Коллоквиум по теме « Периодичность».

Каболова Елена Владимировна - учитель математики

МБОУ ордена «Знак Почёта»

им. Луначарского А.В. гимназия №5

г. Владикавказ, РСО-Алания

В этой методической разработке за основу взят материал, который подробно

не изучается в школе, - это свойства периодичности и непериодичности

тригонометрических функций.

В работе даётся известное определение периодической функции и (новое для

учащихся) на коллоквиуме вводится краткое определение периодичности через

кванторы. Затем рассматриваются свойства и примеры периодических и

непериодических функций, периодов суммы функций с соизмеримыми и с

несоизмеримыми периодами, которые и использовались при проведении

внеклассного урока – коллоквиума. Учащиеся должны иметь целостную картину о

периодических функциях. Разобран способ нахождения периода для суммы

тригонометрических функций. Важно, чтобы школьники понимали, что же такое

период функции и на «провокационный» вопрос типа: «можно ли сказать, что 22

π

-

период функции

sin х

», не отвечали, «нет».

1. Пропедевтика и дальнейшее развитие понятия периодичности.

Из 11 свойств функций, которые на том или ином уровнях строгости изучаются в

различных разделах школьного курса математики, мы с учащимися решили для

изучения (на кружке) выбрать свойство периодичности. Правда, выпускники в

2016 году уже поступили в технические вузы. Конечно, приобретённые навыки им

помогут установить связь между школьными знаниями и простейшим, изучаемым в

вузе материалом.

Теперь рассмотрим три вопроса, которые ставил перед молодыми учителями на

1

одном из семинаров А. Мордкович ещё в 1994 году.

1. Каким из этих понятий следует давать в школе строгое определение, а какие

достаточно лишь описать?

2. Как и когда вводить, то или иное определение?

3. Если строгое определение вводится позже первичного использования некоторого

свойства, то каковы пропедевтика и динамика развития соответствующего понятия?

Действительно эти вопросы далеко не праздны, а очень важны в школе.

Основная методическая ошибка – это появление всех этих свойств в более или

менее полном объёме практически одновременно в теме «Построение графиков

функций с помощью производной», что и вызывает затруднения у учащихся (из-за

переизбытка информации).

Это и есть педагогическая ошибка.

Дело в том, что каждый учитель реализует в своей педагогической деятельности

различные программы: интереса, памяти, развития математической речи,

ориентации на прочное усвоение базовых (или профильных) знаний, формирования

универсальных учебных действий и т. д. Среди них важное место занимает

математическая речь, математическая грамотность. Не следует забывать, что

употребление (со смутным пониманием) определённых терминов в реальной жизни

часто предшествует их полноценному пониманию, а понимание термина приходит

только после привыкания к нему. Поэтому считается не только возможным, но и

полезным употребление школьниками, начиная с 7-го класса, таких, например,

терминов, как непрерывность, выпуклость и, конечно, периодичность без знания

строгих математических определений. Например: - Где вы встречались со словами:

период и периодичность?

Ответы учащихся: период в музыке – построение, в котором изложено более или

менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и

разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет. На ЕГЭ встречаются и

примеры на периоды полураспада радиоактивного вещества, с периодической

дробью, из периодической системы Менделеева и т. д. Дети, конечно же, находят в

памяти эти термины.

2

Впереди у всех - ЕГЭ. Поэтому подготовка к экзамену не должна сводиться к

«натаскиванию» учащихся на выполнение определённого типа задач, содержащихся

в демонстрационной версии экзамена, а должна начинаться с конкретно наглядной

(а не абстрактной) математики, а затем приобретается умение строить

математические модели. Различные анализы результатов ЕГЭ позволяют сделать

выводы, относящиеся к основным вопросам математики, на которых должна быть

сосредоточена подготовка к ЕГЭ.

Прежде всего, это:

• арифметические действия и культура вычислений;

• алгебраические преобразования и действия с функциями (что в данном случае нас

и интересует); решение практических задач.

Первоочерёдной задачей изучения курса математики (а также и свойств

функции) является качественное изучение предмета (темы), раскрытие принципов

действия, решение задач не только ради точного ответа, а ради способа его

получения, ради логических рассуждений на пути к нему.

Государственный стандарт по математике предполагает приоритет

деятельностного подхода к процессу проблемного обучения, в котором участвуют и

учащиеся, и учителя. В конце отобранного материала мы приведём схему разбора

такого нестандартного урока – коллоквиума.

2. О периодичности и непериодичности функций. Примеры при изучении темы

«Периодические функции и непериодические функции».

Теперь рассмотрим методическую концепцию изучения свойств периодичности

и непериодичности функций, которые и вызывают затруднения при нахождении

периодов для построения или чтения графиков функций на уроках и при сдаче ЕГЭ.

Рассмотрим с этих позиций и свойство периодичности. В технике и в природе

часто встречаются процессы, которые повторяются периодически через

определённые промежутки времени. Периодически изменяющиеся величины

описываются с помощью периодических функций.

В школьном курсе математики, когда речь заходит о примерах периодических

3

функций, учащиеся, как правило, называют основные тригонометрические функции.

Но в курсе алгебры встречаются и другие периодические функции. Например, y =

{

x

}

или y =3 при x

∈

R.

Как можно ещё получить периодические функции?

Например, по формуле y = f (g(x)), где g – периодическая функция, а f –

произвольная.

y =

cos

2

3 x

, y =

log

2

cos x

, y =

|

sin 2 x

|

и т. д.

Не все учащиеся справляются с задачами, в которых требуется доказать, что

заданная функция является периодической, хотя для ребят из профильного класса

это бывает нетрудно. Они сначала угадывают период, а затем с помощью

определения доказывают периодичность функции. Значительные трудности

учащиеся испытывают в тех случаях, когда нужно доказать непериодичность.

Обычно, обучая школьников методам доказательств непериодичности, можно

пойти двумя путями. Сначала разберём основные этапы первого пути. Надо

проанализировать с учащимися логическую структуру определения периодичности

и точно сформулировать определение непериодической функции.

Структура определения периодической функции: Пусть задана некоторая

функция f(x) на области определения D(f). Функция f(x) называется периодической,

если существует такое положительное число Т, что для любого x

∈

D справедливо:

1) x +T

∈

D(f), 2) x - T

∈

D(f),

3) f (x +T) = f(x) .

Если использовать кванторы (квантор существования

∃

и квантор всеобщности

∀

),

то краткая запись определения примет вид: (

∃

Т

≠

0) (

∀

х

∈

D) f (x -T) = f(x) = f(x + Т).

По сути дела, это первое определение в школьном курсе алгебры, где, говорят

математики, «навешены» два квантора. В этом психологическая трудность

определения, что следует учитывать учителю. Например, с чётностью, нечётностью,

монотонностью функций дело обстоит проще. Сравните: чётность – (

∀

x

∈

D) f(-

4

x)=f(x); нечётность - (

∀

x

∈

D) f(- x)= -f(x);

возрастание – (

∀

х

1,

х

2

∈

D) х

1

¿

х

2

⇒

f(x

1

)

¿

f(x

2

); убывание - (

∀

х

1,

х

2

∈

D) х

1

¿

х

2

⇒

f(x

1

)

¿

f(x

2

).

Во всех этих определениях фигурирует лишь один квантор.

С понятием периодической функции связан другой существенный момент – наличие

у неё бесконечного множества периодов. В самом деле, если Т – период функции y=

f(x), то любое число вида kT, где k

∈

Z, также является её периодом. Например,

любое число вида 2

π

k является периодом функций y=

sin x

, y=

cos x ,

а любое число

вида

πk

- периодом функций y=

tg x ,

y=

ctg x .

Школьники привыкли работать с основными периодами, т. е. с наименьшим из всех

положительных периодов функций, поэтому полезно, во-первых, объяснить, что

основной период выбирают только из соображений удобства (если основной период

функции y= f(x) равен T, то, строится ветвь графика на промежутке длины Т,

например на (-

Т

2

;

Т

2

)). Дальнейшее исследование можно не проводить, а

ограничиться параллельным переносом построенной ветви по оси х на ±Т,

± 2Т

и т. д.); во вторых, полезно показать хотя бы сильным учащимся, что основной

период существует не всегда. Стандартный пример в этом плане – функция

Дирихле.

D(x) =

{

1 , если х

−

рациональное число ;

0 , если

−

иррациональное число .

Любое рациональное число r является периодом функции. В самом деле, если х –

рациональное число, то x+r, x- r – рациональные числа, а потому D(x – r) = D(x) =

D(x+r) = 1; если же х – иррациональные числа, а потому D(x – r) = D(x) = D(x+r) = 0.

Однако среди положительных рациональных чисел наименьшего числа нет; значит,

у периодической функции Дирихле не существует основного периода.

С введением понятия периодической функции в силу указанной выше

психологической трудности его восприятия торопиться не следует, оно естественно

вводится в теме «Тригонометрические функции». Однако вы совершите

методическую ошибку, если не приведёте ученикам хотя бы один пример

5

периодической функции из «другой оперы», не являющейся тригонометрической.

И в этом плане есть стандартный пример (не считая экзотической функции

Дирихле) – это «дробная часть числа» y=

{

x

}

.

Напомним, что

{

x

}

= x -

[

x

]

, где

[

x

]

- целая

часть числа. Отсюда следует, что

{

х

−

1

}

=

{

х

}

=

{

х

+

1

}

, т. е. 1 – период функции

{

х

}

,

причём это основной период. Построим эти графики.

Пример 1. Построение графиков функции вида y = [f(x)]

а) Пусть имеется график функции у = f(х). Чтобы

построить график функции у = [f(x)], поступаем

следующим образом:

• Проводим прямые у = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; … и

рассматриваем одну из полос, образованных прямыми у = n, у = n + 1.

• Отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком функции у = f(х).

Эти точки принадлежат графику функции у = [f(x)], так как их ординаты

целые числа (на рисунке это точки А, В, С, D).

• Для получения остальных точек графика функции у = [f(x)] в указанной полосе

часть графика у = f(х), попавшую в полосу, проектируем параллельно оси Оу на

прямую у = n. Поскольку любая точка М этой части графика функции у = f(х) имеет

6

такую ординату

, что n ≤

< n + 1, то

[

] = n.

• В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = f(х), построение

проводится аналогично.

Графический способ решения уравнений

Пример 2. [х] = 2{х}

Решение. Решим это уравнение графически. Построим графики функций у = [х]

и у = 2{х}. Найдём абсциссы точек их пересечения.

Ответ: х = 0; х = 1,5.

Теперь построим определение непериодической функции.

Функция f(x) не является периодической, если для любого T > 0 найдётся такое x

∈

D, что не будет

выполнено хотя бы одно из условий: 1) – 3)

1) x +T

∈

D(f),

2) x - T

∈

D(f),

3) f (x +T) = f(x).

Рассмотрим материал на примерах и укажем некоторые свойства, которые

используются в разобранных задачах.

Пример – 1.

7

Докажите, что функция f(x) =

sin

1

x

не является периодической.

Областью определения данной функции являются все действительные числа, кроме

0, т. е. x

≠ 0.

Пусть T – произвольное положительное число. Так как – T

≠ 0 ,

то точка х

0 =-

-T

принадлежит области определения. Но х

о

+ T = (-T) + T = 0 и х

о

+ T

∉

D (f).

Нарушено условие (1), следовательно, функция f(x) =

sin

1

x

не является

периодической.

Пример – 2.

Докажите, что функция f(x) =

x

3

не является периодической.

Областью определения данной функции являются все действительные числа,

поэтому для любого

T точки x + T и x – T принадлежит области определения. Значит, нужно доказать,

что для любого T > 0 существует (хотя бы одно) значение х, для которого f (x +T)

≠

f(x).

В качестве такого х можно взять, например, х=0. Тогда f (x) = f(0) = 0. f (x +T) = f(Т)

=Т

2

> 0,

т. е. f (x +T)

≠

f(x).

Теперь рассмотрим, в чём заключается второй путь доказательства

непериодичности функции.

Он основан на таком очевидном утверждении: если все периодические функции

обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она не

является периодической.

Пойти по этому пути доказательства возможно в том случае, когда определён набор

необходимых

свойств периодических функций.

Укажем некоторые такие свойства.

I. Если точка x

0

принадлежит области определения периодической функции с

периодом

8

T, то её области определения принадлежат и все точки x

0 +

nT, где n – любое

целое число.

Это значит, что область определения периодической функции содержит

положительные и отрицательные числа, сколь угодно большие по абсолютной

величине.

Отсюда, например, вытекает, что функция y=

log

a

x

не является периодической, так

как любое

x

≤

0 не принадлежит её области определения.

II. Периодическая функция f(x) принимает каждое своё значение при

бесконечном числе значений x, среди которых есть положительные и

отрицательные числа, сколь угодно большие по абсолютной величине.

Это свойство вытекает из равенства f (x +nT)

¿

f(x), , где n

∈

Z, верного для

периодической функции с периодом T > 0. В частности, периодическая функция не

может быть строго монотонной на всей области определения. Например, сразу ясно,

что функция y=a

2

не может быть периодической, поскольку она строго монотонна.

III. Периодическая функция не может иметь на своей области определения

конечного числа точек разрыва. Например, функция y =

1

x

(

x

−

2

)

не является

периодической, так как имеет только две точки разрыва: х=0 и х=2.

IV. Если f(x) – периодическая функция, определённая на всей числовой прямой,

то уравнение f (x +T)

¿

y =

{

x

}

где Т рассматривается как неизвестное, а х – как

параметр, имеет по крайней мере одно положительное решение Т=Т

0,

удовлетворяющее этому уравнению при всех значениях параметра х

∈

R.

Пример.

Докажите, что функция y =

{

x

}

+

sin х

не является периодической.

Предположим, что f(x) – периодическая функция с периодом Т>0. Тогда при любом

х верно

9

{

х

+

Т

}

+

sin

(

х

+

Т

)

=

{

х

}

+

sin х

.

При х=0 выполняется равенство.

{

Т

}

+

sin Т

=0; (*)

При х = - Т запишем

{

−

Т

}

-

sin Т

=0; (**)

Складывая почленно равенства (*) и (**), получим .

{

Т

}

+

{

−

Т

}

= 0.

Так как дробная часть любого числа неотрицательна, то .

{

Т

}

=¿

.

{

−

Т

}

=0,

т. е. Т – целое число. Если,

{

Т

}

=¿

0, то из равенства (**) следует, что

sin Т

=0.

Значит, Т = k

π

, k

∈

Z. Но если k

≠

0, то Т = k

π

не является целым числом.

Следовательно, уравнения (*) и (**) имеют лишь один корень Т=0. Поэтому f(x) не

является периодической функцией.

Если для периодической функции f(x) с периодом Т на некотором промежутке

[

а; а

+

Т

]

выполнено неравенство

|

f

(

x

)

|

≤ М, то это неравенство выполняется и для

любого значения переменной х.

Из этого утверждения вытекает, что для периодической функции f(x), определённой

и непрерывной на всей числовой оси, существует такое число М>0, что неравенство

|

f

(

x

)

|

≤ М выполняется для всех х

∈

R.

Приведём некоторые задания, которые учащиеся 10-11 классов выполняли на

коллоквиуме.

Задание №1. Докажите, что функция f(x) =

|

sin х

|

является периодической с

периодом

π

.

Областью определения функции f(x) является числовая прямая. Поэтому для любого

х точки х и х+

π

и х-

π

принадлежат области определения. Проверим равенство f(x +

π

) = f(x);

f(x +

π

) =

|

sin

(

х

+

π

)

|

=

|

−

sin х

|

=

|

sin х

|

= f(x).

Задание №2. Найти основной период функции f(x) =

cos

4

х

+

sin х

.

Функция определена на множестве действительных чисел, поэтому числа х+Т и х -

Т принадлежат области определения функции. Число 2

π

является периодом

10

функции, так как

cos

4

(

х

+

2 π

)

+

sin

(

х

¿+

2 π

) ¿

=

cos

4

х

+

sin х

.

Докажем, что никакое положительное число Т, которое является периодом функции

f(x),

причём 0 < Т < 2

π

не является периодом функции. Предположим противное:

существует число Т, которое является периодом функции, причём 0 < Т < 2

π

.

Рассмотрим число х = -

Т

2

. Значение f (-

Т

2

) должно быть равно f (-

Т

2

+Т) = f(

Т

2

).

Но

cos

4

¿¿

) +

sin

¿ ¿

)

≠ cos

4

Т

2

+

sin

Т

2

, так как

sin

¿ ¿

) и

sin

¿ ¿

) отличны от нуля и

противоположны по знаку, а числа

cos

¿

) и

cos

¿

) совпадают. Противоречие.

Задание №3. Найти главный период функции у = 3

cos х

+

cos 2 х

.

Областью определения данной функции является вся числовая прямая. Пусть Т –

период данной функции, тогда для любого х имеем3

cos

(

х

+

Т

)

+

cos

(

2

(

х

+

Т

)

)

=¿ ¿

3

cos х

+

cos 2 х

.

При х=0 получаем уравнение для Т: 3

cos Т

+

cos 2Т

=

4

.

Поскольку

cos Т

≤ 1 и

cos 2Т

≤ 1, выполняется неравенство 3

cos Т

+

cos 2Т ≤ 4

, поэтому

Т удовлетворяет системе уравнений:

{

cos Т

=

1

cos 2Т

=

1

Наименьшим положительным решением этой системы является число

Т=2

π

.

Проверим, что Т=2

π

действительно является периодом данной функции.

Действительно, для любого х числа х + 2

π

, х - 2

π

принадлежат области определения

данной функции и

3

cos

(

х

+

2 π

)

+

cos

(

2

(

х

+

π

)

)

=¿ ¿

3

cos х

+

cos 2 х

.

Поэтому число Т=2

π

является главным периодом данной функции.

11

Задание №4. Докажите, что функция f(x) =

10 х

2

– х

+

1

х

2

+

х

+

1

не является

периодической.

Уравнение

10 х

2

– х

+

1

х

2

+

х

+

1

= а, где а – некоторое фиксированное число, принадлежащее

области

значений функции f(x), приводится к виду: х

2

(10 –а) – х (а + 1) +1 – а = 0.

Отсюда ясно, что оно не может иметь более двух корней. Поэтому каждое своё

значение функция f(x) принимает не более чем в двух точках. Значит, она не

является периодической, в соответствии со свойством II.

Задание №5. Докажите непериодичность функции f(x) = 2х

cos

¿ ¿ ¿

).

Область определения данной функции – вся числовая прямая. Допустим противное:

функция f(x) = 2х

cos

¿ ¿ ¿

) и Т >0 – её период. Так как f(x) определена на всей

числовой прямой и

|

f

(

x

)

|

≤ 2Т при х

∈

[

0; Т

]

, то по свойству: ( Если для периодической функции f(x) с

периодом Т на некотором промежутке

[

а; а

+

Т

]

выполнено неравенство

|

f

(

x

)

|

≤ М,

то это неравенство выполняется и для любого значения переменной х) при

любом х

∈

R имеет место неравенство

¿

≤ 2Т.

Но это неравенство не выполняется при х =

√

2 πn

, если n такое, что

√

2 πn

> Т.

Противоречие.

Но это неравенство не выполняется при х =

√

2 πn

, если n такое, что

√

2 πn

> Т.

Противоречие.

Задание №6.

Доказать непериодичность функции f(x) =

cos log

а

|

х

|

.

Областью определения функции f(x) – вся числовая прямая, кроме х = 0,

т. е. D(f) = (

−

∞ ;0

¿

∪

(0;

∞

). Если бы f(x) была периодическая с периодом Т > 0, то,

12

так как Т

∈

D

(

f

)

,

по определению периодической функции следовало бы заключить 0

= Т - Т

∈

D

(

f

)

,

что неверно.

Задание №7.

Докажите, что функция f(x) =

sin

√

|

х

|

не является периодической.

Предположим противное – данная функция имеет период Т, возьмём положительное

значение х, удовлетворяющее условию

sin

√

х

=1. Тогда

sin

√

х

+

Т

=

sin

√

х

=1, значит,

√

х

+

Т

-

√

х

= 2

π

n, n

∈

N .

Очевидно, что

√

х

+

Т

≥

√

х

, поэтому

√

х

+

Т

≥

2 π

+

√

х

. В обеих

частях неравенства стоят положительные числа, и мы можем возвести обе части

этого неравенства в квадрат.В результате получим: х+Т

≥

4

π

2

+ 4

π

√

х

+х, или Т

≥

4

π

2

+ 4

π

√

х .

Получим противоречие, т. к. число

√

х

можно выбрать как угодно большим, т. е.

таким, чтобы последнее неравенство не было выполнено для фиксированного числа

Т.

4. О сумме периодических функций.

В разных пособиях для учащихся приводится много поучительных примеров,

связанных с периодическими функциями. При этом к каждой функции применяют

особый подход (индивидуальный). И у некоторых школьников часто возникают

следующие вопросы

(общего характера).

1.Каким может быть период суммы периодических функций с заданными

периодами?

2. Может ли сумма двух непрерывных периодических функций с несоизмеримыми

периодами быть функцией периодической?

Приведём для этого предварительные сведения

Вспоминают определение периодической функции. Наименьший положительный

период функции (если, конечно, он существует) будем называть основным

периодом.

Теорема 1.

13

Если у функции есть основной период T

0 ,

то любой период функции имеет вид n•T

0,

где n

≠

0,

n

∈

Z/

Доказательство. Действительно, если T период данной функции не кратен

основному периоду, то найдётся такое целое число, что число k, что kT

0

¿

T

¿

(k+1)T

0.

Легко проверить, что число

T – k T

0

будет при этом положительным периодом, меньшим основного –

противоречие.

Теорема 2 (без доказательства)

Если у непостоянной периодической функции нет основного периода, то у неё есть

периоды, сколь угодно близкие к любому наперёд заданному числу.

Теорема 3 (без доказательства)

Если у непостоянной периодической функции нет основного периода, то она

разрывная во всех точках своей области определения

Из теоремы 1 следует, что у функции, имеющей основной период, любые два

периода соизмеримы.

Классическим примером функции, не имеющей наименьшего периода, является

функция Дирихле, равная 1 в рациональных точках и нулю в иррациональных.

Любое рациональное число, отличное от нуля, является периодом функции

Дирихле, а любое иррациональное число не является её периодом. Здесь два

периода несоизмеримы.

5. Период суммы функций с соизмеримыми периодами.

Теорема 4 (без доказательства)

14

Пусть f и g - периодические функции с основными периодами mT

0

и nT

0

, где m и n

– взаимно простые числа. Тогда основной период их суммы (если он существует)

равен

mnT

k

, где k - натуральное число, взаимно простое с числом mn.

Теорема 5 (без доказательства, рассмотрим на примере)

Пусть m, n и k - попарно взаимно простые числа, а T

0

- положительное число. Тогда

существуют такие периодические дроби f g что основные периоды f, g и f + g равны

соответственно

mT

0,

nT

0

и (mnT

0 :

k

1 )

mnT 0

k 1

.

Приведём утверждение.

Пусть m и n взаимно простые числа. Тогда функции

f

1

( x) =

cos

x

m

+

cos

x

n

и f

2

( x) =

cos

x

m

-

cos

x

n

имеют основным периодом число

2 πmn

.

Теперь построим для теоремы 5 - пример.

1) Пусть m, n и k - попарно взаимно простые числа и хотя бы одно из них n или k

отлично от 1. Тогда n

≠

k и в силу приведённого утверждения, функции

f( x) =

cos

x

m

+

cos

x

k

и g( x) =

cos

x

n

-

cos

x

k

имеют периоды

2 π

mk и

2 π

nk

соответственно, а у их

суммы h (x) = f (x) +g (x) =

cos

x

m

+

cos

x

n

основной период равен

2 π

mn.

2) Если n= k = 1, то подойдёт пара функций f( x) = 2

cos

x

m

+

cos x

и g( x) =

cos x

.

Их основные периоды , а также период функции h (x) = 2

¿

+

cos x

¿

,

как легко

проверить, равны соответственно

2 π m ,

2 π

, 2

πm

.

Итак, для произвольных попарно взаимно простых чисел m, n и k указаны

функции f и g

15

такие, что основные периоды функций f , g и f+g равны соответственно mT , nT

и

mnT

k

,

где T = 2

πk .

Условию теоремы удовлетворяют функции f (

Т

х

Т

0

¿

и g

¿

) .

Период суммы функций с несоизмеримыми периодами (будет рассматриваться в

дальнейшем отдельно).

Приведём поучительные примеры.

6. Нахождение периодов тригонометрических функций. Примеры

рассматривались на кружке в гимназии №5.

Памятка

1. Для нахождения периода тригонометрической функции, состоящей из суммы

простейших тригонометрических функций, надо найти период каждого из

слагаемых.

2. Затем привести к общему знаменателю оба периода (или несколько).

3. Найти НОК числителей (приведённых дробей к общему знаменателю).

4. Разделить НОК на общий знаменатель (т. е.

НОК

НОЗ

).

П-1

Найти период функции: y=

sin 3 x

+

cos 5 x

1) T

1

=

2 π

3

; T

2

=

2 π

5

; 2) НОЗ(3;5)=15 - знаменатель

T 1

=

10 π

15

;

T

2

=

6 π

15

; 3) НОК(10

π ; 6 π

)= 30

π

. 4) T

=

30 π

15

=2

π

. Ответ: 2

π .

П-2

Найти период функции: y = 15

sin

2

12 x

+ 15

2 sin

2

15 x

.

16

y = 15

∙

1

−

cos 24 x

2

+ 12

∙

1

−

cos 30 x

2

. y =

15

2

(1 -

cos 24 x

) + 6 (1 -

cos 30 x

). 1) T

1

=

2 π

24

=

π

12

;

T

2

=

π

15

;

2) НОЗ (12, 15) = 60. T

1

=

5 π

60

; T

2

=

4 π

60

; 3) НОК (5

π

; 4

π

) = 20

π

; 4) T

=

20 π

60

=

π

3

. Ответ:

π

3

.

7. Период суммы функций с несоизмеримыми периодами.

Теорема 6

Пусть f и g - периодические функции с несоизмеримыми основными периодами T

1

и T

2,

а сумма этих функций h=f+g периодична и имеет основной период T.Тогда число T

несоизмеримо ни с T

1

, ни с T

2.

Доказательство. С одной стороны, если числа Т и Т

1

соизмеримы, функция g=h – f

имеет период, соизмеримый с Т

1

. С другой стороны, в силу теоремы 1 любой период

функции g кратен числуТ

2

.

Получаем противоречие с несоизмеримостью чиселТ

1

и Т

2.

Несоизмеримость Т и Т

2

доказывается аналогично.

Замечательным и даже в некотором роде удивительным является тот факт, что

справедливо и утверждение, обратное теореме 6. В школьной (и не только в

школьной) среде широко распространено заблуждение о том, что сумма двух

периодических функций с несоизмеримыми периодами не может быть функцией

периодической. На самом же деле это не так. Более того, период суммы может быть

любым положительным числом, удовлетворяющим утверждению теоремы 6.

Теорема 7. Пусть Т

1,

Т

2

и Т – попарно несоизмеримые положительные числа.Тогда

существуют такие периодические функции f и g, что их сумма h=f+g периодична, а

основные периоды функций f, g и h равны соответственно Т

1,

Т

2

и Т. (в

17

приведённых примерах f и g – разрывны;

см. «Математика в школе»-№3, 2002г. стр. 71-72).

Теорема 8. Если две функции не имеют соизмеримых периодов и каждая из них

достигает наименьшего значения и непрерывна хотя бы в одной из точек минимума,

то сумма не является периодической функцией.

Следствие 1. Если две непрерывные функции не имеют соизмеримых периодов, то

их сумма не является периодической функцией.

Следствие 2. Произведение двух непрерывных непостоянных положительных

периодических функций с несоизмеримыми периодами является непериодической.

Теперь весь этот материал распределим поэтапно на коллоквиум.

8. Схема анализа внеклассного урока с применением рейтинг-контроля.

Коллоквиум по парадигме: периодичность.

Цели.

Ввести понятие периода в жизни и в математике (периодической функции как

периодически сменяющихся циклических явлений в природе) и изучить свойства

периодических и непериодических функций.

Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”

и рассмотреть примеры, формируя навыки применения свойств

периодической функции для нахождения наименьшего положительного периода

функции.

Показать построение графика периодической функции по её частям.

Научиться находить значения периодической функции в любой точке, зная период

и значение функции в одной точке.

Задачи:

• Организовать решение устных и письменных задач, построение графиков,

выполнение самостоятельной работы. Провести эстафету – «Найди ошибку».

18

• Развивать умения моделирования, навыки сравнения, аналогии, выбора ответов,

чертёжные навыки путем построения графиков функций. Формировать УУД и

содействовать повышению интереса к изучению математики.

Планируемые результаты



использовать понятие периодичности при решении задач из практики;



анализировать и осмысливать текст задачи, переформулировать условие,

извлекать необходимую информацию;



моделировать условие задачи с помощью графиков;



строить логическую цепочку рассуждений, искать и выбирать пути решения

задачи – проблемы;



осуществлять самоконтроль, проверять ответ задачи на соответствие условию;



приводить примеры использования периодичности на практике;



осуществлять поиск информации, содержащей данные по периодичности,

интерпретировать их;



использовать свои знания по теме в других исследованиях, связанных с

периодичностью. Обратить внимание на то, что эти знания в дальнейшем

могут быть полезны и в других науках и областях.

Планируемые умения.

После изучения этой темы учащиеся должны уметь самостоятельно пополнять и

систематизировать свои знания; строить графики; знать приемы сравнения,

обобщения, уметь делать выводы, приводить примеры периодических функций.

Описание урока.

1. Данный урок – это нестандартный урок (в форме коллоквиума) самостоятельного

изучения нового и дополнительного материалов по теме периодичность.

На внеклассном уроке использовалась обучающая программа «Современный

учебно-методический комплекс «Алгебра и начала анализа, итоговая аттестация

выпускников». Такой урок готовит учащихся к самостоятельной работе, к

19

контрольной работе, а также урок является одним из этапов подготовки учеников к

ЕГЭ по математике.

2. На уроке применялись методы взаимоконтроля, метод переноса знаний в

проблемную ситуацию, метод проектов, метод критического мышления, метод

оценивания рейтинг-контролем.

3. На этапе «Постановка парадигмы урока и мотивация учебной деятельности

учащихся» использовались методы стимулирования и мотивации учения,

включающие упражнения, стимулирующие интерес к учению, формирование

обязательности, ответственности, точности и аккуратности (учащиеся показывали

графики и рисунки с орнаментами периодических функций).

4. На этапе «Воспроизведение и актуализация опорных знаний и умений

учащихся» пользовались методами: вопросно - ответный, наглядный. Достигалась

проверка основных правил, умения объяснять их сущность, аргументировать свои

суждения. При этом использовалась транзитивная, фронтальная и индивидуальная

формы работы (доклады, сообщения, презентации).

5. На этапе «Практическая деятельность учащихся» - отрабатывались умения,

усваивались новые знания и способы действия. Под руководством преподавателя

достигалось совершенствование учебного процесса, используя частично-поисковый

метод (самостоятельно составленные упражнения репродуктивного,

конструктивного и творческого характера).

6. На этапе «Осуществление коррекции знаний» использовались следующие

методы: дифференцированная работа, самоконтроль, самооценка и работа в группах.

Проводился зачёт «три С» - сильные, слабые и средние». Решали средние и

слабые, проверяли сильные. Виды с-работ: воспроизводящие, констатирующие,

логически-поисковые .

7. На этапе «Подведение итогов» использовался рейтинг-контроль. Рефлексия.

Символические отметки – в методлистах. Выбранные методы обучения и способы

20

управления учебной деятельностью способствовали достижению целей и

соответствовали уровню обученности учащихся. Считаю, что на уроке соблюдались

основные условия конструирования современного урока. (Рейтинг-контроль

разобран подробно в моей методичке).

9. Выводы

1. Понятия и свойства периодичности и непериодичности изучены, отработаны,

считаем, достаточно (в профильных пределах обязательных результатов обучения).

2. Знания по теме обобщены, систематизированы и применены на практических

примерах.

3. Рассмотрены различные способы нахождения периодов функций, а также два

пути разбора доказательств непериодичности функций.

4. Приведена схема конструирования технологической карты внеклассного урока.

5. Рассмотренный материал по периодичности может быть применён на

комбинированных уроках из раздела «Функции и графики» для дальнейшего

развития УУД и при подготовке к ЕГЭ.

10. Слово учителя о деятельности.

1. На коллоквиуме понятия и свойства периодичности и непериодичности изучены,

отработаны, считаем достаточно (в профильных пределах обязательных

результатов обучения).

2. Знания по теме обобщены, систематизированы и применены на практических

примерах.

В течение многих лет работы преподавателем стараемся помочь учащимся

осознать перспективные цели учения. Для достижения этой цели выбираем

деятельностный подход в обучении, который и предполагает направленность всех

педагогических мер на организацию интенсивной, постоянно усложняющейся,

обновляющейся и повторяющейся деятельности.

Хочется сказать о том, что мы все проводим различные внеклассные уроки, но

медленно улучшаются показатели выпускников по математике на ЕГЭ. Нам есть над

чем работать. Напомним, технические специальности высшей школы особо

21

приглашают каждый год выпускников обратить на них внимание. Нам активнее

надо заняться профориентацией.

Заключение.

Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания

школьников по этой теме. Модель « Функции и графики» значительно расширяет

возможности изучения свойства периодичности для проведения дальнейших

различных исследований (в физике, информатике, медицине…). Это помогает

лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе. Занятия

математикой похожи на фантазирование, но на самом деле они состоят в том, что

наше восприятие обостряется, в результате чего открываются и периодические

закономерности, присутствующие вокруг нас. Наше чувство прекрасного влечёт нас

к той математике, что обладает глубиной и стройностью. А затем эта глубина и

красота математических конструкций приводит нас к тому, что они неожиданным

образом проявляются в других частях математики

и в окружающем нас мире. « Математика есть лучшее, и даже единственное

введение в изучение природы», - говорил Д. И. Писарев. Многое в теоретической

науке на самом деле является математикой, а в жизни - многое периодически

повторяется.

В школе - даже сама программа по математике выстраивается с периодическим

повторением того или иного раздела и обязательной преемственностью.

Литература

1. Изучение свойств функций. Лекции для молодых учителей. А. Мордкович.

2. О периодичности и непериодичности функций. Р. И. Смирнова.

3. Журнал «Математика в школе» - №3, 2002 г. Статья: « О сумме периодических

функций»,

стр. 71-72. А. Ю Эвнин, А. В. Гереншттейн.

22

4. У. Терстон. Статья, «Какова польза от обучения математике». Ж. Математика/

февраль/ 2015 г.

23