Автор: Козюкова Екатерина Прокофьевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МКОУ СОШ №7
Населённый пункт: с. Прохладное Надеждинского района Приморского края
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: "Решение логарифмических и показательных неравенств методом рационализации"
Раздел: полное образование
Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №7 с.Прохладное Надеждинского района»
Материал подготовлен учителем высшей квалификационной категории
Козюковой Екатериной Прокофьевной
2015 год
Введение
Решение
логарифмических
неравенств
вызывает
затруднение
у
выпускников общеобразовательных школы.
Задания,
которые
представлены
в
учебнике
ещё
решаемые
мотивированными учащимися общеобразовательных школ.
Логарифмические
неравенства,
которые
включены
в
задания
№15
единого государственного экзамена – это задания повышенной сложности и
их решение требует от учащихся глубоких знаний и отработанных умений.
Решение
логарифмических
неравенств,
содержащих
в
основании
логарифма
переменную,
требует
рассмотрение
двух
случаев
и
нередко
решения
становятся
громоздкими
и
запутанными,
что
приводит
к
ошибочному ответу.
Некоторые
неравенства
практически
невозможно
решить
учащимся
традиционным способом.
Метод
рационализации,
значительно
упрощается
решение
логарифмических неравенств.
Представленную
разработку
можно
использовать
как
методическое
пособие для молодых учителей.
Данную
разработку
можно
использовать
учителям
школ
для
факультативных или кружковых занятий с учащимися выпускных классов.
Данную разработку могут использовать учащихся выпускных классов
для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.
Данная
работа
содержит
подробное
решение
логарифмических
и
показательных
неравенств
разного
уровня
сложности
методом
рационализации.
Для сравнения преимущества применения метода рационализации
приведено
решение
двух
сравнительно
простых
логарифмических
неравенств, двумя способами.
Решение
логарифмических и показательных неравенств
методом рационализации.
Выделим некоторые выражения
F
и соответствующие им
рационализирующие выражения
G
,
где
u, v,
,
p, q
- выражения с двумя
переменными
0
0,
v
1,
u
0,
u
, а - фиксированное число
)
1
,
0
(
a
a
.
№
п/п
Выражение
F
Выражение
G
1
a
v
log
log
a
)
)(
1
(
v
a
1а
1
log
a
v
)
)(
1
(
a
v
a
1б
v
a
log
)
1
)(
1
(
v
a
2
u
v
log
log
u
)
)(
1
(
v
u
2a
1
log
u
v
)
u
)(
1
(
v
u
2б
v
u
log
)
1
)(
1
(
v
u
2в
a
log
u
v
)
u
)(
1
(
a
v
u
3
1)
(
log
log
u
v
v
)
)(
1
)(
1
)(
1
(
u
v
u
4
)
0
(
u
u
u
v
)
)(
1
(
v
u
4a
1
v
u
v
u
)
1
(
4б
)
0
(
a
a
u
v
)
log
)(
1
(
a
v
u
u
5
)
0
,
0
(
v
u
u
v
v
u
)
(
6
q
p
)
q
)(
(
p
q
p
6а
1
x
)
1
)(
1
(
x
x
Доказательство.
1. Пусть
0,
log
log
a
a
v
тогда
a
v
log
log
a
, где
0.
0;
v
1;
a
0;
a
Первый случай. Если
1
a
0
, то по свойству убывающей логарифмической
функции
имеем
v
,
значит
выполняется
система
неравенств:
,
0
,
0
1
v
a
откуда
следует
неравенство
,
0
1
-
a
v
верное
на
области
допустимых
значений выражения:
a
v
log
log
F
a
.
Второй случай
.
Если
а>1, то
по свойству возрастающей логарифмической
функции имеем
v
, значит выполняется система неравенств:
,
0
,
0
1
v
a
следовательно
имеет
место
неравенство
0
1
v
a
, верное на области
допустимых значений выражения:
a
v
log
log
F
a
.
Обратно,
если
выполняется
неравенство
0
1
-
a
v
на
области
допустимых значений:
0
0;
v
1;
a
0;
a
, то оно на этой области равносильно
совокупности двух систем неравенств:
,
0
,
0
1
v
a
и
.
0
,
0
1
v
a
Из каждой системы следует неравенство
a
v
log
log
a
, то есть
0
log
log
a
a
v
.
Аналогично рассматриваются неравенства
F<0, F
0, F
0.
2. Пусть некоторое число
а>0 и а
1,
тогда имеем
u
v
log
log
u
=
.
log
log
log
log
log
log
log
a
u
v
u
u
v
a
a
a
a
a
a
Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
.
1)
-
1)(u
-
(а
)
-
1)(v
-
(
a
или
(
u-1)(v
-
).
3. Так как
v
v
v
u
v
v
v
u
log
log
log
log
log
log
log
log
u
=
)
1
(log
log
u
v
, то используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего
выражения совпадает со знаком выражения
u)
-
1)(
-
1)(u
-
v
)(
1
(
.
4. Из неравенства
0
u
u
v
следует
u
u
v
.
Пусть число
а>1,
тогда
u
u
a
v
log
log
a
,
0
log
log
v
a
u
u
a
или
0
)log
-
v
(
a
u
.
Отсюда с учётом замены
1б
и условия
а>1, получаем
0
)
1
)(
1
)(
(
u
а
v
,
0.
)
1
)(
(
u
v
Аналогично, доказываются неравенства
F<0, F
0, F
0.
5. Доказательство проводится аналогично доказательству 4.
6. Доказательство замены 5 следует из равносильности неравенств
q
p
и
2
2
q
p
аналогично
q
p
и
2
2
q
p
.
Используя метод рационализации, значительно упрощается решение
логарифмических
неравенств,
а
некоторые
неравенства
практически
невозможно решить учащимся традиционным способом.
Для сравнения приведу решение двух неравенств двумя способами.
Пример 1.
Решить неравенство:
1
loq
2
3
2x
x
.
I
способ решения - традиционный
Преобразуем неравенство к виду
)
3
2
(
loq
loq
3
2x
2
3
2x
x
x
.
Так как переменная в основании логарифма, то необходимо рассмотреть два
случая:
;
3
2
,
0
,
1
3
x
2
II.
или
;
3
2
0,
x
,
1
3
2
0
I.
2
2
x
x
x
x
x
x
;
0
3
2
,
0
,
2
2
3
2
x
x
x
x
;
0
3
2
,
0
,
2
2
2
x
x
x
х
;
0
)
3
)(
1
(
,
0
,
1
5
,
1
x
x
x
x
0
)
3
)(
1
(
,
0
,
1
x
x
x
x
или
(-1,5;-1) (-1; 0)
(0;3)
Объединяя решения двух систем, получим решение исходного неравенства
(-1,5;-1)
(-1; 0)
(0;3).
Ответ: (-1,5;-1)
(-1; 0)
(0;3
Решить неравенство:
1
loq
2
3
2x
x
II способ решения - методом рационализации
Преобразуем исходное неравенство к виду
0
1
loq
2
3
2x
x
И с п о л ь з у я
с о о т в е т с т в у ю щ е е
р а ц и о н а л и з и р у ю щ е е
в ы р а ж е н и е
)
)(
1
(
1
loq
u
u
v
u
v
и
учитывая
ОДЗ
переменной,
заменим
получившееся
неравенство равносильной системой неравенств:
.
1
,
5
,
1
,
0
,
0
)
3
)(
1
)(
1
(
,
1
,
5
,
1
,
0
,
0
)
3
2
)(
2
2
(
,
1
3
2
,
0
3
2
,
0
,
0
)
3
2
(
1)(x
-
3)
x
2
((
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
х
x
x
x
x
x
x
Совмещая решения неравенств системы,
получим решение исходного неравенства:
)
3
;
0
(
)
0
;
1
(
)
1
;
5
,
1
(
Ответ:
)
3
;
0
(
)
0
;
1
(
)
1
;
5
,
1
(
.
Пример 2. Решить неравенство
2
)
2
7
4
(
log
2
2
x
x
x
I
способ решения – традиционный
Решить неравенство
2
)
2
7
4
(
log
2
2
x
x
x
Преобразуем неравенство
2
2
2
2
x
2
log
)
2
7
4
(
log
x
x
x
x
.
Так как переменная в основании логарифма, то необходимо рассмотреть два
случая:
I
;
2
2
7
4
,
0
2
7
4
,
1
2
x
0
2
2
2
x
x
x
x
x
или II
;
2
2
7
4
,
0
2
7
4
,
1
2
x
2
2
2
x
x
x
x
x
;
)
2
(
2
7
4
,
0
)
4
)(
5
,
0
(
2
,
2
,
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
;
)
2
(
2
7
4
,
0
)
4
)(
5
,
0
x
(
2
,
1
2
,
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
;
0
)
1
(
,
0
)
4
)(
5
,
0
(
,
2
,
1
3
x
x
x
x
x
x
;
0
)
1
(
,
0
)
4
)(
5
,
0
4
(
,
3
,
1
x
x
x
x
x
Совмещая решения неравенств видим, Совмещая решения неравенств что
система решений не имеет. видим, что решением системы
является объединение промежутков:
(-0,5;0]
[1;4)
Ответ: (-0,5;0]
[1;4)
Примечание:
1) при решении неравенства необходимо учесть, что
2
2
)
2
(
2
x
x
,
2) иногда затруднение вызывает решение неравенств, аналитическое
выражение которых, содержит знак модуля:
;
2
,
1
2
1
;
0
2
,
1
2
1
2
x
0
x
x
x
x
II способ решения - методом рационализации
Преобразуем исходное неравенство к виду:
0
)
2
(
log
)
2
7
4
(
log
2
2
x
2
2
x
x
x
x
и заменим его равносильной системой, учитывая ОДЗ переменной неравенства и
используя соответствующее рационализирующее выражение
)
)(
1
(
log
log
u
v
u
v
u
:
;
0
)
2
(
)
2
7
4
(
)
1
2
(
,
0
2
7
4
,
1
2
,
0
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
4
4
2
7
4
)
1
)
2
((
,
0
4
7
2
,
1
,
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
3
3
)
1
2
)(
1
2
(
,
0
)
4
)(
5
,
0
(
,
1
,
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
1
x
)
3
)(
1
(
,
0
)
4
)(
5
,
0
(
,
1
,
2
x
x
x
x
x
x
x
(0,5; 0]
[1;4)
Совмещая решения неравенств системы,
получим решение исходного неравенства (0,5; 0]
[1;4).
Ответ: (-0,5; 0]
[1;4)
Решение следующих неравенств традиционным способом громоздко и
затруднительно, решение методом рационализации значительно проще.
Пример 3. Решить неравенство
0
)
3
(log
log
3
x
x
x
Решение:
Заменим
данное
неравенство
равносильной
системой,
учитывая
ОДЗ
переменной неравенства и используя соответствующие рационализирующие
выражения
)
1
)(
1
(
log
u
v
u
v
и
)
)(
1
(
1
log
u
u
v
u
v
:
;
0
1
3
log
1
3
,
0
3
log
,
0
3
,
3
,
1
,
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
)
3
)(
1
(
1
3
,
0
)
1
3
)(
1
(
3,
,
3
,
1
,
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
)
3
)(
1
(
3
,
0
)
1
3
)(
1
(
3,
,
1
,
0
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
)
3
)(
1
(
,
0
)
2
)(
1
(
3,
,
1
,
0
2
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
2
1
13
2
1
13
)
1
(
,
0
)
2
)(
1
(
3,
,
1
,
0
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
2
1
13
2
1
13
2
x
1
x
x
;
2
1
13
2
.
Решение исходного неравенства:
Ответ:
;
2
1
13
2
.
Примечание: множитель х-3<0 на интервале (0;3);
множитель x-1>0 на интервале (1;2)
Пример4. Решить неравенство
0
)
3
(
log
)
3
(
log
3
5
2
35
41
12x
2
2
x
x
x
x
x
Решение:
Заменим
данное
неравенство
равносильной
системой,
учитывая
ОДЗ
переменной неравенства и используя соответствующее выражение метода
рационализации
)
)(
1
)(
1
)(
1
(
log
log
u
u
u
v
v
v
:
;
0
)
35
41
12
3
5
2
)(
1
3
5
2
)(
1
3
)(
1
35
41
12
(
,
0
3
,
1
3
5
2
,
0
3
5
2
,
1
35
41
12
,
0
35
41
12x
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
)
2
(
5
8
)
2
(
2
1
)
2
)(
2
(
12
17
,
3
,
0
)
2
(
2
1
,
0
2
3
)
1
(
,
0
2
12
17
,
0
4
7
3
5
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
0
)
2
(
5
8
2
1
12
17
,
3
,
0
)
2
(
2
1
,
0
2
3
)
1
(
,
0
2
12
17
,
0
4
7
3
5
-
x
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Совмещая решения каждого неравенства системы, получим решение исходного
неравенства:
)
3
;
2
(
2
;
4
7
3
5
;
5
8
;1
2
1
Ответ:
)
3
;
2
(
2
;
4
7
3
5
;
5
8
;1
2
1
.
Пример 5.
Решить неравенство
0
)
5
2
(
log
)
3
2
(
log
2
2
x
2
2
x
x
x
Решение:
Заменим
данное
неравенство
равносильной
системой,
учитывая
ОДЗ
переменной неравенства и используя соответствующее рационализирующее
выражение
)
1
)(
1
(
log
u
v
u
v
для каждого множителя неравенства:
;
0
1
)
5
2
(
)
1
(
1
)
3
2
(
)
1
(
,
0
5
2
,
0
3
2
0,
x
1,
x
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
;
0
1
)
5
2
(
1
)
3
2
(
)
1
(
,
2
5
,
2
3
0,
x
1,
x
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
;
0
)
1
5
2
)(
1
5
2
(
)
1
3
2
)(
1
3
2
(
)
1
(
,
5
,
2
,
5
,
1
0,
x
1,
x
2
2
x
x
х
x
x
x
x
;
0
)
6
2
)(
4
2
(
)
4
2
)(
2
2
(
)
1
(
,
5
,
2
,
5
,
1
0,
x
1,
x
2
2
x
x
х
x
x
x
x
;
0
)
3
(
)
2
(
1)
x
(
)
1
(
8
),
;
1
(
)
1
;
0
(
)
0
;
1
(
1
;
5
,
1
;-1,5
5
,
2
)
5
,
2
;
(
2
3
2
x
x
x
)
;
1
(
)
1
;
0
(
)
0
;
1
(
2
]
3
;
(
Решая последнее неравенство системы методом интервалов и учитывая ОДЗ
переменной
получим решение исходного неравенства
)
;
1
(
)
1
;
0
(
)
0
;
1
(
2
]
3
;
(
.
Ответ:
)
;
1
(
)
1
;
0
(
)
0
;
1
(
2
]
3
;
(
Пример 6.
Решить неравенство
x
x
x
3
5
x
log
log
Решение:
Преобразуем неравенство к виду
0
log
log
3
5
x
x
x
x
0
log
log
2
3
2
5
x
2
2
x
x
x
Учитывая ОДЗ переменной неравенства и используя соответствующее
выражение
метода
рационализации
)
)(
1
)(
1
)(
1
(
log
log
u
u
u
v
v
v
,
заменим данное неравенство равносильной системой:
;
0
5
3
1
3
1
5
1
,
1
3
,
0
3
,
1
5
0,
5
x
0,
x
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
5
3
1
3
1
5
1
,
4
,
2
,
3
,
6
,
4
-5,
0,
x
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
)
8
2
)(
2
)(
4
)(
2
)(
6
)(
4
)(
1
)(
1
(
,
2
,
3
,
6
,
4
-5,
0,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
)
2
)(
6
(
)
4
)(
1
)(
1
(
4
,
2
,
3
,
6
,
4
-5,
0,
x
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
0
)
2
)(
6
(
)
4
)(
1
)(
1
(
),
;
0
(
)
0
;
2
(
)
2
;
3
(
(-4;-3)
(-5;-4)
(-6;-5)
;-6)
(-
3
x
x
x
x
x
]
1
;
0
(
)
0
;
1
[
)
2
;
3
(
)
3
;
4
(
;-6)
(
Решая последнее неравенство системы методом интервалов и учитывая ОДЗ
переменной,
п о л у ч и м
р е ш е н и е
и с х о д н о г о
н е р а в е н с т в а
]
1
;
0
(
)
0
;
1
[
)
2
;
3
(
)
3
;
4
(
;-6)
(
.
Ответ:
]
1
;
0
(
)
0
;
1
[
)
2
;
3
(
)
3
;
4
(
;-6)
(
.
Пример 7.
Решить неравенство
6
log
6
log
6
log
6
log
)
2
(
)
2
(
2)
(x
2)
-
(x
x
x
Решение:
Преобразуем исходное неравенство, перейдя к новому основанию:
;
)
2
(
log
1
)
2
(
log
1
)
2
(
log
1
)
2
(
log
1
6
6
6
6
x
x
x
x
0
)
2
(
log
)
2
(
log
1
)
2
(
log
)
2
(
log
6
6
6
6
x
x
x
x
;
;
0
)
2
(
log
)
2
(
log
1
)
2
)(
2
(
log
6
6
6
x
x
x
x
;
0
)
2
(
log
)
2
(
log
1
)
4
(
log
6
6
2
6
x
x
x
Учитывая
ОДЗ
переменной
неравенства
и
используя
соответствующее
выражение метода рационализаци для числителя
)
)(
1
(
1
log
a
a
v
a
v
и для
каждого
множителя
знаменателя
)
1
)(
1
(
log
a
v
a
v
,
заменим
данное
неравенство равносильной системой:
;
0
)
1
2
)(
1
6
)(
1
2
)(
1
6
(
)
6
4
)(
1
6
(
,
1
2
,
0
2
,
1
2
0,
2
x
2
x
x
x
x
x
x
;
0
)
1
)(
3
(
10
,
1
,
2
,
3
2,
x
2
x
x
x
x
x
x
Решая последнее неравенство системы методом интервалов и учитывая ОДЗ
переменной,
получим решение исходного неравенства (2; 3)
[
)
;
10
.
Ответ: (2; 3)
[
)
;
10
.
Пример 8.
Решить неравенство
0
2
3
1
log
)
1
2
(
log
)
2
(
log
1
2
1
log
2
,
0
5
5
0,2
x
x
x
x
Решение:
Преобразуем исходное неравенство, перейдя к одному основанию:
0
)
2
3
(
log
)
1
2
(
log
)
2
(
log
)
1
2
(
log
5
5
5
5
x
x
x
x
;
0
)
2
3
)(
1
2
(
log
)
2
)(
1
2
(
log
5
5
x
x
x
x
;
;
0
)
3
8
4
(
log
)
2
5
x
2
(
log
2
5
2
5
x
x
x
Учитывая ОДЗ переменной неравенства и используя соответствующее
рационализирующее выражение метода рационализации для числителя и для
знаменателя
)
1
)(
1
(
log
a
v
a
v
, заменим данное неравенство равносильной
системой:
;
0
)
1
3
8
4
)(
1
5
(
)
1
2
5
2
)(
1
5
(
,
0
2
3
1
,
0
1
2
,
0
2
,
0
1
-
x
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
;
0
)
1
)(
1
(
)
5
,
1
)(
1
(
,
5
,
1
,
2
1
,
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
);
;
5
,
1
(
)
1
;
(
5
,
1
2
1
x
1
2
1
x
.
Решая последнее неравенство системы методом интервалов и учитывая ОДЗ
переменной,
получим решение исходного неравенства
1
;
2
1
.
Ответ:
1
;
2
1
Пример 9.
Решить неравенство:
)
3
6
11
(
log
)
1
2
(
log
2
2
1
3
2
2
1
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение:
Преобразуем исходное неравенство к виду:
0
)
3
6
11
(
log
)
1
2
(
log
2
2
1
3
2
2
1
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Учитывая
ОДЗ
переменной
неравенства
и
используя
соответствующее
рационализирующее
выражение
)
)(
1
(
log
log
u
v
u
v
u
, заменим данное
неравенство равносильной системой:
;
0
3
6
11
1
2
1
2
1
3
,
0
3
6
11
,
0
1
2
,
1
2
1
3
,
0
2
x
1
-
3x
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
;
0
1
2
3
2
,
0
3
3
2
3
0
)
5
,
0
)(
1
(
2
,
0
2
3
2
,
0
2
x
1
-
3x
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
3
;
5
,
1
(
1
.
Решая каждое неравенство системы методом интервалов и совмещая решения,
получим решение исходного неравенства
)
3
;
5
,
1
(
1
.
Ответ:
)
3
;
5
,
1
(
1
.
Пример 10.
Решить показательно-степенное неравенство:
1
1
x
2
x
x
Данное
неравенство
не
относится
к
категории
простых
и
решение
его
традиционным способом затруднительно.
Решение:
Преобразуем неравенство к виду:
0
1
1
x
2
x
x
Учитывая
ОДЗ
переменной
неравенства
и
используя
соответствующее
рационализирующее выражение
v
u
)
1
(
1
u
v
, заменим данное неравенство
равносильной системой:
;
0
1
)
1
(
,
1
1
,
0
1
x
2
2
2
x
x
x
x
x
x
;
0
1
,
1
,
0
,
x
2
x
x
x
x
R
.
1
;
0
1
,
1
,
0
,
x
x
x
x
x
R
Ответ:
)
1
;
(
.
Пример 11.
Решить показательное неравенство:
0
1
5
)
5
,
0
(
4
1
2
2
2
-
x
3
2
2
x
x
x
x
Решение:
Преобразуем неравенство к виду:
0
1
5
2
2
1
2
2
4
6
2
2
2
x
x
x
x
x
Учитывая
ОДЗ
переменной
неравенства
и
используя
соответствующие
рационализирующие выражения для числителя
)
-
1)(v
-
(u
)
0
(
u
u
u
v
и для
знаменателя
v
u
)
1
(
1
u
v
,
заменим
данное
неравенство
равносильной
системой:
;
0
)
1
5
(
)
1
2
2
(
)
4
6
(2x
,
0
1
5
2
2
x
x
x
x
x
;
0
4
5
-
x
8
4x
0,
x
2
x
;
0
2
1
2
5
0,
x
x
x
x
2
1
;
0
2
5
;
Решая последнее неравенство методом интервалов и учитывая ОДЗ
переменной, получим решение исходного неравенства:
2
1
;
0
2
5
;
.
Ответ:
2
1
;
0
2
5
;
Пример 12.
Решить неравенство:
2
2
2
3
2
2
2
x
)
1
(
log
9
)
3
15
(
)
2
(
log
)
1
(
log
2
10
x
x
x
x
x
.
Решение:
ОДЗ переменной неравенства найдём из условия:
.
2
,
0
,
1
;
1
2
,
0
2
1,
1
x
0,
1
x
x
x
x
x
x
ОДЗ =
)
;
0
(
)
0
;
1
(
)
1
;
2
(
;-2)
(
.
Так как
0
)
1
(
log
2
2
2
x
при х
ОДЗ и
x
x
x
x
x
x
x
2
2
3
5
3
3
5
)
3
15
(
x
, умножим обе
части неравенства на выражение
2
2
2
)
1
(
log
x
и разделим на
0
5
,
5
х
х
, получим
неравенство
)
1
(
log
9
3
)
2
(
log
2
2
3
3
x
2
x
x
х
x
0
)
2
(
log
3
2
3
2
x
1
-
x
2
x
x
0
)
2
(
log
3
2
3
)
2
)(
1
(
1
-
x
x
x
x
0
)
2
(
log
3
3
3
)
2
)(
1
(
2
log
)
1
(
3
x
x
x
х
Используя
соответствующие
рационализирующие
выражения для числителя
)
0
(
u
u
u
v
)
)(
1
(
v
u
и для знаменателя
v
u
log
)
1
)(
1
(
v
u
получим неравенство:
0
)
1
2
)(
1
3
(
)
2
)(
1
(
2
log
)
1
(
)
1
3
(
3
x
x
x
х
0
)
1
(
)
2
2
)(log
1
(
3
x
x
x
0
)
1
(
)
2
2
(log
)
1
(
3
x
x
x
.
Решим последнее неравенство методом интервалов и учтём ОДЗ переменной,
получим решение исходного неравенства
).
;
1
[
)
1
;
2
2
log
[
3
Ответ:
).
;
1
[
)
1
;
2
2
log
[
3
Примечание:
1) выражение
1
2
х
представлено в виде степени с основанием 3 используя
основное логарифмическое тождество
2
log
)
1
(
2
log
1
-
x
3
1
3
3
3
2
x
x
2) значение выражения
2
2
log
3
необходимо было оценить
3
log
2
log
1
log
3
3
3
1
2
log
0
3
1
2
2
log
2
-
3
.
Пример 13.
Решить неравенство:
.
.
)
1
(
9
)
3
15
(
)
1
(
2
10
2
log
log
2
log
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
Решение:
ОДЗ переменной неравенства найдём из условия:
.
0
;
0
1
,
0
x
x
x
Так как выражения х
2
0
и
0
1
x
при х >0, умножим обе части уравнения
на выражение
)
1
(
2
x
x
, получим неравенство:
9
)
3
15
(
2
10
2
2
2
log
log
log
x
x
x
9
3
5
3
2
5
2
2
2
2
2
2
2
log
log
log
x
log
log
x
x
x
x
2
log
log
log
3
3
3
2
2
2
2
2
2
x
x
x
2
log
log
1
-
x)
log
(
2
2
2
2
3
2
x
x
0
3
2
2
log
log
1
-
x)
log
(
2
2
2
2
x
x
0
3
3
2
log
log
2
log
2
2
2
1
)
2
(log
3
x
x
x
0
3
3
2
log
log
2
1)log
-
x
(log
2
2
2
3
2
x
x
Используя
соответствующее
рационализирующее
выражение
u
u
v
)
)(
1
(
v
u
получим неравенство:
0
))
2
log
(log
-
2
1)log
-
x
log
((
2
2
2
2
3
2
x
x
0
)
2
)(log
1
(log
-
2
1)log
-
x
log
(
2
2
3
2
x
x
0
)
2
)(log
1
(log
-
2
1)log
-
x
log
(
2
2
3
2
x
x
0
)
2
log
-
2
log
)(
1
(log
2
3
2
x
x
0
))
2
2
(log
)(log
1
(log
3
2
2
x
x
решим неравенство методом интервалов и учитывая ОДЗ переменной,
получим решение неравенства
2
-
2
log
3
2
;
0
(
]
[2;+
)
Ответ:
2
-
2
log
3
2
;
0
(
]
[2;+
)
Пример 14.
Найдите все значения параметра
а
, при которых неравенство
1
)
4
(
log
2
a
x
выполняется для всех значений переменной
x.
Решение:
Используя
метод
рационализации,
заменим
данное
неравенство
равносильной системой:
1;
a
0,
0,
)
4
)(
1
(
2
а
а
х
а
Для решения первого неравенства системы используем метод областей.
1) Обозначим
F(x, a) = (a-1)(x
)
4
2
а
.
2) Для выражения
F(x,a)
переменные
х
и
а
принимают любые значения.
3)
F(x, a)=0,
4
1
0
)
4
1)(x
-
(a
2
2
х
а
или
a
a
.
4) Имеем прямую и параболу, которые разбивают координатную плоскость на
области, в каждой из которых выражение
F(x, a)
сохраняет знак.
Возьмём контрольную точку (0;0), тогда
F(0;0) = - 4,
-4<0.
Ставим знак минус в области, содержащей точку (0;0). В остальных областях
расставляем знаки, используя правило знакочередования.
Множества точек, координаты которых удовлетворяют первому неравенству
системы, выделены цветом.
Условия
;
1
0,
a
a
учтены.
Проводя прямые, параллельные оси абсцисс, видим, что прямые полностью
находятся в заштрихованной области при
(1;4)
a
.
Ответ:
(1;4)
a
.
Задания для самостоятельного решения
1. Решить неравенство:
0
3
log
2
x
x
Ответ: (-3; -2)
(3; 4].
2. Решить неравенство:
1
1
9
log
2
x
x
x
Ответ:
1
;
5
44
2
)
0
;
1
(
1
;
8
.
3. Решить неравенство:
.
1
)
9
3
(
log
log
9
x
x
Ответ:
;
10
log
3
4. Решить неравенство:
.
0
)
3
2
(
log
)
2
3
(
log
3
2
x
x
Ответ:
.
3
1
;
3
2
5. Решить неравенство:
.
0
)
7
(
log
1
)
20
13
2
(
log
3
2
2
x
x
x
Ответ: (-7; 6)
]
5
,
4
;
4
(
)
5
,
2
;
2
[
.
6. Решить неравенство:
0
)
1
(
log
4
x
2
2
1
2
x
.
Ответ:
)
;
2
(
)
2
;
1
(
)
1
;
2
(
)
2
;
(
7. Решить неравенство:
0
)
3
(
log
)
2
(
log
3
2
x
x
x
x
.
Ответ: (-2;-1]
(1;2).
8. Решить неравенство:
1
)
2
3
(
log
log
3
3
x
x
.
Ответ: (0;+
).
9. Решить неравенство:
0
log
10
log
)
10
3
(
log
)
3
10
(
log
3
3
3
3
x
x
x
x
.
Ответ: (0; 0,1)
(1:+
).
10. Решить неравенство:
.
)
25
,
0
(
log
)
32
(
log
4
2
4
(
)
25
,
0
(
log
)
32
(
log
7
14
2
2
2
)
4
(
log
2
2
2
)
4
(
log
)
4
(
2
2
2
x
x
x
x
x
loq
x
x
Ответ:
.
4
;
2
1
6
7
;
32
1
32
1
;
0
Список используемой литературы
1. Сергеев И.Н. и Панфёров В.С. ЕГЭ 2010 Математика. Задача С3. 2010г.
2. Корянов А.Г., Прокофьев А.А.- Пособие по решению заданий типа С3 2011г.
3. Малкова А.Г. – Подготовка к ЕГЭ по математике.
4. Лекции с курсов ПКИППКРО, 2011год.