Тема : « Задачи на построения»

Сценарий урока.

Вначале урока для того , чтобы дети быстрее включились в мыслительный процесс,

предлагается несложная, но интересная задача, требующая только логичекой смекалки и

внимательности. Представляется задача 3 для 2 класса 21 всероссийской олимпиады по

математике лаборатории 2х2 (МИРЭА) для начальной школы, прошедшей 12 февраля

2017 года на базе школы №161 г.о Самары

Ответ правильный 14 шариков, подумайте, перекладина ведь тоже весит что-то? 2

шарика.

Теперь можно перейти к основной части урока ЗАДАЧАМ на построение, условимся

только. Что все простейшие задачи на построения мы делать умеем, а вот умеем ли

составлять алгоритм построения . основываясь на имеющихся знаниях по геометрии.

Итак, знаменитая задача Евклида.

Пример

1.

Постройте

биссектрису

угла,

вершина

которого

не

помещается

на

чертеже.

Решение. Пусть А — недоступная вершина.

Как

построить

биссектрису

мы

знаем,

но

проблема в вершине А, которая недоступна, Но

что

мы

знаем

про

биссектрису

и

свойства

биссектрис.

1.

Биссектрисы треугольника пересекаются

в одной точке

Как

это

использовать,

треугольника

то

нет?

Но

можно

найти

ДВЕ

вершины

треугольника АВС,

Отметим

на

сторонах

данного

угла

произвольные

точки В

и С.

Точка

пересечения

биссектрис треугольника ABC, проведенных из вершин В и С, лежит на биссектрисе угла

А , так как три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Таким образом,

можно найти точку на искомой биссектрисе. Аналогично, взяв другие точки на сторонах

угла, найдем и вторую точку, лежащую на биссектрисе угла А. А через две точки можно

провести прямую и притом только одну. Она и будет содержать биссектрису угла А..

Способ II. Центры вписанной и вневписанной окружности лежат на биссетрисе

угла. Воспользуемся этим

Получив точно так же, как в первом способе I, точку I, воспользуемся тем, что две внешние и

одна внутренняя биссектрисы произвольного треугольника пересекаются в одной точке –

точке Q (рис.2). Тогда прямая QIсовпадает с биссектрисой угла A.

Способ III. Этот способ основан на том, что, например,

сторона AB треугольника ABC видна из точки пересечения биссектрис

треугольника I под углом

Поэтому комментарии к рис.3 представляются

почти излишними, достаточно найти точку

пересечения биссектрис и отложить угол равный

90

0

+С/2

Способ IV. Поскольку все точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон,

ограничимся фразой: «Смотрите!»(рис.4)

Способ попроще предыдущего, имеет и другую трактовку, к которой обычно подходят дети

«Найти еще одну точку пересечения, изменив расстояния от сторон, и потом, провести прямую

через эти две точки биссектрису

Способ V. Биссектриса в равнобедренном треугольнике является медианой и высотой (или

серединным перпендикуляром

Создаем маленький равнобедренный треугольник NCK, проведя через произвольную

точку N на одной стороне угла прямую n параллельно другой стороне, а затем – окружность с

центром в N произвольного радиуса. Получим точки C и K, причем

(рис.5).

Прямая CK при пересечении со второй стороной угла создает равнобедренный

треугольник ABC. Очевидно, q – серединный перпендикуляр к BC – совпадет с биссектрисой

угла A.

Интересен и способ , основанный на свойстве биссектрисы делить, противоположную

сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Который решается почти таким же приемом, что и выше. А именно, провести прямую,

параллельную стороне АВ и пересечь ее новой стороной треугольника, тогда она отсечет

треугольник подобный данному, осталось только найти, используя теорему о

пропорциональных отрезках точку на нашей построенной стороне

Несомненно, ученики и педагоги придумают новые способы решения. Этим они еще больше

поднимут рейтинг блестящей задачи Евклида – одной из первых в мире «задач с

ограничениями».

Но перейдем к еще к одному приему построения, который редко изучается в

основном курсе геометрии. Начнем с примера

Пример 2. Постройте треугольник, если известны сторона, прилежащий к ней угол

и сумма двух других сторон.

Решение. Начнем с анализа. Предположим, что ABC —

искомый треугольник, АВ – его данная сторона,

∠

A – данный угол, АС + СВ равно данной сумме двух

других сторон. На продолжении отрезка АС за точку С

отложим отрезок CB

1

равный СВ. Тогда АВ

1

= АС + СВ

1

=АС + СВ,

а так как СВ = CB

1

, то точка С лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BB

1

.

Треугольник AB

1

B можно построить по двум данным сторонам и углу между ними.

Пересечение серединного перпендикуляра к стороне ВВ

1

с отрезком АВ

1

есть искомая

вершина С.

Замечание. Примененный в решении подход часто называют методом

спрямления, то есть для того, чтобы увидеть заданную величину, мы располагаем ее

на прямой (спрямляем).

Еще примеры по той же теме.

Пример 3. Построить прямоугольный треугольник по острому углу и сумме катетов.

Решение. Предположим, что искомый

прямоугольный треугольник ABC построен.

Пусть

∠

C

= 90°,

∠

А =

α

— данный угол, АС + СВ

= а —

данная сумма катетов. На продолжении

катета АС за

точку С отложим отрезок CB

1

равный ВС

(спрямим

катеты на прямой АС). Тогда АВ

1

= АС + СВ

1

= АС+ ВС = а,

∠

АВ

1

В=45

0

, а точка С лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BB

1

. Отсюда

вытекает следующее построение. Треугольник АВВ

1

строим по стороне АВ

1

= а и двум

прилежащим к ней углам:

∠

A =

α

,

∠

B

1

= 45°. Проводим серединный

перпендикуляр к стороне ВВ

1

или опускаем перпендикуляр из вершины В на прямую АВ

1

.

Построенный перпендикуляр пересекает прямую АВ

1

в искомой вершине С.

Пример 4 . Постройте треугольник, если заданы сторона,

противолежащий ей угол и сумма двух других сторон.

Решение. Предположим, что треугольник ABC построен

(См. рис.).

Пусть ВС = а – данная сторона,

∠

А=

α

– данный угол,

АВ + АС = d –

данная сумма сторон. На продолжении стороны ВА за

точку А

отложим отрезок AD, равный АС. Тогда BD = BA + AD =

BA + AC = d,

треугольник DАС равнобедренный. Поэтому

∠

ВВС =

1

2

∠

ВАС =

α

2

.

Отсюда вытекает следующее построение, cтроим отрезок

ВD, равный d.

От луча DВ откладываем угол, равный

α

2

. С центром в

точке В

проводим окружность радиуса а. Точка пересечения этой окружности с проведенным

ранее лучом (таких точек может быть две) есть искомая вершина С. Пересечение

серединного перпендикуляра к отрезку DС с прямой ВD дает искомую вершину А.

Пример 5.. Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основания его

биссектрис.

Решение. Пусть ABC – искомый

треугольник, АВ =АС, AF, BD и СЕ — его

биссектрисы. Тогда DE\\BC, AF

¿

BC и

ВЕ = DЕ =

СD. Отсюда вытекает следующее

построение:

вначале

проводим

отрезок ЕD,

затем

через

точку F

проведем

прямую,

параллельную ЕD.

Строим

окружности

с

центрами

в точках Е и D радиусом, равном ЕD и находим точки их

пересечения с проведенной ранее прямой, получаем точки В и С. Точку А получаем как

точку пересечения прямых ВЕ и СD. Треугольник АВС искомый.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.

2. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, вдвое меньше

другой биссектрисы. Найдите углы треугольника.

4. Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой

пополам.

5. Впишите в окружность прямоугольный треугольник, катеты которого проходят через

две данные точки.

6. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.

Решения и комментарии к задачам для самостоятельного решения

1.

Указание.

Пусть

треугольник

ABC

–

искомый, В С и

А С

– данные

стороны,

ВАСABC

-

��

–

данная

разность

углов

(считаем,

что

ВАСABC

>

�

�

).

Если

точка С

1

симметрична

вершине С

относительно серединного перпендикуляра к стороне АВ, то

1

1

САССАВСАВCBAABC

�

=

�

-

�

=

�

-

�

и

AC

1

= ВС.

Следовательно, треугольник САС

1

можно построить по двум

сторонам и углу между ними (АС – дана по условию, АС

1

– равна данной по условию ВС,

∠

САС

1

– данная

разность

углов.

Остальное

очевидно,

построить

симметрично

относительно серединного перпендикуляра к СС

1

точку В, симметричную А.

2.

Решение.

Предположим,

что

треугольник ABC

построен,

∠

A и

∠

В — данные

углы, Р – данный периметр.

На

продолжении

отрезка А В за

точку В отложим

отрезок BB

1

,

равный ВС,

а

на

продолжении отрезка АВ за точку А – отрезок AA

1

, равный АС. Треугольники А

1

АС и В

1

ВС

равнобедренные. Поэтому

1

1

2

AА

�

=

�

,

1

1

2

BВ

�

=

�

, А

1

В

1

=А

1

А+АВ+ВВ

1

=АС+АВ+ВС=Р.

Треугольник, равный треугольнику А

1

В

1

С, строим по стороне (равной Р) и двум

прилежащим к ней углам (

1

1

2

AА

�

=

�

,

1

1

2

BВ

�

=

�

). Серединные перпендикуляры к сторонам

А

1

С и В

1

С пересекают отрезок А

1

В

1

в искомых вершинах А и В.

3.

Решение.

Пусть

точка А –

вершина

равнобедренного

треугольника ABC,

а

его

биссектриса AM

вдвое

меньше

биссектрисы BD. На продолжении биссектрисы AM за точку М

отложим

отрезок МК, равный AM.

Тогда ВК

\\ AD и АК =

2АМ

=

BD.

Е с л и Р

–

точка

пересечения

биссектрис

треугольника ABC,

т о ВР = КР, так как треугольник ВРК -

равнобедренный. Пусть

ABP

a

�

=

. Тогда

3

PKBPBK

a

�

=

�

=

.

Поскольку ВК = АВ, то

3

ВАКAKBPKB

a

=

�

�

=

�

=

Из прямоугольного треугольника АМВ находим, что

90902

BAKBAMABM

a

�

=

�

=-

�

=-

o

o

.

Из уравнения

3902

aa

=-

o

находим, что

1

8

a

=

o

. Следовательно,

∠

ABC = 36°.

4. Решение. Пусть М – данная точка окружности с центром О,

А В –

данная хорда. Если А В – диаметр, то искомая хорда также диаметр.

Если АВ – хорда, не являющаяся диаметром, MN – искомая хорда, а К –

ее середина, то OK

¿

MN,

то есть радиус ОМ

виден

из

точки К под прямым углом. Значит,

середина

искомой

хорды MN

лежит

на

окружности с диаметром ОМ.

5.

Решение.

Пусть А и В –

данные

точки

внутри

данной

окружности.

Поскольку

о т р е з о к А

В виден

из

вершины

прямого

угла

искомого

прямоугольного

треугольника

под

прямым

углом,

эта

вершина

лежит

на

окружности

с

диаметром А В . Вершины

треугольника

получаются как точки пересечения катетов с данной окружностью и

с окружностью, построенной на АВ, как на диаметре.

6.

Указание.

Воспользуйтесь

тем,

что

центр

описанной

окружности

есть

точка

пересечения серединных перпендикуляров и постройте два прямоугольных треугольника

с общей гипотенузой и катетами, равными половинам данных сторон.

N

М

K