ФИО: Карпенко Светлана Викторовна

Место

работы:

МБОУ

«Лицей

№

10»

г.

Белгород

Должность: Учитель математики

Название

материала: «Консультация

для

учащихся:

Аркфункции

в

уравнениях

и

неравенствах»

Основные свойства обратных тригонометрических функций.

1 Функция y = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке [– 1; 1];

arcsin (– x) = – arcsin x (x



[– 1; 1]);

2 Функция y = arccos x определена и монотонно убывает на отрезке [– 1; 1];

arccos (– x) =



– arccos x (x



[– 1; 1]);

E(arccos) = [0;



].

3 Функция y = arctg x определена и монотонно возрастает на R;

arctg (– x) = – arctg x (x



R);

4 Функция y = arcctg x определена и монотонно убывает на R;

arcctg (– x) =



– arcctg x (x



R);

E(arcctg) = (0;



).

5

Методы решения уравнений и неравенств, содержащих

обратные тригонометрические функции.

Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении

многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические

функции. Перейдем к рассмотрению методов решения этих уравнений и

неравенств.

I. Решение уравнений и неравенств, левая и правая части

которых являются одноименными обратными

тригонометрическими функциями.

1

Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют

собой одноименные обратные тригонометрические функции различных

аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как

монотонность. Напомним, что функции y = arcsin t и y = arctg t монотонно

возрастают, а функции y = arccos t и y = arcctg t монотонно убывают на своих

областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные

переходы.

1.

2.

3.

а) arctg f(x) = arctg g(x)



f(x) = g(x);

б) acrtg f(x)



arctg g(x)



f(x)



g(x).

4.

а) arcctg f(x) = arcctg g(x)



f(x) = g(x);

б) arcctg f(x)



arcctg g(x)



f(x)



g(x).

Замечание 1. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении

уравнений 1а) и 2а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) |



1 (тогда

используем первую систему), или | g(x) |



1 (в этом случае используем вторую

систему).

Пример 1. Решить уравнение arcsin (3x

2

– 4x – 1) = arcsin (x + 1).

2

Решение. Уравнение равносильно системе

Замечание 2. Решать неравенство, входящее в систему, вообще говоря, не

обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные

корни уравнения, как это и было сделано при решении примера 1.

Пример 2. Решить неравенство arcctg (8x

2

– 6x – 1)



arcctg (4x

2

– x + 8).

Решение. Неравенство равносильно следующему:

Пример 3. Решить неравенство 3arcsin 2x < 1.

Решение.

Пример 4. Решить неравенство arccos (x

2

– 3)



arccos (x + 3).

Решение.

arccos (x

2

– 3)



arccos (x + 3)

3

Ответ: {– 2}.

Пример 5. Решить уравнение arccos (4x

2

– 3x – 2) + arccos (3x

2

– 8x – 4) =



.

Решение. Так как



– arccos t = arccos (– t), то имеет место следующая цепочка

равносильных преобразований:

arccos (4x

2

– 3x – 2) =



– arccos (3x

2

– 8x – 4)





arccos (4x

2

– 3x – 2) = arccos (– 3x

2

+ 8x + 4)



Аналогичные равносильные преобразования используются и при решении задач с

параметрами.

Пример 7. Решить уравнение с параметром a:

arcsin (ax

2

– ax + 1) + arcsin x = 0.

Решение. Уравнение равносильно уравнению

arcsin ( ax

2

– ax +1) = – arcsin x





arcsin (ax

2

– ax + 1)= arcsin (– x)



Рассмотрим два случая:

4

1) a = 0. В этом случае система примет вид:

2) a



0. В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни:

Так как | x |



1, то

. Если a = – 1, то x

2

= x

1

= 1. Если a



(–



; – 1)



[1;



), то уравнение имеет два корня.

Ответ: при

при a = – 1 и a = 0,x = 1;

при прочих a решений нет.

Пример 8. Решить неравенство с параметром a: arccos (3ax + 1)



arccos (2x + 3a

-– 1).

Решение. Неравенство равносильно системе

Решать последнюю систему можно графо-

аналитическим методом, учитывая то, что при a >

первое неравенство системы равносильно

неравенству x



1, при a <

– неравенству x



1, при

a =

решением первого неравенства является любое действительное число.

Множество всех точек (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих системе, показано

на рис. 1 штриховкой.

Ответ: при | a | >

решений нет; при a = –

x = 1;

II. Решение уравнений и неравенств, левая и правая части

которых являются разноименными обратными

тригонометрическими функциями

5

При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются

разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются

известными тригонометрическими тождествами. Эта группа задач является чуть

более сложной по сравнению с предыдущей. При решении многих уравнений

такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности

преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения

делать необходимую проверку. Рассуждения здесь могут быть примерно

следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x).

Предположим, что x

0

– решение этого уравнения.

Обозначим arcsin f(x

0

) = arccos g(x

0

) через a. Тогда sin a = f(x

0

), cos a = g(x

0

), откуда

f

2

(x

0

) + g

2

(x

0

) = 1. Итак, arcsin f(x) = arccos g(x)



f

2

(x) + g

2

(x) = 1. (1)

Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:

Замечание 3. Корнем каждого из уравнений (1)–(4) может быть только такое число

x

0

, для которого f(x

0

)



0 и g(x

0

)



0. В противном случае множество значений левой и

правой частей уравнения не пересекаются.

Пример 9. Решить уравнение

6

Решение.

Корень

является посторонним.

Ответ: {1}.

Пример 10. Решить уравнение

Решение.

Корень x = – 2 является посторонним.

Ответ: .

Пример 11. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x).

Решение.

7

Корни вида

являются посторонними.

Ответ:

При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой

разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно

использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства

монотонных функций.

Пример 12. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим функцию

и решим неравенство f(x)



0 методом интервалов.

1) Найдем D(f). Для этого решим систему

2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение

Корень x = – 2 является посторонним.

3) Решим неравенство f(x)



0 методом интервалов.

8

Замечание 4. Заметим, что найдя корень уравнения

можно было не обращаться к методу интервалов, а воспользоваться тем, что

функция

является монотонно возрастающей, а функция

монотонно убывающей на отрезке

. Поэтому решением

исходного неравенства является промежуток [– 2; 1]. Следует, однако, понимать,

что метод интервалов является более универсальным, – ведь его можно

применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не

приводит к искомому результату.

При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры,

становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы

преобразования (1)–(4) сделать равносильными, следует учесть естественные

ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических

функций и множествами их значений (см. замечание 3). Так, например,

Пример 13. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x – a).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Графиком квадратного трехчлена f(x) = 2x

2

– 5ax + 2a2 – 1 является парабола,

ветви которой направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 < 0, то при любом a

уравнение f(x) = 0 имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2a.

Поэтому только больший корень f(x) удовлетворяет условию x > 2a. Это корень

Ответ: при любом a

III. Решение методом замены переменной.

9

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические

функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену

переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на

вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных

тригонометрических функций.

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Обозначим

После преобразований

получим уравнение

Поскольку

откуда

Ответ:

Пример 15. Решить неравенство arccos

2

x – 3arccos x + 2



2.

Решение. Пусть arccos x = t, 0



t





. Тогда

Поскольку

откуда

Ответ: [– 1; cos 2]



[cos 1; 1].

Иногда свести уравнение или неравенство к алгебраическому можно с помощью

тождества

10

Пример 16. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующему:

Пусть arcsin x = t, где

Тогда

IV. Использование свойств монотонности и ограниченности

обратных тригонометрических функций

Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные

тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах

этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются

следующие теоремы.

Теорема 1. Если функция y = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = c (c = const) имеет

не более одного решения.

Теорема 2. Если функция y = f(x) монотонно возрастает, а функция y = g(x)

монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения.

Теорема 3. Если

то на множестве X

уравнение f(x) = g(x) равносильно

системе

Пример 17. Решить уравнение 2arcsin 2x = 3arccos x.

11

Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция y

= 3arccos x – монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем

данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень – единственный.

Ответ: {0,5}.

Пример 18. Решить уравнение

Решение. Пусть x

2

+ x = t. Тогда уравнение примет вид

Функции

являются монотонно возрастающими.

Поэтому функция

также является монотонно

возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение

имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого

уравнения. Поэтому x

2

+ x = 0

Ответ: {– 1; 0}.

Пример 19. Решить неравенство

Решение. Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на

отрезке

функцию

Уравнение

в

силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что

– корень

этого уравнения. Поэтому решением неравенства

является отрезок

Ответ:

12

Пример 20. Решить уравнение arcsin (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) =



.

Решение. Поскольку arcsin

то левая часть уравнения не

превосходит

Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое

левой части равно

. Таким образом, уравнение равносильно системе:

Решение последней системы не представляет труда.

V. Решение уравнений и неравенств, используя « прямые»

тригонометрические функции от обеих частей.

Пример 21. Решить уравнение arccos

x

√

3

+

arccos x

=

π

2

Решение. Перепишем это уравнение в виде arccos

x

√

3

=

π

2

−

arccos x

и возьмем

косинусы от обеих частей

cos

(

arccos x

√

3

)=

cos

(

π

2

−

arccos x

)

,

т.е.

x

√

3

=

√

1

−

x ²

.

Возведем обе части этого уравнения в квадрат ( от этого могут появиться

посторонние корни, но нам все равно нужно делать проверку – ведь мы брали

косинусы от обеих частей! ) : 3х²= 1-х². Отсюда 4х²= 1, т.е. х=±

1

2

Сделаем проверку. Для х=

1

2

имеем

arccos

√

3

2

+

arccos

1

2

=

π

6

+

π

3

=

π

2

, и

следовательно, х=

1

2

- корень данного уравнения.

Для х= -

1

2

имеем

arccos

(−

√

3

2

)+

arccos

(−

1

2

)=

5 π

6

+

2 π

3

=

3 π

2

, т. е. х=

−

1

2

является лишним корнем.

13

Использованная литература.

1. С. Шестаков, М. Галицкий. Уравнения и неравенства, содержащие обратные

тригонометрические функции. Учебно-методическая газета «Математика», №14,

2000 г., изд. Дом «Первое сентября»

2 . Г. В. Дорофеев, М.К.Потапов, Н. Х.Розов. Пособие для поступающих в вузы.

М.,1968

14