СИММЕТРИЯ В

ПРОСТРАНСТВЕ

11 класс

ПОНЯТИЕ СИММЕТРИИ

МАТЕМАТИКИ О СИММЕТРИИ



Математик любит прежде всего симметрию.

Д. Максвелл



Красота тесно связана с симметрией.

Г. Вейгль



Симметрия является той идеей, посредством которой

человек на протяжении веков пытался постичь и создать

порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль



Для человеческого разума симметрия обладает, по-

видимому, совершенно особой притягательной силой.

Р. Фейнман

СИММЕТРИЯ В

ПРОСТРАНСТВЕ

Центральная симметрия

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в

точку А

1

, симметричную ей относительно центра О, называется

преобразованием центральной симметрии или просто

центральной симметрией



Центральную симметрию можно

представить также как

гомотетию с центром A и

коэффициентом −1

Гомотетией c центром O и коэффициентом k (K не равно

нулю) называют преобразование плоскости (или

пространства), переводящее точку X в точку X’, обладающую

тем свойством, что OX’=kOX .

Русским эквивалентом слова

«Гомотетия» (синонимом)

является слово «Подобие».

Поэтому вместо слов центр

гомотетии O и коэффициент

гомотетии k можно говорить

соответственно центр подобия

O и коэффициент подобия k.

Осевая симметрия

Преобразование, при

котором каждая точка А

фигуры преобразуется в

симметричную ей точку

А1, относительно

некоторой оси

называется осевой

симметрией

Фигура называется

симметричной

относительно прямой а,

если для каждой точки

фигуры симметричная ей

точка относительно прямой

а также принадлежит этой

фигуре

Прямая а называется осью

симметрии.

Осевая симметрия

Фигуры, обладающие осевой симметрией

Куб имеет 13 осей симметрии:

•

3 оси симметрии, проходящие через

центры противолежащих граней;

•

4 оси симметрии, проходящие через

противолежащие вершины;

•

6 осей симметрии, проходящие через

середины противолежащих ребер.

В животном мире есть 2 вида симметрии

Центральная

Осевая

Центральная симметрия наиболее

характерна для животных, ведущих

подводный образ жизни, а также

для большинства цветов и

снежинок

Осевая симметрия присуща

большинству видов

растений и животных

Зеркальной симметрией

(симметрией относительно плоскости



) называется такое

отображение пространства на себя, при котором любая

точка М переходит в симметричную ей относительно этой

плоскости



точку М

1

.

М

М

1

О

М

К





ОМ=ОМ

1

;

ММ

1





МК=М

1

К

1

М

1

К

1



Точки А и В называются

симметричными

относительно плоскости α

(плоскость симметрии), если

плоскость α проходит через

середину отрезка АВ и

перпендикулярна к этому

отрезку. Каждая точка

плоскости α считается

симметричной сама себе.

А

В

α

ФИГУРЫ, СИММЕТРИЧНЫЕ

ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ

Фигура симметрична относительно некоторой плоскости, если при симметрии

относительно этой плоскости фигура переходит сама в себя. Такая плоскость

называется плоскостью симметрии фигуры.

цилиндр и конус симметричны

относительно любой плоскости,

проходящей через их ось.

сфера и шар симметричны относительно

любой плоскости, проходящей через их

центр.

СИММЕТРИЯ

В ПИРАМИДЕ



Правильная N-угольная

пирамида при чётном

числе граней

симметрична

относительно другой

плоскости, проходящей

через её высоту и

наибольшую диагональ

основания

Термин зеркальная симметрия употребляется также для описания

соответствующего типа симметрии объекта, то есть, когда объект при

операции отражения переходит в себя.

Это математическое понятие описывает соотношение в оптике объектов и их

(мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале, а также многие

законы симметрии (в кристаллографии, химии, физике, биологии и т. д., а также

в искусстве и искусствоведении)

Задача: При зеркальной симметрии прямая а

отображается на прямую а

1

.

Докажите, что прямые а и а

1

лежат в одной

плоскости.

Дано: f(α)-

зерк.симметрия

Док-ть: а

1

,а

принадл. α

а

1

а

z

y

L

K

A

B

M

N

а

1

а

x

z

y

L

K

A

B

M

N

Док-во:

пусть а ║ Oxy. Точки M и L, N и K симметр.

MA=AL,NB=BK. Если а ║ Oxy, то

MA=AL=NB=BK. Т.к. две прямые, перпенд.

плоскости, между собой ║,то ML ║NK.

ML=NK и MNKL – прямоугольник, => LK ║

MN

Или а ║а

1.

А ║ прямые лежат в одной

плоскости.

Если а ║ Oxy,то она ∩ ее в т. P. При

симметрии т. P переходит в себя(т.к. она

лежит а пл. Oxy. Значит,p принадлежит

а

1.

Т.е. прямые а и а

1

имеют общ.точку и

лежат в одной плоскости.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью,

плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры

симметрична относительно нее некоторой точке той же

фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость)

симметрии, то говорят, что она обладает центральной

(осевой, зеркальной) симметрией.

Симметрия в пространстве

Симметрия в

архитектуре

Спасибо за

внимание!