РАЗЛИЧНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

1.1 Доказательства теоремы Пифагора.

Огромное разнообразие доказательств знаменитой теоремы Пифагора

можно объединить в несколько групп:

- доказательства, основанные на понятии площади;

- доказательства, основанные на свойствах пропорциональных отрезков

прямоугольного треугольника;

- доказательства, основанные на определении косинуса угла.

1.1.1 Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади.

Доказательство Евклида

Данное доказательство основано на равновеликости четырехугольников.

Теорема Пифагора у Евклида звучит так: если взять прямоугольный

треугольник и на его сторонах построить квадраты, то сумма площадей квадратов

построенных на катетах, будет ровна площади квадрата, построенного на

гипотенузе.

Доказательство:

Строится прямоугольный треугольник АВС, достраиваются квадраты на

его сторонах: BDEA, AFGC и BCKH (рис. 1).

Рисунок 1 – Чертеж к доказательству Евклида

Из точки А проведем перпендикуляр на сторону НК квадрата BCKH.

Этот перпендикуляр разделит квадрат на два прямоугольника. Для того чтобы

доказать теорему Пифагора нам нужно сначала доказать равновеликость

четырехугольников: BLMN и BDEA, LCKM и AFGC. Чтобы это доказать мы

проведем две прямые DС и АN, которые помогут нам в доказательстве.

Заштрихуем на чертеже два следующих треугольника: DCB и ABN.

Треугольник DCB имеет общее основание BD с квадратом BDEA и высоту

CN равную стороне этого квадрата, это говорит о том, что площадь треугольника

равна половине площади квадрата.

Треугольник FBN имеет общее основание BN с прямоугольником BLMN

и высоту АР равную высоте BL этого прямоугольника, это говорит о том, что

площадь треугольника равна половине площади квадрата.

Если сравнить эти два треугольника между собой, то можно сказать, что

BD=BA, BC=BH, (из-за того, что они являются сторонами квадратов). Так же

понятно, что угол DBC равен углу ABN, так как каждый из этих углов состоит из

общей части треугольника АВС и прямого угла. Таким образом, мы доказали

равенство треугольников FBN и BDC. Из этого следует что, прямоугольник

BLMN равновелик квадрату BDEA.

Подобным образом доказывается, что прямоугольник LCKM равновелик

квадрату AFGC.

Из этого следует, что площадь квадрата DCKN равна сумме площадей

квадратов BDEA и AFGC.

Теорема доказана.

Доказательство Евклида считается одним из самых древних доказательств,

но имея сложный чертеж и объемное доказательство, является достаточно

сложным для восприятия.

Доказательство с помощью равнодополнения

Сущность данного метода состоит в следующем: если две фигуры

дополняются до какой-либо фигуры с помощью одного и того же набора

фигур, то они считаются равнодополнимыми. Их площади равны, так как,

отняв от равных фигур равное, останется равное.

Построим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

(рисунок 2).

Затем построим два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух

катетов, – (a + b).

В каждом из квадратов выполним построения (рис. 3,4)

В первом квадрате (рис. 3) построим четыре таких же треугольника,

как на рисунке 2. В результате получатся два квадрата: один со стороной a,

второй со стороной b.

Во втором квадрате (рис. 4) четыре аналогичных треугольника

образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c.

Сумма площадей построенных квадратов на рисунке 3 равна площади

построенного нами квадрата со стороной с на рисунке 4.

Площади обоих квадратов равны S

1

= S

2

.

Площадь квадрата на рисунке 3 равна S

1

= a

2

+ b

2

+ 4 ·1/2 · a·b.

Площадь квадрата на рисунке 4 равна S

2

= 4 · 1/2 · a·b + c

2

.

Так как S

1

= S

2

, то a

2

+ b

2

+ 4 ·1/2 · a · b = 4 ·1/2 · a · b + c

2

,

a

2

+ b

2

+ 4 ·1/2 · a · b – 4 ·1/2 · a · b = с

2

, a

2

+ b

2

= с

2

. Теорема доказана.

Рисунки 2 Рисунок 3 Рисунок 4

Доказательствами с помощью равнодополнения пользовались еще

древние народы, данный метод является простым для восприятия и хорошо

запоминается.

Доказательство с помощью вычисления площадей

Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с

(рис. 5). Докажем, что с

2

= а

2

+ b

2

.

Достроим треугольник до квадрата, со стороной, а + b так, как показано на

рисунке 6.

Рисунки 5 Рисунок 6

Площадь S этого квадрата равна (а + b)

2

. С другой стороны, этот квадрат

составлен из четырех равных прямоугольников, площадь каждого из которых

равна, ½ а · b, и квадрата со стороной с, поэтому S = 4 · ½ a·b + c

2

= 2a ·b + c

2

.

Таким образом, (а + b)

2

= 2a·b + c

2

, откуда с

2

= а

2

+ b

2

. Теорема доказана.

Доказательство, основанное на понятии площади, очень часто можно

встретить в школьных учебниках и учащиеся его хорошо осваивают. Как

вычислить площадь прямоугольного треугольника и квадрата они знают, и

поэтому при работе над данным доказательством у них не возникает особых

трудностей.

Доказательство президента Соединенных Штатов Д.А. Гарфильда

В 1876г., прежде чем стать двадцатым президентом США, Джеймс Абрам

Гарфилд

(1831-1881)

опубликовал

оригинальное

доказательство

теоремы

Пифагора, которое он обсуждал с коллегами в Конгрессе (рис. 7).

Это

доказательство

можно

встретить

в

учебной

литературе как упражнение. Площадь трапеции = площадь

первого треугольника + площадь второго треугольника +

площадь третьего треугольника. ½ ( а + b ) · ( а + b ) = ½ а · b +

+ ½· а · b + ½ с · с; ½ (а

2

+ 2 · а · b + b

2

) = ½ (a · b + a · b + c

2

),

откуда следует: а

2

+ b

2

+ 2 · a

· b

= 2 · a

· b

+ c

2

,

откуда а

2

+ b

2

= c

2

. Теорема доказана.

Рисунок 7

1.1.2 Доказательство, основанное на свойствах пропорциональных отрезков

прямоугольного треугольника

Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов.

Доказательство: Пусть треугольник АВС – прямоугольный треугольник с

прямым углом С (рис. 8).

Рисунок 8 - Чертеж к доказательству, основанному на свойствах пропорциональных отрезков

прямоугольного треугольника

Проведем высоту из вершины С на гипотенузу АВ, основание высоты

обозначим как Н. Прямоугольный треугольник АСН подобен треугольнику АВС

по двум углам (

,

-

общий). Аналогично, треугольник СВН

подобен АВС.

Введя обозначения ВС = а, АС = b, АВ = с, из подобия

треугольников

получаем,

что . Отсюда имеем, что а

2

= с · НВ,

b

2

= c · АН. Сложив полученные равенства, получаем а

2

+ b

2

= c · НВ + с · АН, а

2

+

+ b

2

= c · (НВ + АН), а

2

+ b

2

= с · АВ, а

2

+ b

2

= с · с, а

2

+ b

2

= с

2

.

Теорема доказана.

Доказательство, основанное на свойствах пропорциональных отрезков не

объемное и не сложное, но требует знаний учащихся о признаках подобия

треугольников и свойствах пропорциональности.

1.1.3 Доказательство, основанное на определении косинуса угла

Доказательство, основанное на определении косинуса угла, строится на

начальных знаниях тригонометрии. Метод очень простой и понятный.

Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов.

Доказательство: Пусть Треугольник АВС – прямоугольный

с прямым

углом С, и проведена высота из СD из вершины С (рис. 9).

Рисунок 9 – Чертеж к

доказательству, основанному на

определении косинуса угла

По определению cos A =

, АС² = АВ · AD. Аналогично cos В =

,

ВС²= ВD · АВ. Сложим полученные равенства почленно, и заметим, что АD + DB

= AB, получим АС² + СВ² = АВ (АD + DB) = АВ².

Теорема доказана.

1.1.4 Знаменитые доказательства Генри Перигаля

У Генри Перигаля было несколько способов доказательства теоремы, он их

постоянно совершенствовал, приведем пример двух из них.

Теорема: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного

треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

I способ: доказательство Генри Перигаля. Метод равносоставленности.

Это доказательство было открыто в 1830 году, а опубликовано в 1873 году.

Его называют: «Колесо с лопастями».

Построим два квадрата на катетах прямоугольного треугольника. Через

центр квадрата построенного на большем катете, проводят две прямые, первую

параллельную

гипотенузе

прямоугольного

треугольника,

вторую

перпендикулярную ей. Далее перенесем квадрат, построенный на маленьком

катете и части квадрата, построенные на большом катете на квадрат, построенный

на гипотенузе (рис. 10).

Теорема доказана.

Рисунок 10 – Чертеж к доказательству «Колесо с лопастями».

II способ:

Одной из жемчужин коллекции доказательств теоремы Пифагора является

доказательство 1873 году английского математика Генри Перигаля (рис. 11,12,13).

Рисунок 11 Рисунок 12 Рисунок 13

После этого доказательства споры по поводу самого простого доказательства

прекратились.

1.2 Обобщения теоремы Пифагора

1.2.1 Теорема косинусов

Теорема косинусов была открыта еще в древней Греции. Ее описание

содержится в II книге Евклида «Начала», Евклид доказал ее в 325 году до н.э.

Теорема: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других

сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство теоремы косинусов для тупого угла:

Рассмотрим тупоугольный треугольник ВАС с тупым углом А. Опустим из

вершины В высоту ВН на продолжение основания АС. Обозначим угол ВАС как

α, АВ = с и АС = b (Рис. 14 (а)).

ВС

2

= ВН

2

+ НС

2

,

ВН = с · sin (180° - α) = с · sin α,

НА = с · cos (180° - α) = - с · cos α,

ВС = с

2

· sin

2

α + (b - с · cos α)

2

= с

2

· sin

2

α + b

2

- 2bс cos α + с

2

· cos

2

α =

= b

2

+ с

2

- 2bс cos α.

Теорема доказана.

Рисунок 14 (а) – Чертеж к доказательству теоремы косинусов для тупого угла

Доказательство теоремы косинусов для острого угла:

Рассмотрим остроугольный треугольник АВС, опустим из вершины В

высоту ВН на основание АС. Обозначим угол ВСН как α, АВ = с и АС = b

(Рис. 14 (b)).

ВС

2

= ВН

2

+ НС

2

,

АН = с · cos α,

НС = b - с · cos α,

ВС

2

= (b - с · cos α)

2

+ (с · sin α)

2

= b

2

- 2bс cos α + с

2

· cos

2

α + с

2

· sin

2

α =

= b

2

+ с

2

- 2bс cos α.

Теорема доказана.

Рисунок 14 (b) – Чертеж к доказательству теоремы косинусов для острого угла

Следствие: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух

других сторон

удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак

(+) ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак (-) ставится, когда этот

угол острый.

Если А = 90°, то cos 90° = 0, и мы получаем b

2

+ c

2

= ВС

2

, другими словами –

теорему Пифагора, которая таким образом, является частым случаем теоремы

косинусов.

Существует доказательство теоремы косинусов для общего случая, его

можно встретить в любом школьном учебнике [13,257].

Теорема косинусов очень широко используется при решении задач на

нахождение сторон треугольника, запоминается учащимися достаточно хорошо.

1.2.2 Теоремы для параллелограмма и произвольного четырехугольника

Теорема Пифагора для параллелограмма.

Теорема: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме

квадратов всех его сторон.

Доказательство: Доказательство теоремы строится на теореме косинусов.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, с диагональю BD (рис. 15). Обозначим угол

А = L, а угол В = (180

0

– L). S ABCD = S Δ BAD + S Δ BCD. По теорема

косинусов: BD² = AB² + AD² - 2 AB·AD · cos L, АC² = AB² + BC² - 2 AB·BC · cos ·

· (180° - L), так как cos (180° - L) = - cos L, то АC² = AB² + BC² + 2 AB·BC · cos L,

АC² + BD² = AB² + BC² + 2 AB·BC · cos L + AB² + AD² - 2 AB·AD · cos L, так как

BC = AD ( по свойствам параллелограмма), то и BC² = AD², АC² + BD² = 2·AB² +

+ 2 · BC².

Теорема доказана.

Рисунок 15 – Чертеж к доказательству теоремы для параллелограмма

Теорема Пифагора для произвольного четырехугольника

Теорема: для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме

квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего

середины диагоналей, то есть

.

Доказательство: Для доказательства воспользуемся векторной алгеброй.

Пусть Р и Q середины диагоналей АС и ВD четырехугольника АВСD (рис. 16).

Рисунок 16 – Чертеж к доказательству для произвольного четырехугольника

Введем обозначения:

=

,

=

,

=

,

=

,

=

1

,

=

2

.

Рассматривая четырехугольник APQB, замечаем, что,

=

1

+

-

2

.

Аналогично:

=

2

-

+

1

,

=

1

+

+

2

,

=

2

-

-

1

.

Тогда:

а

2

=

2

=

1

2

+

2

+

2

2

+

1

-

1

2

-

2

,

b

2

=

2

=

1

2

+

2

+

2

2

-

2

+

1

2

-

1

,

с

2

=

2

=

1

2

+

2

+

2

2

-

1

-

1

2

+

2

,

d

2

=

2

=

1

2

+

2

+

2

2

+

2

+

1

2

+

.

Сложив последние четыре равенства, получим:

а

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

= d

1

2

+ d

2

2

+ 4m

2

.

Теорема доказана.

Обобщения теоремы Пифагора для параллелограмма и произвольного

четырехугольника встречаются реже, чем теорема косинусов, но достаточно

просты для понимания и могут быть использованы для решения различных задач.

1.2.3 Обобщение теоремы для различных подобных фигур

Сделаем предположение: если на сторонах прямоугольного треугольника

построить подобные многоугольники, то площадь многоугольника на гипотенузе,

даст сумму площадей многоугольников на катетах. Верно ли это предположение?

Доказательство: В доказательстве теоремы Пифагора, где на сторонах

прямоугольного треугольника строятся квадраты, мы видим, что если опустить

высоту из вершины прямого угла, то она разобьет квадрат на два треугольника,

которые

подобны

самому

исходному

треугольнику.

Равносторонние

треугольники, являются подобными фигурами, вот их можно, и построить на

сторонах

прямоугольного

треугольника.

Далее,

достроив

их

до

параллелограммов, по теореме Паппа получим: (рис. 17,18).

Предположение подтвердилось.

Если мы же построим на сторонах треугольника равнобедренные подобные

треугольники, с коэффициентом подобия соответственно

Рисунок 17 Рисунок 18

Предположение подтвердилось.

Так же можно взять любой многоугольник и разбив его на треугольники и

доказать то же самое. Из выше сказанного можно сделать следующее обобщение

теоремы Пифагора. Если на сторонах прямоугольного треугольника, как на

сходственных, построить подобные многоугольники, то площадь многоугольника,

построенного

на

гипотенузе,

равна

сумме

площадей

многоугольников,

построенных на катетах.

Сделаем

следующее

обобщение

теоремы

Пифагора:

на

сторонах

прямоугольного треугольника построены подобные фигуры, доказать, что

площадь фигуры построенной на гипотенузе, ровна сумме площадей подобных

фигур, построенных на катетах.

Доказательство: Обозначим, площадь фигуры, построенную на гипотенузе с

за S

1

, а площади, построенные на катетах b и а за S

2

и S

3

соответственно (рис. 19).

Рисунок 19 – Чертеж к обобщению для различных подобных фигур

1.2.4 Теорема Пифагора в прямоугольном параллелепипеде

Следующее обобщение теоремы Пифагора связано с переходом от

плоскости к пространству.

Теорема: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен

сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство: так как у нас прямоугольный параллелепипед, то ребро С

´С перпендикулярно основанию параллелепипеда АВСD (рис.

20). Так как угол С´СА прямой и по теореме Пифагора мы

можем найти диагональ С´А. С´А

2

= С´С

2

+ СА

2

, далее так как

основанием

параллелепипеда

является

прямоугольник,

то

диагональ АС

2

=АВ

2

+ СВ

2

и заменив СА

2

на АВ

2

+ СВ

2

, мы

получим: С´А

2

= С´С

2

+

Рисунок 20

АВ

2

+ СВ

2

.

Теорема доказана.

1.2.5 Теорема Пифагора для прямоугольного тетраэдра

Различные фигуры легко перенести из двухмерной плоскости в трехмерное

пространство, но что произойдет, если попытаться обобщить теорему Пифагора

для трехмерного пространства? (Рис. 21, 22, 23)

Рисунок 21 Рисунок 22 Рисунок 23

При переходе от плоскости к трехмерному пространству мы рассмотрим в

качестве аналога плоского треугольника, определенного тремя вершинами,

пространственный

тетраэдр,

определенный

четырьмя

вершинами.

Тогда

прямоугольный

треугольник

будет

иметь

своим

трехмерным

аналогом,

прямоугольный тетраэдр, в котором три ребра, сходящиеся в одной вершине,

взаимно перпендикулярны.

Таким образом, если теорема Пифагора на плоскости связывает квадрат на

гипотенузе

с

квадратами

на

катетах,

то

возникает

вопрос:

есть

ли

в

прямоугольном тетраэдре в пространстве какая – то связь между квадратом

площади треугольника АВС и квадратом площадей трех других треугольных

граней? Удивительно, но такая связь есть! Более того, эта связь представляет

собой идеальный эквивалент традиционного соотношения Пифагора.

Теорема:

квадрат площади гипотенузной

грани прямоугольного

тетраэдра, равна сумме квадратов площадей квадратов площадей катетных

граней.

Доказательство: S

2

ABC

= S

2

ACO

+ S

2

ABO

+ S

2

BCO.

Это так называется теорема де

Гуа, названная в честь ее первооткрывателя, священника Жан-Поля де Гуа,

французского математика эпохи Просвещения. Для проверки соотношения,

прежде всего, заметим, что число граней, прилежащих к перпендикулярным

ребрам прямоугольного тетраэдра, равно трем. Поэтому: S

2

ACO

+ S

2

ABO

+ S

2

BCO

=

+

+

=

=

=

(*).

Обозначим f

2

= a

2

+ b

2

. С другой стороны, как видно на рисунке, площадь

основания СОВ может быть посчитана двумя различными способами (первое

выражение соответствует первому способу, второе выражение – второму),

а именно:

a

·b =

h

=

h · f.

Из первого и последнего выражений

следует:

h =

.

По теореме Пифагора можно посчитать площадь треугольника

АВС с высотой Н: H² = c²+ h² = c² +

.

Тогда S²

ABC

=

=

f²

=

, Что совпадает с выражением (*). Теорема доказана.

1.2.6 Теорема Пифагора на координатной плоскости

Обобщением теоремы Пифагора можно так же назвать нахождение

расстояния между двумя точками в двухмерном пространстве (между точками на

плоскости).

Если взять две точки, например P и Q. И определить им следующие

координаты (a, b) и (с, d) соответственно (рис. 24).

Рисунок 24 – Чертеж к доказательству теоремы Пифагора на координатной плоскости

Достроить

прямоугольный

треугольник.

Назовем

этот

прямоугольный

треугольник POQ, с прямым углом О. Обозначив длины катетов треугольника

следующим образом РО = с – а и OQ = d – b, можно, для нахождения гипотенузы

использовать теорему Пифагора. PQ

2

= PO

2

+ QO

2

, далее PQ =

Теорема доказана.

Аналогично в пространстве (рис. 25).

Рисунок 25 – Чертеж к доказательству теоремы Пифагора в пространстве

Для нахождения

расстояния нужно построить параллелепипед и расстояние

между этими двумя точками будет являться диагональю параллелепипеда.

Теорема Пифагора будет использоваться в горизонтальном и вертикальном

прямоугольных треугольниках.

Горизонтальный треугольник: значение катетов - |d-a| и |e-b|, значение гипотенузы

– (d - a)

2

+ (e – b)

2

. Вертикальный треугольник: длина одного из катетов уже

рассчитана, длина другого – (f - c)

2

, используя теорему Пифагора, получаем

– PQ =

.

Теорема доказана.

1.2.7 Теорема Пифагора для гиппократовых луночек

В пятом веке до нашей эры в Афинах жил Гиппократ Хиосский. Часть

плоскости, которые ограничивались дугами двух окружностей, он называл

луночками (рис. 26).

Теорема: сумма площадей луночек, построенных на катетах, равна площади

треугольника.

Доказательство: Пусть а и b – катеты треугольника, с – гипотенуза. Тогда сумма

площадей указанных «луночек» равна:

– s

1 +

– s

2,

где s

1

и

s

2

– площади

сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника.

Ясно, что s

1 +

s

2 =

-

. Следовательно, искомая сумма равна:

Теорема доказана.

Рисунок 26 – Чертеж к

доказательству теоремы

Пифагора для гиппократовых луночек

Замечание: в школе Пифагора была поставлена одна из трех классических

задач на построение: построить квадрат, площадь которого равна площади круга.

Теорема Гиппократа о луночках создала иллюзию возможности решения этой

задачи.

1.2.8 Основное тригонометрическое тождество

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество, оно связывает синус

и косинус одного и того же угла. Формулируется оно так: sin

2

+ cos

2

= 1.

Доказательство: рассмотрим единичную окружность. Изобразим на ней

произвольный угол и назовем его

(рис. 27). Тогда cos

= x

0

= OB, а sin

= y

0

=

= AB. В треугольнике АВО АО=1, так как это радиус в

единичной окружности. Рассматриваемый треугольник

прямоугольный, прямым углом В, то используя теорему

Пифагора можно записать ОВ

2

+ АВ

2

= АО

2

. Так как ОВ

= cos

АВ = =sin

и ОА = 1, получается sin

2

+ cos

2

= 1. Что и требовалось доказать.

Рисунок 27