Геометрия является самым могущественным средством

для изощрения наших умственных способностей

и даёт нам возможность

правильно мыслить и рассуждать.

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то

особенно интересной задачей. На уроке математики мы находили площади

многоугольников, составленных из прямоугольников и квадратов, изображенных на клетчатой

бумаге. А если фигура представляет собой многоугольник, состоящий не из целого количества

клеток? Как быть тогда? Какие существуют способы нахождения площадей произвольных

многоугольников?

Проблема:

Существует

ли

универсальный

способ

нахождения

площади

произвольного

многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге?

Цель работы:

1.

Изучить способы нахождения площадей на клетчатой бумаге.

2.

Найти самый эффективный способ решения задач.

Задачи:

1.

Изучить литературу по данной теме.

2.

Рассмотреть разные способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.

3.

Провести эксперимент.

4.

Сделать выводы.

Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: площадь фигур.

Методы исследования: 1) теоретический: изучение литературы и других источников

информации;

2) эмпирический (сбор и обработка данных ) :

тестирование,

анкетирование;

3) математический: вычисления, построение диаграмм.

Актуальность выбранной темы: От учителя математики мы узнали, что задания на нахождение

площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, встречаются на ОГЭ и ЕГЭ.

Поэтому мы решили подробнее рассмотреть такие задачи и помочь выпускникам допускать меньше

ошибок и тратить меньше времени на выполнение этих заданий.

Ещё в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника S = a ∙ b,

квадрата S = a ∙ a и прямоугольного треугольника S = (a ∙ b) : 2.

При изучении математики в 5 классе мы тоже использовали эти формулы для вычисления площадей

фигур. А также изучили основные свойства площадей: равные фигуры имеют равные площади;

площадь фигуры равна сумме площадей её частей.

За единицу измерения площади многоугольника принимается квадрат со стороной, равной

единице измерения его длины. Это, чаще всего, квадратные миллиметры, квадратные сантиметры,

квадратные дециметры и т.д. Найти площадь произвольного многоугольника, изображенного на

клетчатой бумаге , с вершинами в узлах клеток, можно разными способами.

Задача . На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите его

площадь.

Каждый прямоугольный треугольник можно дополнить до прямоугольника, площадь большего

прямоугольника состоит из 9 клеток, а меньшего из 3 клеток, площадь целого

прямоугольника равна 12 (9 + 3 = 12). Мы знаем, что площадь прямоугольного

треугольника в 2 раза меньше площади прямоугольника, следовательно, площадь

треугольника равна 6 (12: 2 = 6).



На рисунке дан параллелограмм ABCD. Разделим его на части AFB и FBCD, путем перестановки

составим из них равновеликий многоугольник FBCE . В полученном прямоугольнике количество

клеток будет 14. S

ABCD

=S

FBCE

=14.



Рисунке

изображен

ромб

АВС

из них прямоугольник, со сторонами 4 и 6. Тогда площадь исходной

фигуры S= 4 · 6 = 24

Иногда легче вычислить площадь многоугольника как сумму площадей его частей.

На рисунке

дан многоугольник ADMN, который разделен на три части: два прямоугольных

треугольника ABN и CDM и один прямоугольник BCMN. Используя результаты задачи 1, площадь

всего многоугольника можно вычислить так 6 + 12 = 18 кв. единиц



Площадь данной фигуры можно найти как сумму площадей её частей

1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 18 кв. единиц

В некоторых случаях нахождение площади целой фигуры по сумме площадей ее частей

оказывается слишком громоздким, тогда возможно использовать это свойство с точностью

наоборот.

Необходимо описать около данного многоугольника - прямоугольник так, чтобы вершины

прямоугольника совпадали с вершинами построенного прямоугольника или лежали на его

сторонах.

Площадь

искомой

фигуры

будет

равна

разности

площади

построенного

прямоугольника и площадей оставшихся частей.



Площадь многоугольника равна разности площади прямоугольника и площадей двух прямоугольных

треугольников.

6 · 5 - 1·5: 2 - 4· 5: 2 = 17, 5 (см

2

)



Из площади квадрата вычтем площади прямоугольных треугольников 5

2 _

3

2

: 2 - 5· 2 : 2 – 2 · 5 :

2=10, 5 (см

2

)



Искать площадь такой фигуры можно по - разному. Например, можно

разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площади и сложить.

Хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади

придется изрядно потрудиться.

Площадь не выделенной фигуры, составленной из клетки 1 мм × 1 мм, равна 17 мм

2

.

Площади выделенных треугольников рассчитывается как полу сумма произведения

катетов: S

△

= (1

⋅

2+1

⋅

2+1

⋅

2+1

⋅

1+1

⋅

1+1

⋅

1+2

⋅

2+1

⋅

1+1

⋅

1+2

⋅

2):2=19 :2=9,5 (мм

2

)

Получаем итоговую площадь всей фигуры: 17+9,5=26,5(мм2)



А если бы многоугольник выглядел более причудливо? Оказывается, площади многоугольни-

ков, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть

формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе

многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Формула Пи

́

ка (или теорема Пи

́

ка) — классический результат комбинаторной геометрии и

геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами

равна

S = В + Г / 2 − 1,где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника,

Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Доказана Георгом Пиком в 1899 году.



Вернемся к предыдущей задаче

В = 17, Г = 21, тогда S = 17 + 21: 2 – 1 = 26, 5 (мм

2

)



Площадь данного пятиугольника находим так

В = 10, Г = 10, тогда S = 10 + 10: 2 – 1 = 14 (см

2

)





Используя формулу Пика можно находить и площади треугольников.

В = 12, Г= 4, поэтому S = 12 + 4: 2 – 1 = 13(см

2

)

Даже площадь такой фигуры можно найти используя формулу Пика.

В = 28, Г = 20, тогда

S = 28 + 20: 2 – 1= 37 (кв. ед)

Мы изучили различные способы нахождения площадей многоугольников, изображенных на

клетчатой бумаге, и решили провести эксперимент, какой из них самый

эффективный. Для начала мы выдвинули гипотезу: самым эффективным

будет решение задач по формуле Пика.

Каждому ученику 9 - 11 классов нужно было решить три задачи на нахождение площади

многоугольников знакомыми способами, и засечь время выполнения заданий . Мы провели

опрос, в котором приняли участие 92 учащихся. Данный опрос показал, что всего семь

человек знакомы с формулой Пика для вычисления площадей фигур, но не применяют её на

практике. Показав старшеклассникам формулу Пика , предложили решить те же самые

задачи, но, уже используя, данную формулу (снова засекли время). После этого мы

проанализировали полученные данные.

Заключение

Проведенный эксперимент показал, что:

1)

ранее семь человек были знакомы с формулой Пика, но не применяли её на практике;

2)

при решении задач знакомыми способами 47% учеников допустили ошибки;

3)

при решении задач, используя формулу Пика, ошибки допустили 26 %, повысив процент

выполнения заданий на 21 ;

4)

среднее время, затраченное на выполнение заданий, сократилось в 1,6 раза.

Вывод: в результате работы над данной темой мы выполнили цели и задачи, которые

поставили перед собой. Установили, что все рассмотренные способы нахождения площадей

фигур на клетчатой бумаге интересны, но самым эффективным оказался способ решения по

формуле Пика! Наша гипотеза подтвердилась.

Задания, представленные в нашей работе, взяты из «Открытого

банка заданий по

математике» для подготовки к ЕГЭ. Таким образом, подтвердилась актуальность нашей

работы, она будет полезна при подготовке к выпускным экзаменам по математике и при

нахождении площадей многоугольников.