ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ИТОГОВОЙ

АТТЕСТАЦИИ В 9 КЛАССЕ

Промежуточная подготовка по теме: «Треугольники»

Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме «Треугольники»

(9 класс)

Время проведения: 2 часа

Цели:



учебные:

обобщить, систематизировать, расширить и углубить

знания учащихся о треугольнике, закрепить навыки и умения при решении

задач, используя определения и теоремы по данной теме;



развивающие:

развивать математическую речь учащихся, их

память,

внимание,

наблюдательность,

умение

сравнивать,

обобщать,

обоснованно делать выводы, развивать умение преодолевать трудности при

решении задач, а также познавательный интерес учащихся;



воспитательные

:

создать

условия

для

воспитания

чувства

ответственности, толерантности, коммуникативной компетентности.

Задачи:



обобщить, систематизировать и проверить теоретические знания

по теме: «Треугольники»;



применить теоретические знания на практике.

План урока:

1.

Организационный момент.

2.

Обобщение теоретических знаний.

3.

Проверка теоретических знаний.

4.

Решение простейших задач.

5.

Решение задач повышенной сложности.

6.

Подведение итогов урока.

7.

Домашнее задание.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний по теме «Треугольники».

Ход урока:

1.

Организационный

момент.

Здравствуйте!

Сообщаю

тему,

спрашиваю цель урока, сообщаю план урока.

2.

Обобщение теоретических знаний.

Учитель: Давайте вспомним все, что мы знаем о треугольнике. У каждого

на столе лежит схема, которую мы вместе сейчас заполним (Карточка 1).

(На

доске

схема

заполнена,

ответы

закрыты,

по

мере

ответов

соответствующие ячейки открываю)

Учитель: Кто скажет, что такое треугольник?

Ученик: Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек,

не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Учитель: Какие вы знаете свойства треугольника?

Ученик:



внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных

с ним;



сумма углов треугольника равна 180

0

;



против большей стороны лежит больший угол.

Учитель: Какие виды треугольников вы знаете?

Ученик:

в

зависимости

от

сторон

(разносторонний,

равносторонний,

равнобедренный); в зависимости от углов (остроугольный, тупоугольный,

прямоугольный).

Учитель:

дайте определение равнобедренному треугольнику, назовите

свойства?

Ученик: Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две

стороны равны.

Свойства:

1.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

2.

В

равнобедренном

треугольнике

биссектриса,

проведенная

к

основанию, является медианой и высотой.

Учитель:

дайте

определение

остроугольному,

тупоугольному

и

прямоугольному треугольникам?

Ученик: Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы

острые.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов

тупой.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов

прямой.

Учитель: Какие существуют элементы в треугольнике?

Ученик:

стороны, вершины, углы, средняя линия, медиана, биссектриса,

высота

Учитель: дайте определения средней линии, медиане, высоте, биссектрисе и

назовите их свойства? Какие бывают стороны и углы?

Ученик: Стороны бывают прилежащие и противолежащие, а углы – внешний,

противоположный и прилежащий.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с

серединой противоположной стороны

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника,

соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника

– это перпендикуляр, проведенный из вершины

треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его

сторон.

Учитель: Сколько признаков равенства треугольников вы знаете? Назовите

их?

Ученик:

1.

Если

две

стороны

и

угол

между

ними

одного

треугольника

соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого

треугольника, то такие треугольники равны;

2.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника

соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам

другого треугольника, то такие треугольники равны;

3.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем

сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны;

3.

Проверка теоретических знаний.

Учащиеся самостоятельно выполняют задания на карточках, после чего

сверяют ответы на доске.(Карточка 2)

4.

Решение простейших задач.

В вариантах ГИА задания темы "Треугольники" встречаются в двух

разделах. В первом разделе представлены простейшие задачи, во втором -

задачи повышенной сложности. Для начала остановимся на простейших

задачах, в которых требуется найти углы.

Выполним задания устно:

Задание 1. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 56

0

.

Найдите угол, смежный углу при вершине С этого треугольника.

Учитель: Что дано? Что требуется найти?

Ученик:

Дано: ∆АВС,

∠

АСВ=56

0

Найти:

∠

ВСК

Учитель: Какими углами являются

∠

АСВ и

∠

ВСК?

Ученик:

∠

АСВ и

∠

ВСК - смежные

Учитель: Какое свойство смежных углов знаем?

Ученик: Сумма смежных углов равна 180

0

.

Учитель: Значит как найдем угол

∠

ВСК?

Ученик:

∠

ВСК = 180

0

– 56

0

= 124

0

.

Задание 2. В треугольнике один из углов 64

0

, смежный угол другому углу

треугольника равен 142

0

. Найдите третий угол треугольника.

Учитель: Что в задаче дано? Что требуется найти?

Ученик:

Дано: ∆MNP,

∠

MNP=64

0

,

∠

MPL=142

0

Найти:

∠

NMР

Учитель: Какое свойство внешнего угла знаем?

Ученик:

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с

ним.

Учитель: Как решим задачу?

Ученик: Найдем

∠

NMP=142 – 64 =

78

0

Задание 3. В прямоугольном треугольнике один из внешних углов равен 105

0

.

Найдите меньший из углов прямоугольного треугольника.

Учитель: Что дано? Что требуется найти?

Ученик:

Дано: ∆АВС,

∠

АВК=105

0

Найти:

∠

САВ

Учитель: Какое свойство внешнего угла знаем?

Ученик:

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с

ним.

Учитель: Как решим задачу?

Ученик:

∠

САВ=105 – 90 = 15

0

L

142

0

64

0

К

?

В

С

А

?

P

М

N

105

0

Задание 4.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол при

вершине С равен 68

0

. Найдите величину внешнего угла при вершине В.

Учитель: Что дано? Что требуется найти?

Ученик:

Дано: ∆АВС – равнобедренный,

∠

АСВ=68

0

Найти:

∠

СВК

Учитель: Чему равна сумма углов треугольника?

Ученик: Сумма углов треугольника равна 180

0

.

Учитель: Свойство равнобедренного треугольника?

Ученик: Угла при основании равны.

Учитель: Какое свойство внешнего угла знаем?

Ученик:

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с

ним.

Учитель: Как решим задачу?

Ученик:

∠

САВ=(180 – 68)/2=56

0

,

∠

СВК=68 + 56 = 124

0

.

5.

Решение задач повышенной сложности.

Теперь рассмотрим задачи, которые встречаются во второй части

варианта ГИА. Задачи этой части на умение доказывать равенство

треугольников. Для начала разберем простую задачу (ученик решает у

доски).

Задание 5.Отрезки AB

и CD лежат на параллельных прямых, AD

и BC

пересекаются в точке

О, при этом ВО = ОС. Докажите равенство

треугольников АОВ и СОD.

Учитель: Что дано? Что требуется найти?

Ученик:

О

В

А

К

?

68

0

С

В

А

Дано: АВ ll CD, AD

⋂

ВС = О ,ВО = ОС

Доказать: ∆ АОВ=∆ DОC

Учитель: Как будем доказывать равенство треугольников?

Ученик: чтобы доказать, что треугольники равны, надо найти три пары

равных элементов.

Рассмотрим ∆ АОВ и ∆ DОC:

∠

АОВ равен

∠

СОD(по свойству вертикальных углов)

ВО=ОС (по условию)

∠

АВО =

∠

DСО (накрест лежащие при АВ

∥

СD и сек. ВС)

∆ АОВ=∆ DОC (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Задание 6. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам

равнобедренного треугольника, равны.

Дано: ∆АВС – равнобедренный, АК, СL -

медианы, ВК=СK, AL=BL

Доказать: АК=СL

Учитель: Как доказываем равенство отрезков?

Ученик: Равенство отрезков доказываем через равенство треугольников

Учитель: Равенство каких треугольников нам необходимо доказать, чтобы

доказать АК=СL?

Ученик: ∆ AKC и ∆ CLA

Учитель: Как будем доказывать равенство треугольников?

Ученик:

Доказательство: 1) Рассмотрим ∆ AKC и ∆ CLA:

CK=AL (так как СК=BK=1\2BC=1\2AB=AL=BL)

∠

А=

∠

С (свойство равнобедренного треугольника)

АС - общая

∆ AKC=∆ CLA ( по двум сторонам и углу между ними).

2) AK=CL (так как из равенства треугольников следует равенство

соответствующих элементов).

L

К

С

В

А

D

С

Задание 7 На рисунке АВ = CD, AD = BC, ВЕ - биссектриса угла АВС, а DF -

биссектриса угла ADC. Докажите, что треугольники ABE и CDF равны.

Дано: АВ = CD, AD = BC,

∠

ABE

= ∠

, ∠

СВЕ

CDF

=

∠

ADF

Доказать: ∆ABE = ∆CDF

Учитель: Равенство каких треугольников мы можем сначала доказать?

Ученик: ∆ АВС и ∆ ADC

Учитель: Что будет следовать из равенства треугольников?

Ученик: Из равенства треугольников будет следовать равенство

соответствующих элементов

Учитель: Значит на следующем этапе равенство каких треугольников мы

сможем доказать?

Ученик: ∆ABE и ∆CDF

Учитель: Как будем доказывать?

Ученик(у доски):

Доказательство: 1) Рассмотрим ∆ АВС и ∆ СDА:

АВ = CD(по условию)

AD = BC(по условию)

АС - общая

∆ АВС = ∆ СDА(по трем сторонам);

2)

∠

BAE =

∠

DCF,

∠

ABE =

∠

CDF (так как из равенства треугольников следует

равенство соответствующих элементов);

3) Рассмотрим ∆ABE и ∆CDF:

АВ = CD(по условию)

∠

BAE =

∠

DCF (

по выше доказанному)

∠

ABE =

∠

CDF (по выше доказанному)

∆ABE = ∆CDF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Выполним самостоятельную работу. (Карточка 3)

6.

Подведение итогов урока.

Какие понятия, определения, свойства мы повторили? Какие задачи решали

на уроке?

7.

Домашнее задание.

Повторить все определения, свойства, признаки равенства треугольников.

Задание 1. Точки A, B, C принадлежат одной прямой. Точки D

1

и D

2

лежат

по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABD

1

и ABD

2

равны, то треугольники BCD

1

и BCD

2

тоже равны.

Задание 2. Треугольники АВС и А

1

В

1

С

1

равны. Отрезки CD и C

1

D

1

образуют

со сторонами соответственно СВ и С

1

В

1

равные углы. Докажите, что AD =

A

1

D

1

.

Приложения

Карточка 1.

Карточка 2.

Верно ли?

1.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не

лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

2.

Внешний угол треугольника равен разности двух внутренних, не

смежных с ним.

3.

Сумма углов треугольника равна 180

0

.

4.

Против меньшей стороны лежит больший угол.

5.

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две

стороны равны.

6.

В равнобедренном треугольнике два угла равны.

7.

В

прямоугольном

треугольнике

биссектриса,

проведенная

к

основанию, является медианой и высотой.

8.

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол

острый.

9.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из

углов тупой.

10.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из

углов прямой.

11.

Медиана

треугольника

–

это

отрезок,

соединяющий

вершину

треугольника с серединой противоположной стороны

12.

Биссектриса

треугольника

–

это

отрезок

биссектрисы

угла

треугольника,

соединяющий

вершину

треугольника

с

точкой

противоположной стороны.

13.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины

треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

14.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий две

вершины.

15

Если

две

стороны

и

угол

между

ними

одного

треугольника

соответственно

равны

двум

сторонам

и

углу

между

ними

другого

треугольника, то такие треугольники равны.

16

Если сторона и два любых угла одного треугольника соответственно

равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники

равны.

17

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем

сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Карточка 3.

Задание 1. В прямоугольном треугольнике АВС внешний угол при вершине С

равен 160

0

. Найдите величину угла АВС.

Задание 2. Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по

разные стороны от прямой АВ. Докажите, что

треугольники CBD и DAC равны.