывод о значении интуиции в усвоении

учениками данного понятия при первоначальном знакомстве с ним.

Вторая

экспериментальная

работа

предлагает

необычный

вариант

функциональной

пропедевтики,

в

котором

представлено

несколько

примеров

исследовательских

работ,

предназначенных

для

самостоятельного

выполнения

учащимися. Обе экспериментальные работы могут представить собой интерес для

преподавания в школе.

В

заключении

высказана

и

обоснована

мысль

о

более

строгом

научном

(теоретико-множественном) подходе к введению понятия функции в школе, особенно

на втором , более глубоком этапе изучения его в старших классах в соответствии с

все возрастающими требованиями к обучению математике.

Рецензент: заместитель директора по учебной работе

Гуржеева Н.М.

Содержание:

Введение. ..........................................................................................................................

4

I. Исторические предпосылки формирования понятия "функции". ............................

5

II. Разные формы введения понятия функции в школе: ...............................................

10

(1) Функция, как особый вид соответствия. .............................................................

10

(2) Функция, как отображение. ..................................................................................

19

(3) Функция, как бинарное отношение. ....................................................................

20

Горинова Т.В.

2

III. Характеристика вышеизложенных форм введения понятия

"функция". ...................................................................................................................

21

IV. Экспериментальная часть: .......................................................................................

22

(1) Логический и интуитивный компоненты в определении

математических понятий, в частности, понятия "функция". ...........................

22

(2) Функциональная пропедевтика. .........................................................................

24

V. Современное введение понятия функции в школе, как

"зависимости переменных величин". .......................................................................

27

VI. Применение дидактических материалов с профессиональной

направленностью при изучении в школе раздела "Функция". ..............................

33

VII. Факультативный материал к лекции в 11 классе по теме: "Новая наука-

биометрия". ...............................................................................................................

34

VIII. Заключение. .............................................................................................................

38

Литература. .......................................................................................................................

40

"Понятие

о

функции

должно

играть

основную, так сказать, руководящую роль в

курсе средней школы. Понятие это должно

быть

выяснено

учащимися

очень

рано

и

должно

пронизать

все

преподавание

алгебры и геометрии".

/Ф. Клейн/

Горинова Т.В.

3

Введение.

Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как заметили

еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет

ночь, Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца, Солнце

вместе со

всеми своими планетами вечно летит в космические дали.

Кажется,

причем здесь математика, а тем более функции и графики.

Но, как

образно заметил великий Г.Галилей (1564-1642), книга природы написана

на

математическом

языке

и

ее

буквы

-

математические

знаки

и

геометрические фигуры, без них невозможно

понять, без них тщетно

блуждание в бесконечном лабиринте. А

именно функция является тем

средством

математического

языка,

которое

позволяет

описывать

процессы движения, изменения, присущие природе.

I. Исторические предпосылки формирования

понятия "функции".

Понятие функции - основное понятие математического анализа и школьного курса

математики

-

имеет

продолжительную

историю

развития,

которую

естественно

проследить

в

рамках

основных

периодов

развития

математического

анализа.

Математический анализ, обеспечивающий метод для количественного исследования

процессов изменения, движения, зависимостей одних величин от других, исторически

оформился путем решения задач и выяснения связей между понятиями и методами,

которые применялись для этой цели. В истории развития математического анализа

прослеживаются и различаются четыре периода. Первый период, протянувшийся до

выдающихся работ Ньютона и Лейбница, охватывает 16 и первую половину 17 века.

Второй, начавшийся с работ Ньютона и Лейбница, вторую половину 17 века и весь 18

век.

Это

период

первых

шагов

анализа

бесконечно

малых

(как

называли

тогда

математический анализ) и достаточно быстрого его развития, в плане накопления

Горинова Т.В.

4

фактического,

конкретного

материала

на

протяжении

18

века.

Третий,

связанный

прежде всего с именем А.Коши, является периодом завершения первого логического

обоснования математического анализа. Он простирается с начала и до 80-х годов 19

века. Наконец, четвертый период, начавшийся с конца прошлого и начала 20 века,

представляет

собой

период

перестройки

математического

анализа

на

теоретико-

множественных идеях Г.Кантора, с одной стороны, и попытки второго его логического

обоснования на базе теории множеств, построенной на аксиоматической основе с

другой.

В

истории

развития

физико-математических

наук

выдающаяся

роль

принадлежит

17

веку,

когда

сложились

многие

науки,

и

в

первую

очередь

аналитическая

геометрия,

а

вслед

за

ней

дифференциальное

и

интегральное

исчисления, составившие основу современной математики.

На протяжении 16 и 17 веков на смену феодализму происходило становление

капитализма, что повлекло интенсивное развитие торговых связей, экономическую и

политическую

активность

нового

класса

-

буржуазии.

Быстрое

развитие

торговли

потребовало надежных дешевых путей сообщения и прежде всего водных путей. Это в

свою

очередь

потребовало

улучшения

плавательных

свойств

корабля,

его

устойчивости,

грузоподъемности,

уменьшения

амплитуды

качки

и

увеличение

скорости движения корабля. Для этого требовалось, во-первых, решение одной из

основных задач гидродинамики - задачи движения тела в сопротивляющейся среде, во-

вторых, умение вычислить объем тела, ограниченного кривой поверхностью, наконец,

умение

решать

задачи

механики

системы

материальных

точек.

К

этим

задачам

огромного практического значения и были обращены усилия крупных ученых того

времени: Галлилея, Торичелли, Ньютона и др.. Проблема определения положения

корабля

в

открытом

море

и

его

правильной

ориентации

привели

к

серьезным

теоретическим проблемам - изучению законов, управляющих движением небесных

светил. В итоге возникли задачи небесной механики, которые привели в свою очередь к

задачам

механической

оптики.

Следует

заметить,

что

Галлилей

в

это

время

уже

отказывается

от

эмпирических

методов

при

конструировании

оптических

инструментов и приступает к изучению математических законов строения, отражения и

преломления

лучей

в

линзах,

которые

его

приводят

к

классической

проблеме

дифференциального исчисления - построению касательных и кривых. Немало задач

возникает в результате расширения сети речных путей. Строительство каналов, плотин

и

шлюзов

требует

знание

основ

статики

и

динамики

жидкостей,

т.е.

основ

гидротехники.

Развитие

горной

промышленности

и

связанные

с

этим

вопросы

сооружения

подъемных

механизмов,

прокладка

штолен,

устройство

вентиляции

приводят

к

математическому

расчету

воротов,

к

применению

триангуляции,

к

исследованию

законов

движения

воздуха.

В

связи

с

развитием

городов

совершенствуется

строительная

техника,

которая

в

свою

очередь

ставит

вопросы

прочности

материалов,

сопротивления

твердых

тел,

а

эти

последние

приводят

к

задачам теории экстремумов.

Многочисленные

и

продолжительные

войны

привели

к

быстрому

развитию

военной

промышленности,

что

привело

в

свою

очередь

к

математическому

исследованию законов движения тел, брошенных под углом к горизонту. Описанные

практические проблемы по своему содержанию разнообразны, тем не менее существо

большинства этих проблем едино, оно заключается в необходимости иметь аппарат для

математического

исследования

не

только

состояний,

но

и

"процессов"

движений .

Математическое же исследование "процесса" означает изучение соотношения, связи

между

некоторыми

изменяющимися

величинами,

которое

и

является

формальным

математическим отражением самого изучаемого явления.

Горинова Т.В.

5

Все в природе находится в состоянии непрерывного изменения и развития. В

практической деятельности человеку постоянно приходится иметь дело с величинами,

изменяющимися в зависимости от времени и других условий, т.е. с переменными

величинами.

Отсюда

и

возникла

идея

переменной

величины.

Внедрение

понятия

переменной величины в математику и физику имело большое значение для развития

как этих наук, так и всего естествознания и техники. Продолжая дело Декарта, его

предшественников и современников, великие математики 17 века Ньютон и Лейбниц

завершили

создание

самой

важной

ветви

высшей

математики,

так

называемого

"математического анализа", в котором понятие переменной величины и функции имеют

первостепенное

значение.

С

введением

понятия

переменной

величины

начинается

новый, важнейший период в истории развития математики. Вот почему в "Диалектике

природы" Фридрих Энгельс писал:

"Поворотным

пунктом

в

истории

математики

была

Декартова

переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и

диалектика."

В

математике

идея

функции

родилась

с

понятием

переменной

величины.

На

первых

ступенях

своего

развития

понятие

функции,

как

и

понятие

переменной

величины, было тесно связано с геометрическими и механическими представлениями.

У Декарта ( и Ферма) представление о переменной величине появилось в связи с

изучением

геометрических

вопросов,

с

рассмотрением

изменения

ординаты

в

зависимости от изменения абциссы точки, описывающей определенную линию. У

Ньютона

наглядное

представление

о

переменной

величине

родилось

в

связи

с

изучением вопросов механики и величин, тесно связанных с течением времени.

Термин

"функция"

(

от

лат.

functio

-

исполнение,

совершение)

ввел

впервые

Лейбниц в 1694 году. Функциями он называл абциссы, ординаты и другие отрезки,

связанные

с

точкой,

описывающей

некоторую

линию.

Дальнейшее

развитие

математического

анализа

привело

уже

в

первой

половине

18

века

к

переходу

от

наглядной геометрической или механической точки зрения на функцию к точному ее

"аналитическому", т.е. алгебраическому определению.

В 1718 году известный швейцарский математик Иоганн Бернулли писал:

"Функцией

переменной

величины

называется

количество,

составленное

каким угодно способом из этой переменной и постоянных."

Аналитическое определение дал ученик Иоганна Бернулли, академик Леонард Эйлер,

который

в

знаменитом

своем

произведении

"Введение

в

анализ",

изданном

в

Петербурге в 1748 году, писал:

"Функция

переменной

величины

есть

аналитическое

выражение,

составленное каким-нибудь способом из этой переменной величины и из

чисел, либо из постоянных величин".

Таким образом, согласно точки зрения Бернулли и Эйлера, каждая функция должна

быть выражена аналитически; т.е. некоторой формулой, например: y=ax+b; y=ax

2

+bx+c;

y=x

3

и т.д..

Такая точка зрения на функцию сохранилась на протяжении всего 18 века. Это

объясняется

тем,

что

математические

формулы

были

наилучшим

и

вполне

достаточным

средством

для

исследования

известных

в

ту

эпоху

функций.

Таким

образом, Эйлер подготовил для математического анализа необходимый запас функций,

представленных с помощью аналитических выражений. Надо отметить что в результате

такого

оперативно-аналитического

понятия

функции

класс

функций

в

понимании

Горинова Т.В.

6

Эйлера был достаточно ограниченным. Эйлер, в частности, предполагал возможным

представление степенным рядом всех без исключения функций.

Наконец, когда в 1755 г. он вновь возвращается к вопросу о трактовке понятия

функции, то предлагает уже более общее определение:

"когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при

изменении

последних

и

сами

они

подвергаются

изменению,

то

первые

называются функциями вторых".

Несмотря на более прогрессивный характер данного определения, оно все же

является

достаточно

расплывчатым,

так

как

не

содержит

точных

указаний

на

допустимый характер зависимости одних величин от других.

В

истории

развития

математики

начало

19

века

именуется

началом

развития

современной

математики.

Была

начата

работа

по

логическому

обоснованию

математического

анализа

чешским

математиком

Больцано

и

блестяще

завершена

французким

математиком

Августином

Коши.

Развитие

науки

потребовало

более

широкого взгляда на понятие функции. В основу этого понятия была положена идея о

соответствии двух множеств.

Уже

в

1817

году

в

труде

"Чисто

аналитическое

доказательство" Больцано

определяет функцию как зависимость, заданную любым законом, лишь бы каждому

значению одной из переменных соответствовало определенное значение другой . В

"Теории функций" (1830 г.) Больцано писал:

"Дозволено мыслить закон зависимости одного числа от другого каким мы

хотим".

В 19 веке значительно расширился предмет математики, усилилось внимание к

логическому

обоснованию

теорий,

а

так

же

расширилась

область

приложений

математики,

в

особенности

матанализа,

который

уже

с

начала

века

начинает

преобразовываться

в

общую

теорию

функций,

где

понятие

функции

становится

основным

его

понятием,

теоретические

исследования

которого

требовали

новых

аналитических методов, основанных на ясных и четких положениях. Таким методом

оказался метод пределов, в основе которого лежало понятие предела переменной и

функция.

В

течение

1821-1828

годов

вышли

три

книги

курса

лекций

А.Коши

по

"Алгебраическому

анализу",

в

которых

математический

анализ

впервые

последовательно строился на основе теории пределов. Роль А.Коши в обосновании

математического

анализа

трудно

переоценить.

Его

книги

посвящены

изучению

элементарных функций действительного и мнимого аргументов, изучению сходимости

рядов, изучению степенных рядов, понятия бесконечно малой на основе динамической,

процессуальной

ее

сущности,

а

также

изучению

непрерывных

функций.

Таким

образом,

он

поставил

и

решил

задачу

относительно

строгого

изложения

дифференциального и интегрального исчисления на основе учения о пределах.

Бернарду

Больцано

так

же

принадлежит

важная

роль

в

вопросе

логического

обоснования

математического

анализа.

Именно

в

его

работах

впервые

делается

попытка усовершенствовать матанализ с помощью теории множеств.

Проследим, каким образом отразилось логическое обоснование математического

анализа на основном его понятии, понятии функции.

В результате открытия Фурье, (о нем мы прежде всего вспоминаем как об авторе

"Аналитической

теории

теплоты"

(1822

год)

-

это

математическая

теория

теплопроводности; книга стала источником всех современных методов математической

Горинова Т.В.

7

физики) математики уже в начале века убедились в том, что в понятии функции

надлежит строго различать содержательное математическое понятие и формальный

аппарат, являющийся лишь способом выражения первого.

До

работ

Фурье

понятие

функции

и

понятие

аналитического

выражения,

как

правило,

не

различалось.

С

появлением

работ

Фурье

произошло

разветвление

современного понятия функции. Дело в том, что еще в 18 веке математики чувствовали

связь

между

различными

частями

функции,

разлагаемой

в

ряд

Тейлора,

так

как

сознавали, что знание "малой дуги" кривой позволяет узнать всю кривую. Открытие же

Фурье

показало,

что

"можно

охватить

единой

аналитической

формулой,

одним

уравнением непрерывную линию, составленную из отрезков различных прямых и дуг

различных

окружностей".

Таким

образом,

одна

часть

математиков

стремилась

в

определении функции сохранить взаимную зависимость частей кривой, что привело к

построению

современной

теории

функций

комплексной

переменной,

а

другая

обнаружив

что

"открытие

Фурье

и

изучение

значений

аналитических

выражений

разрушает всякую связь между различными частями кривой", пришла к выводу, что

функция должна каким-то образом быть задана при каждом значении аргумента и

только. В результате это привело к новому определению понятия функции и послужило

основой для теории функций действительной переменной.

Надо

было

совершенно

отказаться

от

доминирующей

роли

аналитического

выражения

в

определении

функции

и

рассматривать

последнее

как

совокупность

численных значений для различных значений аргументов.

Н.И.Лобачевский, будучи ярым противником формализма в математике, понимал,

что

отождествление

понятия

функции

с

аналитическим

аппаратом,

являющимся

орудием исследования первого, тормозит нужное математике и прикладным наукам

развитие этого понятия. Являясь по своим философским взглядам материалистом,

Н.И.Лобачевский

считал,

что

исходные

понятия

помещены

в

основание

науки

не

произвольно, а являются абстракциями свойств реальных объектов или отношений

реального мира. Таким образом, он требовал реальных оснований для науки и изгнания

из науки произвольных допущений. В работе "Об изчезании тригонометрических строк"

он пишет:

"Это общее понятие требует, чтобы функцией от x называть

число,

которое дается для каждого x и вместе с x посте-

пенно изменяется.

Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или

условием, которое подает

средство испытывать все числа и выбирать

одно

из

них;

или,

наконец,

зависимость

может

существовать

и

оставаться неизменной".

В этом определении ясно выражена идея наличия функциональной зависимости y от x,

где основным является факт, что каждому x соответствует определенный y, при этом не

придается

значение

тому,

каким

способом

задается

такое

соответствие

-

"аналитическим выражением" или "условием". Лобачевский акцентирует внимание на

том, что если функция (или способ отыскания ее значений) не задана аналитическим

выражением, значит должно быть указано некоторое условие или правило, которое

позволяет испытывать каждое значение аргумента x.

Л.Дирихле вовсе отказывается от этого правила, полагая, что совершенно неважно,

каким способом было установлено это соответствие, наконец, оно может представлять

собой

словесное

выражение.

Благодаря

этой

формулировке

("y

есть

функция

переменного x, определенная на отрезке a



x



b, если всякому значению переменной x,

содержащемуся

в

этом

отрезке,

соответствует

вполне

определенная

величина

переменной y, причем совершенно неважно, каким именно способом установлено

указанное соответствие") в первой половине 19 века удалось выделить отдельные

Горинова Т.В.

8

классы

функций

(непрерывные,

диффереренцируемые)

и

в

наибольшей

мере

расширить

возможности

приложения

данного

понятия.

Это

определение,

предложенное Дирихле, почти до конца века принималось всеми математиками без

каких-либо возражений.

С конца 19 и начала 20 века началась активная перестройка математического

анализа на теоретико-множественных идеях Георга Кантора. Теория множеств стала

фундаментом

всей

современной

математики

и

начала

проникать

в

самые

разнообразные науки как естественные, так и гуманитарные.

Перестройка

математического

анализа

на

теоретико-множественной

основе

определила и взгляд на основные его понятия в частности, и понятие функции. В

настоящее время существует несколько вариантов определения понятия функции. В

частности,

понятие функции

может

выступать

как первичное,

неопределяемое

математическое

понятие.

При

другом

варианте первичным

считается

понятие

отображения, под функцией же понимается отображение одного числового множества в

другое. Понятие функции можно трактовать и как особое отношение, установленное

между элементами множеств. Наконец, функция может быть определена как некоторое

соответствие между элементами множеств. В итоге достаточно отчетливо выделяются

три подхода в трактовке понятия функции. Первая точка зрения на общее понятие

функции вполне состоятельная. Так, еще в 1914 году в своей монографии по теории

множеств

Ф.Хаусфорд

писал,

что

"понятие

функции

такое

же

основное

и

первоначальное,

как

и

понятие

множества.

Функциональное

отношение

так

же

строится из пар элементов, как и множество из отдельных элементов". Уже в наше

время

известный

специалист

по

математической

логике

А.Черч

замечает,

что

" В

конечном счете понятие функции... - приходится считать первоначальным...".

А.Н.Колмогоров и С.К.Фомин, анализируя определения функции, встречающиеся в

анализе, приходят к следующему общему понятию функции:

"пусть

M

и

N

-

два

произвольных

множества.

Говорят,

что

на

M

определена

функция

F,

принимающая

значения

из

N,

если

каждому

элементу x из M поставлен в соответствие один и только один элемент y

из N. В случае множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае

числовых

множеств)

вместо

термина

"функция"

часто

пользуются

термином "отображение", говоря об отображении одного множества на

другое".

Третий

подход

основан

на

рассмотрении

функции

как

соответствия,

установленного между множествами произвольной природы объектов. Так, еще в 1915

году

Н.Н.Лузин

во

введении

к

своей

докторской

диссертации

"Интеграл

и

тригонометрический

ряд"

писал,

что

теория

функций

действительной

переменной

отправляется

от

самого

общего

определения

понятия

функции,

как

соответствия.

Позже в своей книге по теории функций действительной переменной он указывает, что

"По своему идейному содержанию понятие функции вполне совпадает с понятием

соответствия", и далее "функция F(e),определенная на множестве M, есть не что иное,

как просто соответствие различным элементам множества M некоторых элементов

множества N".

Аналогично трактуется понятие функции в книге Л.Шварца, который пишет:

"Пусть заданы два множества E и F. Отображение E в F, или функцией,

определенной на E со значениями в F, называется соответствие f, которое

каждому элементу x из E относит некоторый элемент из F, обозначаемый

через f(x)."

Такая точка зрения на понятие функции основательно утвердилась в математической

литературе. Вместе с тем не утратил своего значения и первый подход.

Горинова Т.В.

9

II. Разные формы введения понятия функции в школе.

(1) Функция, как особый вид соответствия.

В

школьные

программы

понятие

функции

включено

относительно

недавно.

Существенное влияние на этот шаг в совершенствовании математического образования

оказали идеи известного педагога - математика Ф.Клейна (1849-1925 гг.), убежденного

в ведущей роли этого понятия и в математике-науке и в обучении математики.

Идея единства математической науки, составляющая основное ядро исследований

Н.Бурбаки, по существу была высказана еще Ф.Клейном, который считал понятие

функции центральным понятием всей математики:

"Какое же понятие в современной математике доминирует? Это есть

понятие

о

функции.

Изучение

функции

составляет

предмет,

можно

сказать,

всей

высшей

математики;

установление

функциональной

зависимости

между

различного

рода

факторами

составляет

задачу

прикладной математики."

И еще:

"Понятие о функции должно играть основную, так сказать, руководящую

роль

в

курсе

средней

школы.

Понятие

это

должно

быть

выяснено

учащимися очень рано и должно пронизать все преподавание алгебры и

геометрии."

С точки зрения Ф.Клейна, всякое научное знание не может быть усвоено школьниками

без

обращения

к

наглядности.

Поэтому

трактовка

понятия

функции

с

помощью

геометрических образов является, по мнению Ф.Клейна, наиболее целесообразной в

школьном обучении.

"Понятие функции в геометрической форме должно быть вообще душой

школьного математического образования."

Ранее действующая школьная программа по математике, основой которой является

теоретико-множественная

концепция,

позволяла

широко

трактовать

все

основные

математические понятия, в том числе и понятие функции. Кроме того, теоретико-

множественный подход дает возможность излагать его на достаточно высоком уровне

строгости. Из нескольких возможных вариантов введения понятия функции авторы

того школьного учебника избрали определение функции как особого соответствия.

Трактовка понятия функции, принятая в те годы в курсе алгебры восьмилетней школы,

может быть представлена следующей логической схемой:

Множество

Упорядоченная пара

элементов множества

Прямое произведение

множеств

Соответствие

Функция Отношение

Горинова Т.В.

10

Алгебраическая операция

В школьных учебниках эта логическая схема не выдерживалась полностью. В

частности, понятие прямого произведения множеств не вводилось совсем; понятие

соответствия не определялось (а только пояснялось); понятие отношения не выступало

в форме особого соответствия; понятие алгебраической операции рассматривалось в

старших классах только факультативно.

Однако

опыт

экспериментального

обучения

свидетельствует

о

том,

что

такое

упрощение

в

логике

рассмотрения

понятия

функции

не

оправдано;

доступность

изложения в школе общего понятия функции в достаточно полном соответствии с

данной схемой не вызывает сомнений. По-видимому, более строгое изложение этого

вопроса в школьном курсе алгебры - дело недалекого будущего.

Я остановлюсь на методе введения понятия функции, как соответствия между

двумя множествами, расскажу о нем более подробно.

Сначала

(см.

на

схему,

приведенную

выше)

вводится

понятие

"прямого

произведения множеств". Ознакомление школьников с понятием прямого произведения

множеств можно начать с рассмотрения следующей реальной ситуации:

трикотажная

фабрика

изготовляет

мужские

полуверы,

женские

костюмы, кофты и платья следующих расцветок: бордо, синяя, голубая,

зеленая,

коричневая,

серая.

Обозначим

через

A

множество

изделий:

A={мужской

полувер,

женский

костюм,

кофта,

платье},

а

через

множество

B-множество

предлагаемых

расцветок:

B={бордо,

синяя,

голубая, зеленая, коричневая, серая}. Посмотрим, какие изделия можно

получить, учитывая возможные их расцветки. Для этого составим список

всех пар из элементов множества A и множества B. Получим множество

C упорядоченных пар (a;b) элементов множеств A и B. Вот несколько

элементов

множества

C:

(полувер-бордо),

(костюм

женский-бордо),

(платье-зеленое),

(платье-серое),

(кофта-

-серая).

Каждая

такая

пара

может

быть

изображена

в

виде

графа

(пары

точек,

соединенных

стрелкой).

Итак, мы имеем здесь дело с особым множеством, составленным из элементов двух

данных множеств. Такое множество называется прямым (декартовым) произведением

двух множеств. Теперь учащимся нетрудно усвоить и следующее общее определение:

"Прямым

произведением

множеств

A

и

B

называется

множество,

элементами

которого

являются

все

упорядоченные

пары,

в

которых

Горинова Т.В.

11

первым

компонентом

является

элемент

из

A,

вторым

компонентом

-

элемент

из

B.

Прямое

произведение

записывается

таким

образом:

C=A*B={(x;y)|x

Є

A, y

Є

B}."

Далее можно рассмотреть еще один пример:

Пусть

A

1

-множество

целых

неотрицательных

чисел,

а

B

1

-множество

натуральных

чисел,

т.е.

A

1

={0,1,2,3,...},

а

B

1

={1,2,3,...}.

Вот

несколько

элементов

множества

A

1

*B

1

: (0;1),(0;2),(1;2),(1;1),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3) и

т.д.

На этом примере можно еще раз проиллюстрировать понятие упорядоченной пары. В

отличие

от

равенства

множеств

{0;1}={1;0}

для

соответствующих

пар

имеем:

(0;1)=(1;0); это видно и из того, что (0;1)

Є

A

1

*B

1

, а (1;0)

Є

A

1

*B

1

в данном случае.

Может случиться, что множества A и B будут одинаковы. Рассмотрим следующий

пример:

Фабрика канцелярских товаров изготовляет отдельно корпус и колпачок

для авторучек следующих цветов: белый, красный, зеленый, оранжевый.

Обозначим через A множество цветов корпуса ручки, через B - множество

цветов

колпачка.

В

данном

случае

A=B={белый,

красный,

зеленый,

оранжевый}. Можно составить список авторучек различных расцветок.

Объединяя всеми возможными способами цвет из A с цветом из B, получим

элементы

прямого

произведения

множества

A

самого

на

себя.

Оно

называется прямым или декартовым квадратом и обозначается: A*A=A

2

.

Из этого примера видно: каждая пара прямого произведения упорядочена; покупатель

отличит авторучку с красным корпусом и белым колпачком от авторучки с белым

корпусом и красным колпачком.

Для описания прямого произведения удобен и геометрический язык. При этом

элементы

множества

A*B

называют

точками.

Например,

если

Z=(x;y),

то

x

Є

A

называют абциссой, а y

Є

B - ординатой точки Z. Эта терминология понятна, если

обратить

внимание

на

то,

что

множество

точек

плоскости

является

прямым

произведением

R*R,

где

R

-

множе ст во

действительных

чисел.

Поэтому,

составляя,

например,

прямое

произведение

множеств

A

1

={1;2;3}

и

A

2

={4;5;6;7},

полезно

рассмотреть

такой рисунок. Множество всех точек пересечения

лучей

есть

геометрическая

модель

множества

A

1

*A

2

. По этому рисунку нетрудно установить и

число

элементов

(пар)

прямого

произведения

данных множеств; в данном случае их двенадцать.

Кроме

указанных

выше

примеров

прямого

произведения

множеств,

полезно

у каз ат ь

учащимся и -13- на следующие:

1) Если A - множество точек окружности, а

B

-

множество,

состоящее

из

отрезка

длиной

h,

то

A

х

B

-

при

определенном

взаимном расположении в пространстве

элементов

множеств

A

и

B

есть

поверхность цилиндра.

2) Если A - множество точек круга, а B -

множество, состоящее из отрезка длиной

h, то A

х

B есть цилиндр.

Горинова Т.В.

12

Понятие

соответствия

может

быть

введено

при

рассмотрении

следующей

конкретной ситуации.

Рассмотрим два множества: первое (А), состоящее из трех учащихся, и второе (B),

состоящее из четырех городов. Чтобы получить прямое произведение этих множеств,

надо составить все пары вида (ученик; город). Из множества всех таких пар выберем

лишь те, которые "связывают" каждого ученика с городом, где он бывал. Очевидно, что

множество

отобранных

пар

(ученик-город,

где

он

бывал)

будет

являться

подмножеством прямого произведения A

x

B. Пусть, например, элементами этого нового

множества являются пары: (Коля;Москва), (Коля;Ленинград), (Лена;Одесса). Список

элементов этого множества можно заменить следующей таблицей:

Говорят, что данная таблица задает определенное соответствие между элементами

множества А и элементами множества В. Итак, соответствие F определяется как тройка

множеств (С;А;В), где С является подмножеством прямого произведения множеств А и

В: F=(С;А;В), где С А

х

В.

В

данной

ситуации

соответствие

образует

следующая

тройка

множеств:

C

-

множество пар (ученик; город, где он бывал), А - множество учеников, В - множество

городов.

При

этом

множество

А

называется

областью отправления

соответствия;

множество

В

- областью прибытия соответствия. Множество, состоящее из первых

компонентов каждой пары множества C, называют областью определения соответствия;

множество, состоящее из вторых компонентов каждой пары из С,- областью значений

соответствия.

В

данном

примере

областью

отправления

соответствия

является

множество,

состоящее из всех трех указанных учащихся, областью прибытия - множество из

четырех названных городов. Областью определения соответствия является множество

всех учащихся (исключая Ваню, ни разу не бывавшего ни в одном из указанных

городов), областью значений - множество всех городов, исключая город Курск, в

котором никто из этих ребят не бывал. Ясно, что имя "Ваня" и название города "Курск"

не будут использованы при составлении пар множества С.

Соответствие может быть установлено не только между двумя множествами, но и

внутри самого множества: F=(С;А

2

). Например, заметив, что последняя буква названия

города Орел является первой буквой слова "Липетск", отыщем на множестве А={Орел,

Липетск, Киев, Красноярск, Ленинград, Луганск, Владивосток, Алма-Ата} все пары,

обладающие таким же свойством. Для наглядности поступим следующим образом:

напишем все названия, затем проведем стрелку от слова "Орел" к слову "Липетск" и,

поступая таким образом дальше, установим все названия городов, находящихся в

данном соответствии.

Орел Липецк

Горинова Т.В.

13

Ленинград Киев Красноярск

Луганск Владивосток Алма-Ата

Мы видим, что:

а)

названия

городов,

находящихся

в

данном

соответствии,

обязательно

связаны стрелкой; и противном случае мы не можем указать порядок, в

котором берутся элементы в паре из множества C;

б) Киев находится в данном соответствии с Владивостоком, Владивосток с

Киевом, следовательно, некоторые элементы на схеме могут соединиться

двумя стрелками противоположного направления;

в)

название

Красноярск

находится

в

соответствии

само

с

собой,

это

отражается на схеме с помощью одной стрелки: "выходящей" из этого

слова и "входящей" в него; здесь две стрелки заменены одной, так же, как

это сделано; например, и в названии города "Алма-Ата".

Множество пар С соответствия вида F=(С;А;В) или F=(С;А

2

) называется графиком

этого соответствия. Это определение графика является обобщением принятого в школе

определения графика. График функции, в традиционном его понимании, есть не что

иное, как геометрический образ множества пар С (связанный к тому же лишь с одним

из способов задания особого соответствия, называемого функцией).

В связи с возможностью совпадения области отправления и области определения

этого соответствия (или с возможностью совпадения области прибытия и области

значения) соответствия подразделяются на "всюду" (и "не всюду") определенные, на

"сюрьективные" и "несюрьективные".

Соответствие

называется всюду определенным, если область отправления этого

соответствия совпадает с областью его определения, т.е.



х

Є

A,



y

Є

B | (x;y)

Є

C.

Соответствие

называется сюрьективным,

если

область

прибытия

этого

соответствия совпадает с областью значений, т.е.



y

Є

B,



x

Є

A | (x;y)

Є

C.

Рассматривая

соответствия

в

зависимости

от

того,

как

образуются

пары

из

элементов множеств A и B, нетрудно обнаружить четыре возможные разновидности

соответствий: много - многозначные, много - однозначные, одно - многозначные, одно -

однозначные. Заметим, что название видов соответствия хорошо отражают суть дела,

но

их

не

следует

считать

математическими

терминами,

обязательными

для

запоминания учащихся.

Остановимся на последнем виде соответствия. Одно - однозначное (или взаимно

однозначное)

соответствие

характеризуется

тем,

что

оно

является

всюду

определенным,

сюрьективным

и

таким,

что

пары

с

различными

первыми

компонентами имеют различные вторые компоненты. Таково, например, соответствие

вида

F={(x;y)

|

x

Є

R,

y

Є

R,x+1=y}.

Мы

видим,

что

понятие

соответствия

не

принадлежит к числу основных понятий; тем не менее в курсе алгебры 6 класса тех

Горинова Т.В.

14

лет, оно не определялось, а выяснялось на достаточно большом числе конкретных

примеров.

Изучение

понятия

соответствия

полезно

начать

с

беседы

примерно

такого

содержания:

"В

жизни

мы

часто

встречаемся

с

такими

выражениями:

"места

в

зале

кинотеатра

соответствуют

купленным

билетам",

"купили

костюм

соответствующего размера", "поезда приходят на станцию в соответствии с

установленным

расписанием"

и

т.д.

Здесь

мы

имеем

дело

с

различными

множествами

различных

элементов:

множество

мест

в

зрительном

зале

и

множество билетов в театр, множество костюмов и множество стандартных

размеров и т.д. С помощью понятия соответствия можно устанавливать связь

между элементами различных множеств"

Чтобы

раскрыть

школьникам

содержание

этого

понятия,

полезно

воспользоваться

конкретными примерами:

1) Рассмотрим два множества; A={ромашка, гвоздика, незабудка} -множество названий

цветов и B={белый, красный, голубой, зеленый} - множество названий окраски их

лепестков.

ромашка

красный

гвоздика

белый

незабудка

голубой

зеленый

Какой цвет имеют лепестки ромашки? Чтобы показать, что они белые, от названия

"ромашка" - элемента множества A проводят стрелку к элементу множества B -

слову "белый". Гвоздика может иметь как белые, так и красные лепестки. Поэтому

от названия цветка "гвоздика" проводят две стрелки к соответствующим элементам

множества B - к словам "красный" и "белый". Какой цвет соответствует лепестку

незабудки (голубой). Показать стрелкой. По рисунку видно, что в множестве А нет

элемента, которому соответствует элемент "зеленый" множества В, так как к нему не

подведена стрелка. С помощью стрелок мы установим соответствие между данными

множествами А и В.

2)

Рассматривая

множество

А={25;36;42;54;61},

где

каждому

двузначному

числу

поставлена в соответствие сумма его цифр (множество В), выясняем: а) какой

элемент

множества

В

соответствует

числу

25,

числу

54?

Почему?

б)

Какому

элементу

множества

А

соответствует

число 6, число 9 из множества В? Почему?

Далее

говорится

о

том,

что

каждую

стрелку

на

соответствующей

схеме

мы

можем

заменить

упорядоченной

парой

чисел, поставив в записи на первое место

элемент

множества

А,

а

на

второе

-

элемент множества В: (25;7);(36;9);(42;6);

(54;9);(61;7).

3) Даны два отрезка АВ и СD. Между их

точками установлено такое соответствие:

Горинова Т.В.

15

каждой точке x

Є

АВ соответствует точка x

1

Є

CD, которая лежит на перпендикуляре,

проведенном из точки х к CD; х



х

1

. Такая точка отрезка СD соответствует точкам

A; Y; D отрезка AB? На чертеже стрелки не ставятся, а в тетрадях учащиеся

записывают: A



C - и читают: точке A соответствует точка C; Y



Y1; B



D. Как

построить точку отрезка CD, соответствующую точке M отрезка AB? Какой точке

отрезка

AB

соответствует

точка

D?

Как

построить

точку

отрезка

AB,

которой

соответствует точка N

1

отрезка CD?

В итоге внимание учащихся обращается на то, что соответствие может быть

установлено

между

элементами

различных

множеств.

Соответствие

между

двумя

множествами может быть задано различными способами: стрелками, парами или по

определенному правилу, как в примерах с геометрическими фигурами.

Отметим,

что

в

школьном

курсе

алгебры

не

используются

понятия

"область

отправления"

и

"область

прибытия

соответствия".

В

дальнейшем,

как

правило,

используются только соответствия, всюду определенные.

Сейчас предварительно рассмотрим основные понятия, связанные с трактовкой

функции

как

особого

соответствия.

Прежде

всего

отметим,

функцией

(или

функциональными соответствиями) называют всякое много-однозначное или взаимно

однозначное соответствие.

Таким образом, тройка множеств F=(C;A;B) называется функцией, если:1) C



AxB;

2) F - много-однозначное или взаимно однозначное соответствие.

Из выше сказанного ясен и смысл терминов "область отправления функции",

"область

прибытия

функции",

"область

определения

функции",

"область

значений

функции".

Наряду с известными обозначениями функции применяются так же символы:

1) f=(C;A;B); 2) функция f с областью определения А и значениями из В может

обозначаться символом А



В или с помощью переменных х и у: х

Є

А, у

Є

В. В этом

случае говорят: "f-функция аргумента х или переменной х". При этом элемент х

называют значением аргумента, элемент у - значением функции. Область определения

функции называют так же областью значений аргумента. Вместо у для обозначения

значений

функции

часто

применяется

символ

f(x);

в

этом

случае

символически

функция может быть обозначена так: х f(x) или, например, f(x)=x

2

. Такое обозначение

удобно при вычислении значений функций, например: f(5)=25; f(-1/2)=1/4 и т.д. Здесь

символом f(x) обозначено значение функции на элементе х. Таким образом, в паре (х;y)

Є

С элемент у является значением f(x) функции на элементе х, взятом из области

значений

аргумента

(или

переменной).

Тот

факт,

что

функция

имеет

областью

отправления множество А и областью прибытия множество В, выражают так же

словами "Функция f определена "в" А и принимает свои значения "в" В (см. рис.).

Предлог

"в"

в

данном

предложении

является

термином,

означающим,

что

области

отправления

и

определения

(прибытия

и

значений)

могут

не

сов-

падать.

Если

функция

f

является

всюду

определенной, то говорят, что функция f

"определена

на

A";

е сли

фу н к ц и я

сюрьективна,

то

говорят,

что

о н а

"принимает свои значения на В".

Всюду

определенную

фу н к ц и ю

называют отображением. Естественно, что можно выявить два вида отображений:

отображение некоторого множества А "на" множество В и отображение некоторого

множества А "в" множество В. В первом случае в множестве В ( множестве значений

Горинова Т.В.

16

функции) нет "свободных элементов", не находящихся в данном функциональном

соответствии

с

элементами

множества

А.

Во

втором

случае

такие

элементы

в

множестве В могут быть (а могут и не быть). И в том, и в другом случае множество А

не имеет "свободных" от данной функциональной связи элементов. Таким образом,

отображение

"на"

есть

в

то

же

время

и

отображение

"в"

(обратное

утверждение

неверно).

Тождественность

понятий

всюду

определенной

функции

и

отображения

оказывается

особенно

полезной

для

изучения

точечных

множеств.

При

трактовке

функции как особого соответствия термины "функция" и "отображение" могут и не

являться

синонимами.

Отображениями

в

этом

случае

являются

только

всюду

определенные

функции.

При

принятой

в

те

годы

в

школьном

курсе

математики

трактовке

функции

как

особого

соответствия

термин

"отображение"

является

синонимом термина "функция". Такое ограничение имеет определенный смысл для

школьного обучения. Изучая, например, функцию, задающую закон прямолинейного

движения v(t)=s/t, обычно нет необходимости изучать поведение функции в точке t=0

(не принадлежащей области определения этой функции). В частности, исключая из

рассмотрения точку t=0, мы можем говорить о функции v(t)=s/t, как о непрерывной

функции;

рассматривая

же

v(t)=s/t

на

множестве

всех

действительных

чисел,

мы

вынуждены были бы характеризовать ее как разрывную, что усложняло бы решение

многих конкретных задач. Соответствия могут быть заданы на множествах различной

природы, значит, и функция как частный случай соответствия так же может иметь

своей областью определения и областью значений различные множества, например,

множества людей, предметов, событий, чисел, точек и т. д.

Если

функциональное

соответствие

установлено

между

элементами

числовых

множеств, то такую функцию называют числовой.

Общее понятие функции вводится впервые в курсе алгебры 7 (или в 6 классе в

прошлом) класса. Как и при введении понятия соответствия, содержание понятия

функции раскрывается при рассмотрении конкретных упражнений. Так, например,

рассматривая соответствие между множеством учащихся класса и множеством городов

(поселков), в которых родился каждый из учащихся, мы имеем дело с соответствием,

называемым функцией. Функцией является также соответствие между множеством

учащихся, выполнявших контрольную работу, и множеством оценок и т.п.

Особого

внимания

заслуживает

рассмотрение

примеров

геометрического

содержания. Так, например, можно использовать следующую серию упражнений:

1)

Учащимся

предлагается

изучить

соответствие

,

изображенное

на

рисунке,

и

ответить на следующие вопросы:

а) Какая точка дуги АВ соответствует

точке

С,

точке

У

дуги

С D?

Учащие ся

записывают:

С



А;

Y



Y

1

.

б) Какой точке дуги СD соответствует

точка X

1

, точка В дуги АВ? (Запись:

Х



Х

1

; D



B).

в)

Как

построить

точку,

соответст-

вующую точке Z дуги CD? (Запись:

{Z

1

}=[OZ)



АВ).

г)

Как

построить

точку

дуги

CD,

которой соответствует точка К

1

дуги

АВ? (Запись: {К}=[OК

1

)



CD).

Горинова Т.В.

17

2)

Рассматривая

рисунок

(каждой

точке

Х

прямоугольника

АВСD

поставлена

в

с о от в е т с т в и е

т а

точ ка

X

1

ломанной ЕКF, которая лежит на

прямой

АВ

и

предлагаются

следующие задания:

а)

Построить

точку,

соответст-

вующую точке М, С, D.

б) Сколько точек ломанной ЕКF

соответствует

каждой

точке

прямоугольника?

г)

Какой

точке

прямоугольника

АВСD cоответствует точка Y

1

?

( То ч к а

Y

1

соответ ствует

бесконечному

множе ству

точек прямоугольника АВСD. Все эти точки, принадлежащие прямоугольнику

лежат на прямой YY

1

, которая параллельна прямой АВ).

3)

Рассмат ривает ся

с л ед у ю щ и й

рисунок. Ставятся вопросы:

а)

Между

точками

каких

фигур

задано соответствие?

б) Как объяснить, по какому закону

установлено

соответствие

между

точками [MN] и [PQ]?

в) Сколько точек [PQ] соответствует

каждой точке [MN]?

После выполнения упражнений внимание учащихся обращается на то, что были

рассмотрены

примеры

соответствия

между

множествами

точек,

образующих

различные геометрические фигуры ( в первом случае соответствие между дугами

окружностей, во втором - между прямоугольником и ломанной, в третьем - между

двумя

отрезками);

что

каждой

точке

данной

фигуры

Ф

(

например

дуги

CD)

соответствует одна вполне определенная точка другой фигуры Ф

1

(дуги АВ).

Такое соответствие между множествами точек геометрических Ф и Ф

1

называют

отображением фигуры Ф на Ф

1

(или функцией). Затем вводится определение :

" Соответствие между множеством Х и множеством Y, при котором

каждому

элементу

множества

Х

соответствует

один

и

только

один

элемент

множества

Y,

называется

функцией

(

или

отображением

множества Х в множество Y)."

Далее вводятся понятия области определения и области значений функции ( и

аналогичный ему термин "образ точки" в данном отображении).

(2) Функция как отображение

В

70-е

годы

существовала

еще

и

такая

точка

зрения

(канд.физ.мат.

наук

Н.Х.Розова),которая

отдавала

предпочтение

понятию

"отображения"

при

введении

Горинова Т.В.

18

понятия функции в школьном курсе математики. Н.Х.Розов писал, что выяснив на

многочисленных примерах смысл понятия "отображение", можно дать определение

функции:

"Функцией называется отображение одного множества чисел в другое

множество чисел."

Таким образом, функция - тот частный случай отображения, когда и область

определения и область значений - числовые множества. Именно такое толкование

термина "функция" широко распространено в высшей математике (где имеются так же

другие

специальные

названия

-

вектор-функции,

функционал,

оператор,

преобразование и т.д.), отвечающие случаям, когда область определения или область

значений имеют иную природу). Впрочем, следует иметь в виду, что довольно часто

термин "функция" употребляют и как точный синоним термина "отображение". В

элементарной математике термин "функция" используется в еще более узком смысле, а

именно в случае, когда область определения - некоторое подмножество множества D

действительных чисел, а область значений - множество D.

Конечно, в школьном курсе математики легко обойтись и без понятия отображения:

считая понятие функции первичным, не определяемым, можно описать

смысл этого последнего, например, так: говорят, что задана функция, если

задано

(непустое)

подмножество

множества

действительных

чисел

и

каждому числу из этого подмножества поставлено в соответствие одно

вполне определенное действительное число.

Однако

понятие

отображения,

очень

наглядное

и

допускающее

яркие

и

разнообразные

иллюстрации,

представляется

вполне

доступным

для

понимания

учащихся.

Кроме того, это понятие позволяет познакомить школьников с функциональными

зависимостями

более

общими,

чем

числовые

функции,

что

весьма

важно

для

формирования научного мировозрения.

Подчеркну,

что

(независимо

от

того,

как

именно

вводить

понятие

функции

-

непосредственно или через понятие отображения) точное понимание смысла термина

"функция" включает в себя два неразделимых момента: описание области определения

Х



D и задание соответствия, при котором для каждого х

Є

Х указывается ровно одно

действительное число y.

(3) Функция - как бинарное отношение.

К современной (в 70-е годы) точке зрения на понятие функции можно прийти и не

рассматривая понятие соответствия как основное понятие. Можно вообще отказаться

от

специального

термина

"соответствие",

что

не

мешает,

конечно,

пользоваться

глаголом "соответствовать" как словом русского языка. В этом случае понятие функции

может быть введено по схеме: прямое произведение множеств, отношение, функция.

Такая точка зрения является характерной для большинства французких школьных

учебников математики.

Определив прямое произведение двух множеств A и В как множество А

х

В={(х;y)|

х

Є

А,у

Є

В}, определим бинарное (двухместное) отношение, как всякое подмножество

множества А

х

В.

Отношение

обычно

записывают

в

виде

a



b.

Если

С



есть

произвольное

подмножество множества А

х

В (и конкретный вид отношения не установлен), то запись

а



b означает, что (а;b)

Є

С



.

Таким

образом,

бинарное

отношение

может

быть

установлено

для

элементов

любых двух множеств А и В. В школьной практике чаще всего бинарное отношение

рассматривается на каком-либо одном множестве, то есть имеет место случай А=В.

Горинова Т.В.

19

После определения отношения излагают основные понятия, связанные с понятием

отношения,

а

затем

рассматривают

три

важнейших

типа

отношений:

отношения

эквивалентности, отношение порядка и функциональные отношения (или функции).

Отношение

R,

определенное

на

паре

множеств

А

и

В,

называется

функциональным

(или

функцией),

если

имеет

место:



(x;y;z)

Є

G

R

:

[(xRy)



(xRz)]



(y=z).

Множество Х



А, состоящее из элементов х

Є

Х таких, что имеет место хRу, для

некоторых у

Є

В, называется областью определения функции.

Так

как

для

любых

х

Є

Х,

существует

единственное

у

Є

В|хRy,

то

имеется

возможность использовать обычное функциональное обозначение у=f(x) вместо хRy.

Множество

Y



В,

состоящее

из

элементов

у

Є

Y

таких,

что

у=f(x)

для

всех

х

Є

Х,

называется областью значений функции.

III. Характеристика изложенных выше форм введения понятия

"функция".

В своих основных положениях трактовки понятия функции (и как отношения, и

как

соответствия

и

т.

д.)

не

противоречат

одна

другой.

В

самом

деле,

условие,

выделяющее

функцию

среди

различных

с о о т н о ш е н и й :



(x;y;z)

Є

G

R

:

[(xRy)



(xRz)]



(y=z) говорят о том, что из всех соотношений следует в этом случае

исключить

отношения,

аналогичные

одно-многозначным

и

много-многозначным

соответствиям.

Рассмотренные

выше

подходы

к

понятию

функции

по

существу

являются

разновидностями одной и той же теоретико-множественной трактовки этого понятия.

Изложенная

трактовка

понятия

функции

обладает

целым

рядом

методических

достоинств, среди которых отметим следующие:

1) Идея функции (отображения) становится одной из ведущих идей школьного курса

геометрии, а значит и всего курса математики.

2)

Совершенно

определенно

решается

наболевший

для

методики

математики

"туманный" вопрос о так называемой многозначности

функций. Не вдаваясь в

подробности, отметим, что если понятие многозначности функции и остается одним

из важнейших понятий теории функций комплексного переменного, то в школьном

курсе

математики такого понятия теперь нет, (вышеприведенное

определение

функции просто исключает его). Поэтому,

рассматривая, например, обращение

функции

у=х

2

,

определенной

для

всех

х

Є

]-



;+



[,

мы

разбиваем

область

определения этой функции на

два множества: ]-



;0] и [0;+



[. Для 0



х<+



в

качестве функции, обратной функции у=х

2

, имеем функцию х=



у, а для -



<х<0 в

качестве функции, обратной у=х

2

, имеем функцию х=-



у.

3) Совершенно

четко

определяется

понятие

равенства

(одинаковости)

функций.

Именно f(x)=q(x), если:

а) f и q имеют одну и ту же область определения Х и

б) х

Є

Х: f(x)=q(x).

Горинова Т.В.

20

Так, например, функция f(x)=x

2

, заданная на множестве Х

1

={x|-1



x



1}, отличается

от функции f(x)=x

2

, заданной на множестве Х

2

={x|1



x



2}. Нетрудно заметить, что

графики этих функций (множества пар) так же будут различны.

4) Удается четко провести различия между последовательностью (x

n

) и множеством ее

значений. Последовательность - это просто

иное название функции, имеющей

областью определения множество натуральных чисел. Множество значений такой

функции есть множество вторых компонентов пар, составляющих ее график. Так,

например,

для

последовательности

1,0,1,0,1,0,1,0,...

имеем;

график

этой

последовательности (функции) есть бесконечное множество пар (1;1), (2;0), (3;1),

(4;0),...,

тогда

как

множество

значений

этой

последовательности

-

конечное

множество, состоящее из двух элементов Y={0;1}.

5) Понятие функции (отображения конечных множеств) может быть использовано при

изучении комбинаторики.

Существует

и противоположный взгляд на вышеизложенные формы введения

понятия "функция". Приведем мнение С.А.Теляковского (г.Москва), составителя

действующего ныне учебника алгебры, который занял первое место на конкурсе

учебников.

О функции, как бинарном отношении:

Был небольшой период, когда функции определялись с помощью бинарных отношений.

Такое определение, насколько известно, до сих пор используется в школах некоторых

стран. Это определение неприемлимо с педагогической точки зрения хотя бы потому,

что предполагает у учащихся достаточно высокую культуру абстрактного мышления.

Но оно и по существу не нужно, в том числе и тем учащимся, которые после школы

будут получать физико-математическое или техническое образование. Владение этим

подходом к понятию функции не является обязательным даже для математиков -

специалистов по теории функций.

О функции, как соответствии:

Определение функции как соответствия между элементами достаточно произвольных

множеств в школьном курсе не нужно, а для первоначального знакомства с понятием

функции

оно

просто

неприемлимо.

Кроме

того,

как

показывает

опыт,

при

этом

фактически

происходит

сужение

самого

понятия

функции,

поскольку

в

центре

внимания оказываются функции, заданные на конечных множествах.

Наконец, такой подход предполагает определенное владение элементами теории

множеств, выработка которого была бы неоправданной затратой учебного времени. Об

этом

можно

было

бы

много

и

не

говорить

после

того,

что

было

сказано

на

IV

Международном конгрессе по математическому образованию, о внедрении теоретико-

множественных идей в школьную математику, как о педагогической ошибке. Но, к

сожалению, для нас этот вопрос все еще остается актуальным и должно пройти еще

какое-то время, прежде чем мы избавимся от этой "детской болезни" и не будем больше

растрачивать на это свои силы и время в ущерб более важным педагогическим задачам.

IV. Экспериментальная часть.

Горинова Т.В.

21

(1) Логический и интуитивный компоненты в определении математических понятий, в

частности понятия "функция".

Вопрос выбора определений понятий школьного курса математики является одним

из трудных и спорных моментов в процессе обучения, о чем свидетельствует полемика,

которая развернулась в печати вокруг этого вопроса. Предметом дискуссии стали

различные

аспекты

данной

проблемы:

логический

и

интуитивный

уровень,

абстрактность и практическая направленность и т.д.

Полемика идет в основном в теоретическом плане, и многие авторы высказывают

более или менее убедительные аргументы в пользу своих точек зрения, несмотря на то,

что

зачастую

ими

отстаиваются

противоположные

положения.

Однако

решение

проблем обучения требует опоры на практику школ как надежный критерий в решении

спорных вопросов.

Наиболее

спорные

моменты

в

вопросах

об

определениях

понятий

школьной

математике возникают в связи с поиском дидактически целесообразного соотношения

логики

и

интуиции

в

выборе

определений.

Безусловно,

для

установления

такого

соотношения

нужно

более

или

менее

явно

выделить

логический

и

интуитивный

компоненты

в

математическом

мышлении

учащихся

и

определить

значение

этих

компонентов

в

познавательной

деятельности.

В

процессе

обучения

логическим

умозаключениям, преодолевая логические ошибки учащихся, учитель контролирует

уровень

логической

подготовленности

школьников.

Мера

развития

их

интуиции

учителю менее известна, поскольку интуиция не является объектом столь пристального

внимания

и

контроля,

каким

является

логика.

Между

тем

для

формирования

математической

культуры

и

вообще

в

математическом

мышлении

интуитивный

компонент не менее важен, чем логический.

Так,

например,

Л.Д.Кудрявцев

пишет,

что

и

знания,

и

интуиция

являются

основными

компонентами

математической

культуры.

Американский

математик

М.Клайн

на

анализе

большого

исторического

материала

убедительно

показал

огромную

роль

интуиции

в

познаний

математических

истин,

в

творческой

деятельности

ученых-математиков.

Так

как

одной

из

главных

задач

обучения

математике

является

развитие

математического

творческого

мышления

учащихся,

активизация

их

познавательной

деятельности,

то

формированию

интуитивного

и

эвристического методов рассуждений должно уделяться особое внимание.

Среди

учащихся

были

проведены

экспериментальные

исследования

в

форме

анкетирования

с

целью

не

столько

выяснить

знание

или

незнание

учащимися

определений понятий, сколько понять; каким образом они обходятся без знания этих

определений,

какими

интуитивными

представлениями

оперируют

в

рассуждениях.

Участниками анкетирования были учащиеся десятых классов, успевающие на "4" и "5".

Остановлюсь на определении такого важного понятия, как функция, ставшего

объектом полемики во многих статьях математических изданий.

Анкетирование показало, что 95% опрошенных не знают теоретико-множественное

определение функции, которое они изучали ранее по действующим тогда пособиям.

Было

обращено

особое

внимание

на

ответы

тех

учащихся,

которые не знают

определение функции, но это понятие успешно используют. Другими словами, меня

интересовало

их

интуитивное

представление

о

функции,

сформированное

вместо

строгого логического понимания в соответствии с определением и ставшим орудием

математической деятельности.

Приведу несколько ответов, которые дали учащиеся на просьбу высказать свое

понимание понятия функции (точного определения они не знали):

Горинова Т.В.

22

"Зависимость каких-нибудь величин",

"Функция - это кривая зависимости одних данных от других",

"Кривая, составленная по данным точкам",

"Функция - это понятие соответствия между множествами Х и Y",

"Зависимость величины у от величины х",

"Когда каждому члену одного множества соответствует определенный член

другого множества, то эта зависимость называется функцией",

"Функция - числовое выражение", и т.д.

Вывод:

Такие ответы хорошо успевающих учащихся, по моему мнению, свидетельствуют о

том,

что

интуитивный

компонент

в

математическом

мышлении

может

иметь

определяющее значение. При всей нечеткости ответов почти в 50%-ти из них

можно

выделить

тенденцию

к

пониманию

понятия

функции

через

слово

"зависимость". Таким образом понятие зависимости возникло в сознании учащихся

самопроизвольно,

вытеснив

понятие

соответствия,

посредством

которого

их

знакомили с понятием функции. Следовательно, этот факт рекомендуется учесть

при

первом

знакомстве

школьников

с

понятием

функции,

то

есть

слово

"зависимость" может быть определяющим в понимании учащимися и лучшем

усвоении ими нового понятия "функция".

Подводя

итог,

отметим,

что

на

окончательное

формирование

представления

о

некотором понятии школьного курса математики интуитивная деятельность учащихся

оказывает не меньшее влияние, чем непосредственное изучение определения этого

понятия.

Более

того,

для

успешного

овладения

математикой

учащимся

иногда

достаточны

даже

не

совсем

логически

строгие

интуитивные

представления

о

некоторых понятиях. Именно интуитивные представления в конечном счете и остаются

в памяти учащихся, они в большей мере определяют их математическое развитие,

способность к применению математики на практике.

Однако определения некоторых понятий, принятых в школе, в корне расходятся с

тенденциями

интуитивного

представления

об

этих

понятиях,

хотя

из

множества

логически

строгих

эквивалентных

определений

можно

было

бы

выбрать

такие,

которые больше всего соответствовали бы интуиции. Не учитывать же интуитивные

факторы

при

формировании

понятий,

думаю,

просто

невозможно,

поскольку

они

действуют объективно, независимо от нашего желания. Эти факторы оказываются

более

сильными,

дидактически

более

эффективными,

формирующими

более

адекватное представление о существующих понятиях.

(2) Функциональная пропедевтика.

Имея

в

виду

подготовку

учащихся

к

сознательному

усвоению

идеи

функциональной зависимости, понятий функции и уравнения в 6 и старших классах

школы,

необходимо

рано

начать

подготовку

к

введению

этих

понятий.

В

плане

подготовки

должны

быть

использованы

всевозможные

упражнения,

доступные

учащимся младших классов, которые могли бы служить для накопления учащимися

опыта. Этот опыт, естественно, будет создавать у них необходимые представления,

ведущие

к

образованию

соответствующих

понятий

на

конкретной

числовой

и

графической

основе.

Далекие

от

обобщений

и

специальной

терминологии,

эти

Горинова Т.В.

23

упражнения должны все же выяснить учащимся, что рассматриваемые ими различные

выражения

могут

приобретать

различные

числовые

значения

в

зависимости

от

числовых значений букв, входящих в них. Эти упражнения должны помочь учащимся

понять различные способы выражения функциональных зависимостей.

Существенную роль в усилении прикладной и практической направленности курса

алгебры

и

одновременно

в

развитии

способностей

учащихся

к

самостоятельным

исследованиям играют задания, выполнение которых представляет собой относительно

завершенный исследовательский цикл: наблюдение - гипотеза - проверка гипотезы. В

качестве таких заданий целесообразно использовать исследовательские работы. Это

сравнительно новый для школьного курса алгебры вид учебной деятельности, но уже

зарекомендовавший

себя

как

эффективное

средство

повышения

активности

школьников.

Исследовательские

работы

удачно

вписываются

в

общую

структуру

учебного процесса, позволяя связать отдельные вопросы курса алгебры между собой и

с

курсами

геометрии

и

физики,

а

так

же

осуществить

достаточно

серьезную

пропедевтику

некоторых

вопросов

из

школьного

курса

начал

анализа.

Часть

исследовательских работ может быть реализована не только на уроке, но и в качестве

домашнего

задания.

В

последнем

случае

на

уроке

обсуждаются

результаты,

полученные учащимися дома. Выполняя исследования, ученики развивают также и

навыки использования инструментов. Во многих случаях трудоемкость исследования

значительно снижается, если использовать микрокалькуляторы.

Понятие функции формируется в 7 классе на основе понятия зависимости. Для

становления

мировозрения

школьников

этот

этап

крайне

важен.

Мировозрение

формируется путем акцентирования прикладных аспектов обучения, связи математики

с жизнью, с другими предметами естественно-математического цикла.

Выполняя

исследовательские

работы,

ученики

на

конкретных,

самостоятельно

установленных зависимостях усваивают проблематику, которая затем будет являться

ядром всей функциональной линии курса математики средней школы. Первая работа

проводится или непосредственно перед изучением темы "Функция" или в начале этой

темы.

Работа N 1

Исследование площади прямоугольника данного периметра.

Периметр прямоугольника 24 см., а его основания x см. Задайте формулой

зависимость площади S (см

2

) прямоугольника от x.

Заполните таблицу:

x

2

3

4

5

5,5

5,8

5,9

6

6,1

6,2

6,5

7

8

9

10

S

При каком значении x у вас получился прямоугольник наибольшей площади? Каково

наибольшее

из

полученных

значений

S

?

Выберите

сами

два

каких-либо

допустимых значений x и вычислите соответствующие им значения S. Удалось ли

вам получить значение S, больше, чем найденное ранее? Какую гипотезу можно

высказать

на

основании

проведенного

исследования

о

форме

прямоугольника

наибольшей площади, имеющего данный периметр?

Работа N 2

Горинова Т.В.

24

Построение графика зависимости высоты столба жидкости в

сосуде от объема жидкости.

Приборы

и

материалы:

ведро

стандартной

(цилиндрической

или

усеченно-

конической формы), банка литровая, линейка.

Указания к работе: 1) налейте в ведро 1 литр воды;

2) измерьте высоту столба жидкости в ведре (опустив в ведро

линейку);

3) запишите полученный результат в табл.1;

4) повторяйте указанные действия, пока не заполните эту

таблицу.

Постройте график зависимости h от V (на оси h: 1 см соответствует 2 см

высоты столба воды, на оси V: 1 см соответствует 1 л. воды). Какой график у

вас получился: прямолинейный или криволинейный?

Таблица 1

Объём воды V(л)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Высота столба

воды h(см)

В отличии от других работ, которые могут быть как классными, так и домашними,

исследование зависимости высоты столба воды в ведре от ее объема выполняется

только в домашних условиях. На следующем уроке результаты работы обсуждаются.

Анализ

различий

в

графиках,

полученных

школьниками,

использовавшими

ведра

различной формы, послужит развитию физических представлений о равномерных и

неравномерных

процессах.

Работу

целесообразно

провести

при

изучении

темы

"График функции".

Работа N 3

График расстояния.

Туристы отправились на байдарках по течению реки из пункта A в пункт B со

скоростью 5 км/ч. После 3 часов пути они сделали остановку на 1 час, а затем

поплыли дальше со скоростью 6 км/ч. На рисунке изображена схема маршрута

туристов, на которой отмечены отрезки пути длиной в один километр.

Схема маршрута туристов.

Приборы

и

материалы:

схема

маршрута

туристов

в

масштабе

1:200000,

измерительный циркуль, линейка

Горинова Т.В.

25

Указания к работе: 1) определите на схеме точку, в которой находились туристы

через 1 час после отправления из A;

2) найдите расстояние (по прямой) от этой точки до пункта

A; до пункта B;

3) запишите полученный результат в таблицу:

Время t(ч)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

Расстояние

d(км)

4) выполните указанные действия, выбирая приведенные в

таблице значения t;

5) постройте график зависимости d от t.

Работа N 4

Определение зависимости длины свечи от времени ее сгорания.

Свеча

длиной

25

см

при

горении

уменьшается

на

1,5

см

за

каждый

час.

Определить зависимость ее длины L от t часов ее горения.

Заполним таблицу:

t(час)

1

2

3

5

8

10

...

L(см)

25-1,5

25-2*1,5

25-3*1,5

25-5*1,5

25-8*1,5

25-1,5

1) Из таблицы попробуйте написать общую формулу зависимости длины свечи L

от времени t ее горения.

(L=25-t*1,5);

2) Как изменяется длина свечи при увеличении времени ее горения;

3) Что можно сказать об этом изменении L, если бы увеличили её диаметр в 2

раза.

На

практике

был

успешно

опробован

следующий

вариант

выполнения

этих

исследовательских работ: класс делится на группы (обычно по рядам), каждая из

которых заполняет свою часть таблицы (2-3 столбца), причем каждый член группы

делает это самостоятельно. Результаты, полученные в группах, сводятся в итоговую

таблицу,

заготовленную

заранее

на

доске.

А

затем

каждый

учащийся

продолжает

работу, используя эту сводную таблицу.

Процессы с самого начала в данных работах представлены как функциональные

зависимости. В вопросах требуется уточнить характер этих зависимостей, выяснить

соответствующие значения функции и аргумента в определенные моменты процесса.

Цель заданий состоит в изучении соответствия ситуации, изложенной в условии, и

способа

ее

математического

представления.

Понятие

функции,

в

системе

формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу же выступает в

курсе

математики

как

определенная

математическая

модель,

что

является

мотивировкой для его углубленного изучения.

V. Современное введение понятие функции в школе, как зависимости

переменных величин.

Горинова Т.В.

26

После

долгой

полемики

в

различных

математических

изданиях

по

поводу

определения

понятия

функции

в

школе

пришли

к

определению

функции,

как

зависимости переменных величин.

Это определение дается в школьных учебниках сейчас. Здесь нашла отражение

точка зрения коллектива авторов учебников алгебры, вместе с которыми и работал

С.А.Теляковский.

Впервые о функциях говорится в начале 7 класса (возраст учащихся 12 - 13 лет).

После этого функциональная линия постоянно поддерживается и развивается.

Для

первого

знакомства

с

понятием

функции

выбрано

определение

ее

как

зависимости одной переменной от другой. К этому определению учащиеся более

подготовлены своим жизненным опытом и легче его воспринимают. Оно близко к

причинно - следственным отношениям вообще и отчасти опирается на имеющиеся у

учащихся

к

этому

времени

представления

о

причине

и

следствии,

а

от

части

способствует выработке таких представлений.

При знакомстве школьников с понятием функции в начале основное внимание

нужно

уделять

случаю,

когда

независимая

переменная

изменяется

непрерывно.

Например,

зависимость

пути

от

времени

при

постоянной

скорости

движения,

зависимость площади квадрата от длины его стороны и т.п. Тогда яснее видна основная

идея

функциональной

зависимости

и

естественно

возникают

графики

функций,

которые необходимо рассматривать с самого начало.

После

того

как

будут

изучены

конкретные

функции

(линейная,

функции

у=х

2

,у=х

3

,у=k/х и т.д.) и накоплен достаточный опыт работы с графиками можно

переходить

к

определению

функций

по

Лобачевскому

и

Дирихле,

когда

каждому

значению независимой переменной х из области определения функции ставится в

соответствие значение функции у.

Введение

понятия

функции

-

длительный

процесс,

завершающийся

формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи,

играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным

направлениям:



упорядочение

имеющихся

представлений

о

функции,

развертывание

системы

понятий,

характерных

для

функциональной

линии

(способы

задания

и

общие

свойства

функций,

графическое

истолкование

области

определения,

области

значений, возрастания и т.д. на основе метода координат);



глубокое изучение отдельных функций и их классов;



расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и

разветвленной системы действий с функцией.

Остановлюсь на первом направлении, оно проявляется в школьном курсе алгебры

ранее остальных. В реализации этого направления большое место отводится усвоению

важного представления, входящего в понятие функции, - однозначности соответствия

аргумента и определенного по нему значения функции.

С этой целью в учебнике 7 класса рассматриваются три различного рода примера; в

которых имеет место функциональная зависимость переменных величин. Урок можно

построить по системе опорных сигналов: сначала кратко и быстро объясняется новый

материал, делаются записи на доске, используются все средства наглядности, затем

объяснение повторяется с применением опорного сигнала (в этом месте урока он

незаменим) и наконец прошу ребят прочитать по учебнику нужное место, решить

задачи. На следующих уроках отрабатываются отдельные части общего блока опорного

сигнала.

Горинова Т.В.

27

В данном опорном сигнале рассматривается задача, соответствующая примеру N2

параграфа о понятии функции, в которой ученики должны определить общую формулу

зависимости длины пути s, пройденного автомобилем, движущимся со скоростью 50

км/ч за определенные промежутки времени.

К этому примеру вверху сигнала дана схема. К задаче мы составляем таблицу

значений

y

и

x.

Верхняя

строка

таблицы

получает

обозначение

О.О.(область

определения), а нижняя - О.З.(область значений). Определение функции в сигнале не

записывается, но необходимость знать и помнить это определение подчеркивается

незаконченной фразой. Отдельно вынесены термины и обозначения, которые отныне

ребята будут часто употреблять: f(x), аргумент, функция. Далее идет перечисление

способов задания функции. Два нижних рисунка передают ту мысль, что график может

как задавать (Да!), так и не задавать (Нет!) функции.

Итак, данный опорный сигнал - это наглядный каркас объяснения. Благодаря своей

лаконичности он способен охватить большой круг вопросов. Иногда, если учитель

Горинова Т.В.

28

математики

работает

по

системе

Шаталова,

для

домашнего

задания

помимо

определенных задач можно предложить учащимся самим составить опорный конспект

данной темы дома с дальнейшей его защитой следующих занятиях.

На следующем уроке учитель может вызвать несколько учеников для защиты своих

опорных сигналов, а может просто собрать выполненные работы, просмотрев которые

можно сразу увидеть, на что в данной теме нужно обратить особое внимание, какие

моменты в данном понятии функции следует лучше прояснить.

Для рассмотрения вопроса однозначности соответствия переменной х переменной

у функции f(x) привлекаются различные способы задания функции.

Чаще

других

в

математике

и

ее

приложениях

применяется

задание

функции

формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после

первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении

уделяется

тем

функциям

и

классам,

которые

имеют

стандартную

алгебраическую

форму их выражения. Однако при введении понятия сопоставление разных способов

задания функции имеет важную роль.

Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как

правило,

служат

для

удобного

в

определенных

обстоятельствах

представления

функции, имеющей аналитическую форму записи.

Во-вторых,

оно

важно

для

усвоения

всего

многообразия

аспектов

понятия

функции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую

систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты

понятия

функции

могут

быть

отображены

наиболее

естественно

различными

средствами. Использование перевода задания функции из одной формы представления

в другую - необходимый методический прием при введении понятия функции.

Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых

представлены

все

случаи

такого

перевода,

ограничиваясь

основными

способами

представления функции - формулой, графиком, таблицей.

Приведу несколько примеров таких заданий для седьмого и старших классов. Для

седьмого класса:

а) Изобразить график функции у=4х+1 на промежутке [0;2].

б) Проверить, насколько точна таблица квадратов чисел, взяв несколько значений для

аргументов и проведя расчет: х=1,35; 9,4; 7; 6,3.

в) На рисунке изображены точки на координатной плоскости, выражающие результаты

наблюдений за атмосферным

давлением.

Построить график зависи-

мости давления от времени в

промежутке 12



t



18, соединив

эти точки плавной линией.

На первом этапе учащиеся

еще

не

знают

общего

вида

графика

линейной

функции

(зад.

а).

Поэтому

они

могут

по строить

его

только

п о

т о ч к а м .

У ч и т е л ь

м о ж е т

обратить внимание на то, что

по

точкам

нельзя

построить

целиком график функции, если

она определена на бесконечном

множестве, но заметно, что эти

Горинова Т.В.

29

точки лежат на прямой; оказывается, что это замечание верно. Таким образом, можно

установить связи с дальнейшим изучением материала. Способ построения графика

функции по точкам иллюстрируется заданием в); пользуясь конкретным содержанием

задания,

учитель

может

отметить,

что

предлагаемые

учащимся

графики

могут

отличаться от действительного положения, но что на практике этим приемом часто

приходится

пользоваться.

В

задании

б)

можно

отметить

связь

функциональных

представлений с числовой системой - с понятиями точного и приближенного числового

значения. С их сопоставлением постоянно приходится сталкиваться при построении

графиков,

потому

что

наносить

точки

на

график

можно

лишь

с

ограниченной

точностью.

В старших классах, когда учащиеся уже будут иметь представления о многих

числовых функциях, можно предложить следующее задание: перейдите от табличного

задания функций к возможному аналитическому заданию:

а) y=x-2

x

-2

-1

0

1

2

y

-4

-3

-2

-1

0

б) y=x

2

x

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

1/4

y

6,25

4

2,25

1

0,25

0

1/16

в)

x

[-2;-1[

[-1;0[

[0;1[

[1;2[

y

-2

-1

0

1

С понятием функции тесно связано изучаемое в школе понятие графика функции.

В современных школьных учебниках понятие декартовой системы координат вводится

раньше, чем понятие функции. Это облегчает задачу учителя при введении понятия

графика функции: не приходится дополнительно знакомить учащихся с декартовой

системой координат. Определение графика функции дается очень хорошее, краткое и

точное:

"Графиком

функции

называется

множество

всех

точек

координатной

плоскости, абциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты -

соответствующим значениям функции".

Оно

не

вызывает

затруднения

в

усвоении

учениками

этого

понятия.

Данное

определение свободно от всяких случайных обстоятельств и характеризует график

функции исключительно через сам факт функциональной зависимости.

Остановлюсь еще на одном важном вопросе, имеющем принципиальное значение

для

правильного

понимания

функциональной

зависимости.

Учащимся

полезно

сообщить,

что

"

на

практике

часто

пользуются

графическим

способом

задания

функций",

то

есть

с

помощью

кривых,

"

по

которым

можно

судить

о

характере

изменения одних величин в зависимости от изменения других величин". Для точности

добавлю, что речь идет о кривых на плоскости с некоторой системой координат - сама

по себе геометрическая кривая еще не характеризует каких-либо зависимостей.

Однако любые ли кривые в координатной плоскости определяют функции? Без

точного

выяснения

этого

вопроса

так

называемый

"графический

способ

задания

функций"

остается

нераскрытым.

В

общей

постановке

этот

вопрос

можно

сформулировать так: любое ли множество упорядоченных пар {(x;y)}, х

Є

Х, у

Є

У может

быть

графиком

некоторой

функции.

Совершенно

ясно,

что

такое

множество

пар

определяет функциональную зависимость лишь в том случае, если в этом множестве не

Горинова Т.В.

30

существует двух пар вида (х;у

1

), (х;у

2

) с общим первым элементом и различными

вторыми элементами. Иначе нельзя было бы однозначно ответить на вопрос о том,

какой именно элемент множества у является образом элемента х

Є

Х.

В частности, отсюда следует, что в плоскости с декартовой системой координат

определяет функциональную зависимость у от х лишь такая кривая, которая с каждой

прямой, параллельной оси ординат, пересекается не более одного раза.

Графический способ представления зависимостей также является одним из средств

фиксации

при

изучении

реальных

явлений.

Это

позволяет

делать

различные

"самопишущие" приборы, такие, как сейсмограф, электрокардиограф, осциллограф и

т.п., изображающие информацию об изменении измеряемых величин в виде графиков.

Графическое

представление

функции

очень

удобно

для

непосредственного

восприятия

ее

особенностей,

характерных

свойств.

Такая

возможность

особенно

благоприятна для изучения многих вопросов, связанных с функциями. Как говорится,

лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Поэтому при исследовании функции

всегда желательно представить, ходя бы ориентировочно, ее график.

Однако графический способ задания функций неудобен для проведения расчетов; к

тому же, подобно табличному, он является приближенным и неполным. Так, скажем,

рисуя

график

функции

у=х

2

,

мы

изображаем

его

лишь

на

некотором

конечном

промежутке

изменения

аргумента;

линия,

проведенная

нами,

имеет

определенную

толщину, и значения функции не могут быть подсчитаны по ней с большой точностью

и т.п. Это относится ко всем реально изображаемым графикам.

"Математиче ский"

график

не

обладает,

конечно,

неполнотой

и ли

приближенностью, но вместе с тем он является, к сожалению, "невидимкой" - его

нельзя ни нарисовать, ни увидеть. Ведь он есть не что иное, как совокупность всех пар

чисел (точек координатной плоскости) вида (х;f(х)). По сути, это бесконечная таблица,

включающая все значения функции, и в таком понимании график и есть сама функция.

Тоже,

что

мы

рисуем,

является

лишь

эскизом,

зримой

моделью

математического

графика, но именно это и нужно при изучении функции.

Основой

неформального

усвоения

курса

алгебры

и

начала

анализа

является

развития у учащихся геометрической интуиции, позволяющей опираться на наглядные

представления при изучении всех понятий и методов, связанных с функциями. О том,

что

такая

интуиция

у

подавляющего

большинства

выпускников

средней

школы

практически отсутствует, свидетельствуют, в частности вступительные экзамены в

вузы.

Развитие

геометрической

интуиции

в

указанных

вопросах

предполагает,

в

частности,

твердое

знание

графиков

основных

элементарных

функций

и

умение

быстро

"прикидывать"

графики

достаточно

простых

функций

-

многочленов

с

известными корнями, несложных рациональных дробей и т.д. Именно "прикидывать"

(чему, к сожалению, в школе не учат), а не строить с помощью длинных и не всегда

выполнимых вычислений. В решении этого вопроса может помочь конкретное задание,

которое можно дать ученикам после изучения основных видов и классов функций, а

так же их свойств. Суть задания состоит в следующем: подготовить и оформить

карточку - подсказку "что можно увидеть, глядя на график", в которой ребята должны

составить краткий перечень терминов и их графическое толкование. Например:

Горинова Т.В.

31

Непрерывность - "сплошность", неразрывность кривой, изображающей график,

возможность ее начертания без отрыва карандаша от бумаги.

Гладкость

-

плавность

кривой;

график

поворачивает

постепенно,

не

имеет

изломов и заострений.

Возрастание - подъем точки, движущейся по графику слева направо.

Убывание - спуск точки, движущейся по графику слева направо.

Постоянство функции - параллельность графика оси абцисс.

Знакопостоянство функции - расположение графика выше (ниже) оси абцисс.

Четность функции - симметричность ее графика относительно оси ординат.

Нечетность - симметричность графика функции относительно начала координат.

Периодичность

-

график

функции

можно

разбить

на

одинаковые

по

форме

участки,

получаемые

один

из

другого

сдвигом

вдоль

оси

абцисс и т.п.

Такая карточка - подсказка поможет учащимся в работе с графиками на уроках

математики и облегчит запоминание, и усвоение ими столь необходимых терминов и их

геометрической интерпретацией.

VI.

Применение

дидактических

материалов

с

профессиональной

направленностью при изучении раздела "Функция".

При разработке дидактических материалов с профессиональной направленностью

для изучения раздела "Функция", рекомендуется исходить из общих задач изучения

функции. Особое внимание следует обратить на усвоение понятия функциональной

зависимости,

которое

в

своей

основе

является

политехническим,

а

также

формирование

умений:

оперировать

основными

способами

задания

функции

(аналитическим,

табличным,

графическим);

читать

свойства

функции

по

графику,

определять

зависимость

между

переменными,

интерпретируемую

графиком.

Перечисленные умения являются профессионально значимыми, потребность в них

ощущается

у

рабочего

при

работе

со

справочной

литературой,

инструкционными

картами. Эти умения необходимы и для проведения расчетов, в том числе относящихся

к экономному расходованию сырья.

В систему работы по формированию понятия рекомендуется включать задания на

выделение существенных признаков.

Родовым понятием числовой функции является понятие функции. Для повторения

функции предлагаются задания 1 - 3.

Из курса материаловедения известно, что твердость материала - это способность

сопротивляться проникновению в него другого материала.

Задание 1.

Твердость однородных (каменных минералов) определяют по десятибалльной шкале,

в

которой

минералы

расположены

в

порядке

возрастания

твердости.

Для

талька

показатель твердости равен 1, для гипса - 2, для ангидрита - 3, для плавикового шпата -

Горинова Т.В.

32

4, для апатита - 5 и т.д. Можно ли считать функцией зависимость твердости минералов

от их порядковых номеров в шкале? Ответ обоснуйте.

Задание 2.

Между

какими

элементами

таблицы

установлена

зависимость?

Является

ли

она

функцией? Ответ поясните.

Вид ёмкости

для раствора

Тележка

Растворный

ящик

Поэтажная

ёмкость

Поэтажный

бункер

Вместимость,

м

3

0,10

0,30

0,35

0,55

Задание 3.

Из бетона прочностью более 1800 кг/м

3

допускается изготовление камней следующих

марок: 200, 150, 100, 75. Является ли функцией зависимость плотности бетона от марок

камней? Обоснуйте ответ.

Приведенное

выше

задание

используется

на

ряду

с

абстрактными,

цель

их

введения

-

повторить

структуру

определения

понятия

функции

и

тем

самым

подготовить учащихся к восприятию понятия числовой функции. Постановка учебной

задачи заставляет учащихся обращаться к определению понятия функции, сопоставить

это

определение

с

условиями,

данными

в

дидактических

материалах,

подводит

к

выводу о наличии (или отсутствии) всех существенных признаков понятия.

Эти задания могут быть включены в устный фронтальный опрос учащихся (при

этом текст заданий заранее записывается на переносной доске или проецируется на

экран).

Если

подобные

задания

уже

решались

на

уроке,

то

их

используют

для

письменного индивидуального опроса.

VII. Факультативный материал к лекции в 11 классе по теме: "Новая

наука- биометрия".

Мысль

установить

связь

между

биологией

математикой

не

нова,

и

ещё

с

античности предпринимались подобные попытки. Пифагор (600 лет до н.э.) говорил,

что числа суть принципы и источники всех вещей. Позднее Галилей (1564-1642)

высказался на этот счёт более определённо. "Книга природы, -сказал он,- написана с

помощью алфавита, и таким алфавитом являются круги, треугольники, пирамиды".

Следовательно,

он

уже

предложил,

правда

в

упрощённой

форме,

использовать

математический язык для описания биологических объектов и явлений.

Можно

различить

три

уровня

внедрения

математики

в

биологию.

Первый

-

описательный. Язык и технические средства математики используются для описания

биологических объектов и процессов. Так, филлотаксия, изучающая расположение

цветов и листьев вдоль оси растения, предлагает индексы, которые отображают эту

архитектуру

(см.

рис.1).

Раковины

моллюсков

могут

характеризоваться

углом

логарифмической спирали, которому следует их развитие (см. рис.2).

Второй уровень - объяснительный. Утверждают, что рост популяций является

показательным, потому что процент прироста постоянен и можно написать

1.

dN

dt

KN



(если N - численность популяций)

Горинова Т.В.

33

Из этого следует, что LogN=Kt+C и что

2. N=N

o

Kt

.

В данном случае мы не только пользуемся математическим языком, но и объясняем

результаты путём введения определённых гипотез. Дифференциальное уравнение 1 -

модель динамики популяции.

Третий уровень внедрения - организационный. Математики предлагают биологам

планы

проведения

опытов

для

последующей

обработки

данных.

Это

стало

необходимым

ввиду

сложности

изучаемых

явлений

и

трудностей

в

исследовании

Горинова Т.В.

34

Рис.1.

Фотография

основания

сосновой

шишки.

Видно,

что

чешуйки расположе-

ны

по

двум

нахо-

д я щ и м с я

д ру г

к

другу

под

прямым

углом спиралям; эти

спирали находятся в

п р я м о й

с в я з и

с

филлотаксией - зако-

номерностями

рас-

положения

листьев,

цветов

и

д р у г и х

частей растений

ситуаций, все факторы которых не могут быть поставлены под контроль. Сегодня все

три упомянутых уровня действуют одновременно.

Но история биометрии связана и с важными событиями, которые произошли в

смежных

дисциплинах.

Взаимоотношения

биометрии

с

генетикой,

агрономией,

эмбриологией,

морфологией

и

экологией

повлекли

за

собой

многочисленные

фундаментальные исследования, представляющие большой интерес и для биологии, и

для математики. Можно сказать, что современная биометрия - результат развития всех

этих дисциплин.

Мы можем подойти к истории биометрии с другой точки зрения. Действительно, в

биологии труднее, чем в других дисциплинах, выделить одно переменное, определить

его,

проследить

за

ним.

Труднее

также

учесть

влияние

на

него

со

стороны

многочисленных факторов. Не удивительно поэтому, что вначале именно статистики

занялись изучением биологических данных.

Речь

не

идёт

только

о

том,

чтобы

считать

и

измерять.

И

если

первый

этап

биометрии

заключается

в

том,

чтобы

определить

такие

факторы,

как

вес,

рост,

количество,

то

второй

-

заинтересоваться

соотношениями:

больше

чем

...,

более

изменчив чем ..., больше напоминает ..., более чувствителен к ..., и третий - углубиться

в

раскрытие

структуры

существенных

характеристик

избранных

объектов.

Иначе

говоря, если биологический объект может быть описан n-характеристиками, то тогда

его можно представить как точку в n-мерном пространстве, в котором множество таких

объектов образуют облако из точек в таком пространстве. И в этом многомерном

пространстве

ставятся

следующие

вопросы.

Каким

образом

эти

объекты

связаны

Горинова Т.В.

35

Рис.1.

Фотография

п р о-

дольного

вида

раковины

двустворчатого

моллюска.

Внешний край представляет

логарифмическую

спираль.

Параметры

её

уравнения

чувствительны

к

условиям

среды, в частности к солё-

ности воды. Изучение моди-

фикаций

такой

спирали

полезно

в

экологии,

па-

леонтологии и т.д.

между собой? Насколько они различны, на сколько сложна их совокупность, на сколько

она стабильна на том уровне, на котором к ним подходят?

Поэтому

вполне

естественно,

что

суть

биометрии

-

изучение

"организации

в

биологических

системах"(Леге,1976).

Живые

существа

являются

высокоорга-

низованными системами как на молекулярном уровне, так и на уровне экосистем. Цель

биометрии - изучить эту организацию во всей её сложности и гибкости, в её действии и

эволюции и особенно теорию этой организации.

Биометрия

-

не

только

анализ

биологических

вариаций,

она

не

может

ограничиваться использованием статистики для истолкования наблюдаемых данных.

Она

является

автономной

наукой,

предмет

которой

чётко

определён,

но

развитие

которой может быть обеспечено ценой больших методологических усилий.

Добавим, что введение в биологию измерения, анализа данных, создание моделей

со всеми вытекающими последствиями требует обращение не только к математике, но

и к физике, и к химии. Наконец, биология не может обойтись без информатики и

вычислительных средств.

Исследование

структур

в

естественных

популяциях

животных

или

растений,

изучение

генетического

кода

в

последовательности

нуклеиновых

кислот,

расчёт

родства

в

популяциях

домашних

животных

с

целью

оптимизировать

их

воспроизводство,

обработка

генеалогических

деревьев,

когда

они

охватывают

несколько сотен индивидуумов, обнаружение ошибок в экспериментах и возможная

замена

недостающих

данных,

численное

решение

некоторых

дифференциальных

уравнений и некоторых систем нелинейных уравнений - вот ряд примеров, когда цель

исследования может быть достигнута лишь в результате обременительных и зачастую

повторяющихся подсчётов, т.е. совершенно неосуществимых без средств информатики.

Именно вычислительные машины позволяют вплотную подойти к созданию новых

информационных систем, помогающих разрабатывать модели.

С одной стороны, информатика оказывается не только инструментом. Она является

для студентов и молодых исследователей в области биологии настоящим стимулом для

использования математики в решении некоторых биологических проблем. С другой

стороны, информатика привносит свои собственные концепции, свою логику, свои

ограничения. Но существуют и трудности в области взаимодействия биометрии и

информатики. Они заключаются в необходимости "обучения" машин, сопряжении их

языков

со

специфическим

материалом

биологических

исследований,

подборе

инструмента

информатики,

приспособленного

к

особым

пот ребно стям

исследовательской группы, в создании банка научных данных, наконец, в нехватке

подготовленных инженеров, знакомых с биологией.

Специалисты в области биометрии должны ответить на многие вопросы сейчас,

когда биология добилась блестящих результатов и стала совокупностью дисциплин, от

которых зависит прогресс в сельском хозяйстве, медицине и в некоторых отраслях

промышленности (продовольственная, фармацевтическая, биотехнологическая).

Все

разделы

биологии

по

мере

их

развития

обращаются

через

биометрию

к

математике

и

информатике.

Исследование

вторичных

последствий

медикаментов,

выявление

и

изучение

биологических

ритмов,

автоматическая

диагностика,

интерпретация

планов

сельскохозяйственных

экспериментов,

анализ

экологических

данных, прогноз урожая, управление морским рыболовством и охотой, оптимизация

процедур селекции животных или растений... требуют методов, испытаний, программ

расчётов, разработанных специально для них. Биометрия, таким образом, вовлечена в

решение конкретных проблем, представляющих экономический и социальный интерес.

Горинова Т.В.

36

Она

находит

применение

повсюду,

где

требуется

исследовать

биологические

системы. От молекулярной биологии до экологии биометрия глубоко укоренилась в

современной биологии и представляет существенный фактор её развития.

В

настоящее

время

-

и

это,

несомненно,

показательно

-

биометрия

стала

платформой

междисциплинарных

дебатов.

Любая

статья,

касающаяся

биометрии,

может

стать

объектом

полемики

(так

часто

и

случается).

Она

предоставляет

возможность

сопоставить

точки

зрения

в

области,

в

которой

имеются

неопре -

делённости.

Характерная

особенность

этих

дебатов

-

интерес

к

неустойчивости

взаимодействия между биологией и математикой.

Но,

несмотря

на

полемику,

несмотря

на

особые

требования

взаимодействия,

которые обеспечивает биометрия, её развитие, её поле деятельности и её средства не

вызывают сомнений.

VIII. Заключение.

В заключении работы хочется выразить свое мнение по поводу современного

введения понятия функции в школе, как зависимости двух переменных величин. Как

говорилось

выше,

в

(1)-ой

экспериментальной

работе,

интуитивный

компонент

в

определении

функции

через

слово зависимость

играет

определяющую

роль

в

познавательной

деятельности

учащихся.

Следовательно,

при

первоначальном

знакомстве с понятием функции в 7-ом классе лучше всего использовать современный

подход в его определении.

Такое

развертывание

понятия

функции

обладает

рядом

достоинств.

В

нем

подчеркивается "динамический" характер понятия функциональной зависимости, легко

выявляется

модельный

аспект

понятия

функции

относительно

изучения

явлений

природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса

алгебры,

поскольку

большинство

функций,

используемых

в

нем

выражается

аналитически или таблично.

Однако современная трактовка понятия функции содержит также черты, которые

следует

рассматривать

как

ограничительные.

Одним

из

очень

существенных

ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже

явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в

значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного

числового аргумента(определенными на числовых промежутках). В самом деле, когда я

провела 18 мая 1996 года в 7-ом классе письменный опрос, в котором ученикам

предлагалось

дать

определение

понятия

функции

и

просьба

привести

примеры

функций, не обязательно числовых, из 20-ти опрошенных никто не смог привести ни

одного

примера

нечисловой

функции.

Понятие

функции

у

ребят,

к

сожалению,

отождествляется только с числовыми функциями. Согласитесь со мной, это очень

печальный результат.

Значит, в обучении учителю придется, используя и развивая функциональные

представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания.

Реализация же прежнего подхода к понятию функции, как соответствии (или

отображении)

между

элементами

двух

множеств

вызывает

необходимость

иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: язык школьной

математики при этом обогащается.

Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками,

перечислением

пар,

использование

не

только

числового,

но

и

геометрического

Горинова Т.В.

37

материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным

рассматривать как функцию.

Обобщенность

возникающего

понятия

и

вытекающие

отсюда

возможности

установления разнообразных связей в обучении математике - основные достоинства

такой трактовки.

Хотя в современном школьном курсе математики в итоге длительных методических

поисков в качестве ведущего был принят подход к понятию функции, как зависимости

переменных величин, одновременно нужно учитывать все ценное, что можно извлечь

из предшествующего подхода.

Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия

функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:



представление

о

функциональной

зависимости

переменных

величин

в

реальных процессах и в математике;



представление о функции как о соответствии (отображении) в старших классах;



построение и использование графиков функций, исследование функций;



вычисление значений функции, определенных различными способами.

Таким образом, думаю, что в старших классах если не непосредственно на уроках,

то обязательно факультативно было бы полезно дать учащимся более общее научное

представление

о

функции,

как

особом

виде

соответствия

(отображения)

между

множествами

произвольной

природы.

Это

значительно

расширит

их

кругозор

и

повысит

математическую

культуру,

тем

более,

что

сейчас

требования

к

уровню

математического

образования

все

более

возрастают

и

вряд

ли

будут

снижаться.

Прежний

подход

существовал

достаточно

длительный

период

времени

и

зарекомендовал себя только с хорошей стороны. Поэтому было бы опрометчиво не

думать о возвращении особенно ценных его компонентов в современную трактовку

понятия функции в школе, как говорил Гете:" Над важным думать - никогда нелишне".

Горинова Т.В.

38

Литература:

1.

Алешина

Т.Н.

"Урок

математики:

применение

дидактических

материалов

с

профессиональной направленностью" - М., "Высшая школа", 1991г.

2. Канин Е.С. и др. "Упражнения по началам математического анализа в 9 - 10

классах" - М., "Просвещение", 1986г.

3.

Колягин

Ю.М.

и

др.

"Методика

преподавания

математики

в

средней

школе.

Частные методики" - М., "Просвещение", 1977г.

4. Ляпин С.Е. "Методика преподавания математики", М - Л., "Учпедиз", 1952г.

5. "Математика в школе" - М., "Педагогика", N 5 - 1987г., N 1 - 1987г., N 4 - 1989г., N 1

- 1990г.

6.

Мишин

В.И.

"Методика

преподавания

математики

в

средней

школе.

Частная

методика" - М.; "Просвещение", 1987г.

7. Никольская И.Л. "Факультативный курс по математике" - М., "Просвещение", 1991г.

8. Ованесов Н.Г., Сикорская Л.В. "Развитие понятия функции" - Астрахань, АГПИ,

1987г.

9. Ованесов Н.Г. "Научные основы начал математического анализа" - Астрахань,

АГПИ, 1987г.

10. Савченко Ю.С. "Опорные конспекты по математике" - Ленинград, "Финансы",

1991г.

11. Яглом И.М. (сост.) "Новое в школьной математике. Сборник" - М., "Знание", 1972г.

12. "Наука и человечество" -М, "Знание", 1990г.

Горинова Т.В.

39