Тема: «Способы решения логарифмических уравнений».

Учитель Гончарук Любовь Александровна

Должность

Учитель математики

Предмет

Алгебра и начала математического анализа

Класс

10

Тема урока

«Способы

решения

логарифмических

уравнений»,

2

часа

Базовый учебник

Ю,М,Колягин, М.Б.Ткачева и др. Учебник «Алгебра и

начала математического анализа».2014 г.

Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы

решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

- обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в

вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

I.

Организационный момент.

Учитель.

- Здравствуйте, садитесь!

Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических

уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и

свойства логарифмов. (слайд № 1)

II.

Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической

функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log

0,8

x является возрастающей или убывающей?Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)

2. Работа по карточка(3-4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log

6

4 + log

6

9 =

б) log

1/3

36 – log

1/3

12 =

Решить уравнение: log

5

х = 4 log

5

3 – 1/3 log

5

27

Карточка №2:

Вычислить: а) log211 – log244 =

б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log

7

х = 2 log

7

5 + 1/2 log

7

36 – 1/3 log

7

125.

Фронтальный опрос класса (устные упражнения)

Вычислить: (слайд № 5)

1.

log

2

16

2.

lоg

3

√3

3.

log

7

1

6.

log

8

14 + log

8

32/7

7.

log

3

5 ∙ log

5

3

8.

5

log

5

49

1

4.

log

5

(

1

/

625

)

5.

log

2

11 - log

2

44

9.

8

lоg

8

5 - 1

10. 25

–log

5

10

Сравнить числа: (слайд № 6)

1.

log

½

е и log

½

π;

2.

log

2

√5/2 и log

2

√3/2.

Выяснить знак выражения log

0,8

3 · log

6

2/3. (слайд № 7)

III.

Проверка домашнего задания:

На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить

ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся.

IV.

Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется

логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение

log

a

х =с (а > 0, а≠ 1)

Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)

1.

Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)

log

a

х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = а

с

.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:



по данным основаниям и числу определяется логарифм,



по данному логарифму и основанию определяется число,



по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log

2

128= х, log

16

х = ¾, log

х

27= 3,

2

х

= 128, х =16

¾

, х

3

=27,

2

х

= 2

7

, х =2

3

, х

3

= 3

3

,

х =7 . х = 8. х =3.

С классом решить следующие уравнения:

а) log

7

(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log

2

(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

2.

Метод потенцирования. (слайд № 10)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не

содержащему их т.е.

log

a

f(х) = log

a

g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение

=

ОДЗ:

3х-1>0; х>1/3

6х+8>0.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 >1/3 - неверно

Ответ: решений нет.

С классом решить следующее уравнение:

lg(х

2

-2) = lg х (ответ: х=2)

2

3.

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд

№11)

Пример:

Решите уравнение

=log

2

(6-х)

ОДЗ:

6-х>0;

х>0;

х≠1;

log

2

х

2

>0;

х

2

>0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log

2

(6-х)

х

2

= 6-х

х

2

+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

С классом решить следующее уравнение:

=

(ответ: х=1)

4.

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)

Пример:

Решите уравнение log

16

х+ log

4

х+ log

2

х=7

ОДЗ: х>0

¼ log

2

х+½ log

2

х+ log

2

х=7

7/4 log

2

х=7

log

2

х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение:

+

=3 (ответ: х=5/3)

5.

Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)

Пример:

Решите уравнение log

2

(х +1) - log

2

(х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0. х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем

log

2

= 2, откуда следует

= 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно

Ответ: х = 3.

3

С классом решить следующие уравнения:

а)log

5

(х +1) + log

5

(х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log

9

( 37-12х ) log

7-2х

3 = 1,

37-12х >0, х< 37/12,

7-2х >0, х< 7/2, х< 7/2,

7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;

log

9

( 37-12х ) / log

3

(7-2х ) = 1,

½ log

3

( 37-12х ) = log

3

(7-2х ) ,

log

3

( 37-12х ) = log

3

(7-2х )

2

,

37-12х= 49 -28х +4х

2

,

4х

2

-16х +12 =0,

х

2

-4х +3 =0, Д=19, х

1

=1, х

2

=3, 3 –посторонний корень .

Ответ: х=1 корень уравнения.

в) lg(х

2

-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.

(х

2

-6х+9) >0, х≠ 3,

х-7 >0; х >7; х >7.

lg ((х-3)/(х-7))

2

= lg9

((х-3)/(х-7))

2

= 9,

(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,

х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,

х =9. х=6 - посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

Ответ : 9

6.

Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)

Пример:

Решите уравнение lg

2

х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р

2

-6р+5=0.

р

1

=1, р

2

=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

log

6

2

х + log

6

х +14 = (√16 – х

2

)

2

+х

2

,

16 – х

2

≥0 ; - 4≤ х ≤ 4;

х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).

log

6

2

х + log

6

х +14 = 16 – х

2

+х

2

,

log

6

2

х + log

6

х -2 = 0

заменим log

6

х = t

t

2

+ t -2 =0 ; D = 9 ; t

1

=1 , t

2

= -2.

log

6

х = 1 , х = 6 посторонний корень .

log

6

х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .

Ответ : 1/36.

7.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)

Пример:

4

Решите уравнение log

4

(2х-1)∙ log

4

х=2 log

4

(2х-1)

ОДЗ:

2х-1>0;

х >0. х>½.

log

4

(2х-1)∙ log

4

х - 2 log

4

(2х-1)=0

log

4

(2х-1)∙(log

4

х-2)=0

log

4

(2х-1)=0 или log

4

х-2=0

2х-1=1 log

4

х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log

3

х ∙log

3

(3х-2)= log

3

(3х-2) (ответ: х=1)

8.

Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16)

Пример:

Решите уравнения

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Получим log

3

= log

3

(3х)

.

получаем : log

3

х

2

log

3

х = log

3

(3х),

2log

3

х log

3

х = log

3

3+ log

3

х,

2 log

3

2

х = log

3

х +1,

2 log

3

2

х - log

3

х -1=0,

заменим log

3

х = р , х >0

2 р

2

+ р -2 =0 ; D = 9 ; р

1

=1 , р

2

= -1/2

log

3

х = 1 , х=3,

log

3

х = -1/ 2 , х= 1/√3.

Ответ: 3 ; 1/√3

С классом решить следующее уравнение:

log

2

х - 1

х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4)

9.

Функционально – графический метод. (слайд № 17)

Пример:

Решите уравнения: log

3

х = 12-х.

Так как функция у= log

3

х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное

уравнение на этом интервале имеет один корень.

Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log

3

х и у =12-х.

При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

С классом решить следующее уравнение:

1-√х =ln х (ответ : х=1).

V.

Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое

настроение рисунком). (слайд № 18,19)

Определить метод решения уравнения:

5

x

х

x

3

2

3

log



4

log

3

log

2

2

2





x

x

1

)

3

(

log

)

2

(

log

2

2









x

x

2

)

1

5

(

log

3





x

)

2

(

log

2

log

)

2

(

log

3

5

3







x

x

x

)

5

7

(

log

)

3

5

(

log

3

3







x

x

VI.

Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Литература

1.

Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/

А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2012

2.

Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16,

17, 20, 21, 47.

3.

Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших

классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2014

4.

Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10

класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2013

6

1

2

log

2

log

2







x

х

4

log

3

8

log

9

log

3

27

3





x

0001

,

0

lg

5

lg

3





x

x

x

x

x

2

log

2

1

