Курс лекций

по дисциплине

. Техническая механика

для студентов

2

курса механических специальностей СПО

СОСТАВИЛ:

Ерофеева Р.А.

2020

1

Содержание

Наименование тем

Страница

Тема 1.1. Статика

2

Тема 1. 2. Кинематика

2.2

Тема 1. 4. Динамика

37

Тема 2.1 Растяжение (сжатие)

51

Тема 2.3 Геометрические характеристики плоских сечений

74

Тема 2.4 Кручение

79

Тема 2.5 Изгиб

82

Тема 2.6. Сочетание основных деформаций

93

Тема 2.7 Сопротивление усталости

103

Тема 2.9 Устойчивость сжатых стержней

110

Тема 3.1 Соединения деталей машин

118

Тема 3.2 Передачи

132

Тема 3.3 Валы и оси

163

Тема 3.4 Подшипники. Муфты

165

2

Тема 1.1. Статика

1.

Основные понятия и аксиомы статики.

2.

Плоская система сходящихся сил

3.

Пара сил и момент силы относительно точки

4.

Плоская система произвольно расположенных сил

5.

Пространственная система сил

6.

Центр тяжести

1.Основные понятия и аксиомы статики, Плоская система сходящихся сил

Сила — это мера механического взаимодействия материальных тел между собой.

Взаимодействие характеризуется величиной и направлением, т.е. сила есть

величина

векторная, характеризующаяся

точкой приложения (А),

направлением (линией действия),

величиной (модулем) (рис. 1.1).

Силу измеряют в ньютонах, 1Н = 1кг • м/с

2

.

Силы, действующие на тело (или систему тел), делятся

на



внешние и



внутренние.

Внешние силы бывают

активные и реактивные.

Активные силы

вызывают перемещение тела,

реактиипые

стремятся противодействовать

перемещению тела под действием внешних сил.

Внутренние силы возникают в теле под действием внешних сил.

Совокупность сил, действующих на какое-либо тело, называют системой сил.

Эквивалентная система сил – система сил, действующая так же, как заданная.

Уравновешенной (эквивалентной нулю) системой сил называется такая система, которая,

будучи приложенной к телу, не изменяет его состояния.

Систему сил, действующих на тело, можно заменить одной

равнодействующей,

действующей так, как система сил.

Задачи теоретической механики

Теоретическая механика — наука о механическом движении материальных твердых тел

и их взаимодействии. Механическое движение понимается как перемещение тела в

пространстве и во времени по отношению к другим телам, в частности к Земле.

Для удобства изучения теоретическую механику подразделяют на статику, кинематику и

динамику.

Статика изучает условия равновесия тел под действием сил.

Кинематика

рассматривает

движение

тел

как

перемещение

в

пространстве;

характеристики тел и причины, вызывающие движение, не рассматриваются.

Динамика изучает движение тел под действием сил.

В отличие от физики теоретическая механика изучает законы движения некоторых абстрактных

абсолютно твердых тел: здесь материалы, форма тел существенного значения не имеют. При

движении абсолютно твердое тело не деформируется и не разрушается. В случае, когда

размерами тела можно пренебречь, тело заменяют материальной точкой. Это упрощение,

принятое в теоретической механике, значительно облегчает решение задач о движении.

Аксиомы статики

В

результате

обобщения

человеческого

3

опыта были установлены общие закономерности механического движения, выраженные в виде

законов и теорем. Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных

положений. Эти положения называют аксиомами статики.

Первая аксиома. Под действием уравновешенной системы сил абсолютно твердое тело

или материальная точка находятся в равновесии или движутся равномерно и прямолинейно

(закон инерции).

Вторая аксиома. Две силы, равные по модулю и направленные по одной прямой в

разные стороны, уравновешиваются (рис. 1.2).

Третья аксиома. Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать

уравновешенную систему сил (принцип отбрасывания системы сил, эквивалентной нулю) (рис.

1.3).

Четвертая аксиома

(правило параллелограмма сил).

Равнодействующая двух сил,

приложенных в одной точке, приложена в той же точке и является диагональю параллело-

грамма, построенного на этих силах как на сторонах (рис. 1.4).

Вместо параллелограмма можно построить треугольник сил: силы вычерчивают одну за другой

в любом порядке; равнодействующая двух сил соединяет начало первой силы с концом второй.

Пятая аксиома. При взаимодействии тел всякому действию соответствует равное и

противоположно направленное противодействие (рис. 1.5).

Силы действующие и противодействующие всегда приложены к разным телам, поэтому они не

уравновешиваются.

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены

вдоль одной прямой в разные стороны.

Следствие из второй и третьей аксиом. Силу, действующую на твердое тело, можно

перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).

Сила F приложена в точке А. Требуется перенести ее в точку В.

Используя третью аксиому, добавим в точке

В

уравновешенную систему сил (F'; F"). Образуется

уравновешенная по второй аксиоме система сил (F;

F"). Убираем ее и получим в точке В силу F",

равную

заданной F.

4

.Основные понятия и аксиомы статики. Связи и реакции связей



Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.



Все тела делятся на свободные и связанные.



Свободные тела — тела, перемещение которых не ограничено.



Связанные тела — тела, перемещение которых ограничено другими телами.

Тела

,

ограничивающие перемещение других тел, называют связями.

Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями

связей.

Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.

Всякое

связанное

тело

можно

представить

свободным,

если

связи

заменить

их

реакциями

(принцип освобождения от

связей).

Все связи можно разделить

на несколько типов.

Связь — гладкая опора (без

трения).

Реакция

опоры

приложена в точке опоры и

всегда

направлена

перпендикулярно опоре (рис.

1.7).

Гибкая связь (нить, веревка,

трос, цепь). Груз подвешен

на двух нитях (рис. 1.8).

Реакция

нити

направлена

вдоль нити от тела, при

этом нить может быть

только растянута.

Жесткий стержень.

На схемах стержни изображают толстой сплошной линией (рис. 1.9).

Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня.

Стержень работает на растяжение или сжатие.

Точное направление реакции

определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой

связи.

Возможным

перемещением

точки

называется

такое

бесконечно

малое

мысленное

перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями.

Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Следовательно, сила от

стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка А опускается

вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.

Шарнирная опора

Шарнир

допускает

поворот

вокруг

точки

закрепления. Различают два вида шарниров.

Подвижный шарнир.

Стержень, закрепленный на

шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а

точка

крепления

может

перемещаться

вдоль

направляющей (площадки) (рис. 1.10).

5

Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. к. не

допускается

только

перемещение

поперек

опорной

поверхности.

Неподвижный шарнир. Точка крепления перемещаться

не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг

оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось

шарнира,

но

неизвестна

по

направлению.

Её

принято

изображать в

виде двух составляющих: горизонтальной и

вертикальной (R

x

, Ry) (рис. 1.11).

Защемление или «заделка». Любые перемещения точки

крепления невозможны.

Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная

сила и реактивный момент М

R

, препятствующий повороту

(рис. 1.12).

Реактивную силу принято представлять в виде двух

составляющих вдоль осей координат R = R

x

+ R

y

Последовательность решения задач:

Выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматри-

вать.

Освободить тело (шарнир) от связей и изобразить

действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции

стержней следует направить от шарнира, так как принято предполагать, что стержни растянуты.

Выбрать оси координат и составить уравнения равновесия, используя условия

равновесия системы сходящихся сил на плоскости ∑Xi = 0; ∑Yi = 0. Выбирая оси координат,

следует учитывать, что полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей напра-

вить перпендикулярно одной из неизвестных сил.

Определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений.

Проверить

правильность

полученных

результатов,

решив

уравнения

равновесия

относительно заново выбранных координат х и у.

Контрольные вопросы и задания

1. Какая из приведенных систем сил (рис. 1.15) уравновешена?

2. Какие силы системы (рис. 1.16) можно убрать, не нарушая механического состояния тела:

3. Тела 1 и 2 (рис. 1.17) находятся в равновесии. Можно ли убрать действующие системы сил,

если тела абсолютно твердые? Что изменится, если тела реальные, деформируемые?

4. Укажите возможное направление реакций в опорах (рис. 1.18).

6

Понятие

о

силе

и

системе сил

Плоская

система сходящихся сил

Система

сил,

линии

действия которых пересекаются в

одной

точке,

называется

схо-

дящейся (рис. 2.1).

Необходимо

определить

равнодействующую

системы

сходящихся сил (F

1

; F

2

; F

3

;... ...; F

n

),

п

—

число

сил,

входящих

в

систему.

По

следствию

из

аксиом

статики, все силы системы можно

переместить вдоль линии действия,

и

все

силы

окажутся

приложенными в одной точке.

Равнодействующая

сходящихся сил.

Равнодействующую

двух

пересекающихся сил можно опреде-

лить с помощью параллелограмма

или треугольника сил (4-я аксиома)

(рис. 2.2).

Используя

свойства

векторной

суммы

сил,

можно

получить

равнодействующую

любой сходящейся системы сил,

складывая последовательно силы,

входящие в систему. Образуется

многоугольник

сил

(рис.

2.3).

Вектор

равнодействующей

силы

соединит начало первого вектора с

концом последнего.

При

графическом

способе

определения

равнодействующей

век- торы сил можно вычерчивать в

любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.

Вектор равнодействующей направлен

навстречу

векторам сил слагаемых.

Такой способ

получения равнодействующей называют геометрическим.

Замечание. При вычерчивании многоугольника обращать внимание на параллельность

сторон многоугольника соответствующем векторам сил.

Порядок построения многоугольника сил:

7

Рис. 2.9

Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так,

чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом последующего.

Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало

первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.

При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На

результат порядок вычерчивания не влияет.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил. При равновесии системы сил

равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении

конец Последнего вектора должен совпасть с началом первого.

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой

системы должен быть замкнут.

Если в системе три силы, образуется

треугольник сил.

Сравните два треугольника сил (рис. 2.4) и

сделайте

вывод

о

количестве

сил,

входящих в каждую систему.

Рекомендация.

Обратить

внимание

на

направление векторов.

Контрольные вопросы и задания

1. По изображенным многоугольникам сил (рис. 2.7) решите, сколько сил входит в каждую

систему и какая из них уравновешена. (Обратить внимание на направление векторов.)

2. Из представленных силовых треугольников выберете треугольник, построенный для точки А

(рис. 2.8, 2.9).

Шар подвешен на нити и находится в равновесии. Обратить внимание на направление реакции

от гладкой опоры и условие равновесия шара (рис. 2.8).

8

Груз

F

подвешен на канате и находится в равновесии. Обратить внимание на реакции,

приложенные к точке А. Силы, не приложенные к точке А, не рассматриваются. Не забывать об

условии равновесия системы сил (рис. 2.9).

Определение равнодействующей аналитическим способом

Проекция силы на ось.

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами,

опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между

вектором силы и положительным направлением оси. Таким образом, проекция имеет знак:

положительный при одинаковом направлении

вектора силы и оси и

отрицательный при

направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

F

1x

= F

1

cos α

1

> 0; F

2x

= F

2

cos α

2

= - F

2

cos β

2

;

cos α

2

= cos (180° — β

2

) = — cos β

2

F

3x

= F

3

cos90° = 0; F

4x

= F

4

cos180° = - F

4

.

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов

системы сил. Определяем равнодействующую геометрическим способом.

9

Рис. 3.4

Выберем систему координат, определим пропорции всех заданных векторов на эти оси (рис.

3.4, а).

Складываем проекции всех векторов на оси х и у (рис. 3.4, б).

Модуль (величину) равнодействующей можно найти по известным проекциям:

Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов

углов, образуемых равнодействующей с осями координат (рис. 3.5).

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме

Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим:

Условия равновесия в аналитической форме можно сформулировать следующим

образом:

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма

проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.

Система уравнений равновесия плоской сходящейся системы сил:

10

В задачах координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым.

Желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите выражение для расчета проекции силы F на ось Оу (рис.

3.9).

2. Определите сумму проекций сил системы на ось Ох (рис. 3.10).

Определите величину силы по известным проекциям:

F

x

= 3 кН; F

y

= 4 кН.

Груз находится в равновесии (рис. 3.11). Какая система уравнений

равновесия для шарнира А записана верно?

2. Пара сил и момент силы относительно точки

Пара сил, момент пары сил

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направ-

ленных в разные стороны.

Рассмотрим систему сил (F, F

1

), образующих пару.

Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом.

Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, т. к. они приложены к двум точкам (рис.

4.1). Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействующей).

Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между

линиями действия сил (плечо пары).

11

Момент считают положительным, если пара вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.1

б): M(F; F') = Fa; М > 0.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется

плоскостью

действия пары.

Свойства пар (без доказательств):

Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.

Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых равны, (рис. 4.2) эквивалентны (действие их

на тело аналогично).

Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой.

Момент

равнодействующей

пары

равен

алгебраической

сумме

моментов

пар,

составляющих систему (рис. 4.3):

Равновесие пар.

Для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов

пар системы равнялась нулю:

Момент силы относительно точки

Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вращение тела

относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом.

Момент силы

относительно точки численно равен произведению

модуля силы на расстояние от точки до линий действия силы.

Перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (рис.

4.4), называется плечом силы.

Обозначение момента Mo(F) или m

О

(F);

M

О(

F) = Fa.

Единица измерения [m

О

(F)] = Н*м.

Момент считается положительным, если сила разворачивает тело

по часовой стрелке.

Примечание. В разных учебных пособиях знак момента назначается по-разному.

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через точку,

т. к. в этом случае расстояние от точки до силы равно нулю.

Контрольные вопросы и задания

12

1.

Какие силы из системы сил (рис. 4.8) образуют пары?

F

1

=F

2

= F

4

; F

3

= F

6

; F

5

= 0,9F

6

.

Определите момент изображенной на рис. 4.9 пары сил. \F\ = \F'\ = 5кН.

2.

Какие из изображенных пар (рис. 4.10) эквивалентны, если

F

1

=

F2 = 8 кН; F3 = 6,4 кН; а

1

= 2 м; а

2

= 2,5 м?

3.

Какую силу

необходимо приложить в точке с (рис. 4.11), чтобы алгебраическая сумма моментов

относительно точки О была равна нулю?

OA = АВ = ВС = 5 м; F

1

= 7,8кН; F

2

= 3 кН.

3.Плоская система произвольно расположенных сил

Теорема Пуансо о параллельном переносе сил

Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару

сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена

сила.

13

Дано: сила в точке А (рис. 5.1).

Добавим в точке В уравновешенную систему сил (F

1

; F"). Образуется пара сил (F

1

, F").

Получим силу в точке В и момент пары т.

Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил

Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для

оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы

переносят в одну произвольно выбранную точку — точку приведения. Применяют теорему

Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару

сил.

Появившиеся при переносе пары называют присоединенными парами.

Дана плоская система произвольно расположенных сил (рис. 5.2).

Переносим все силы в точку О. Получим пучок сил в точке О, который можно заменить

одной силой — главным вектором системы.

Образующуюся систему пар сил можно заменить одной эквивалентной парой — главным

моментом системы.

Главный вектор равен геометрической сумме векторов произвольной плоской системы

сил. Проецируем все силы системы на оси координат и, сложив соответствующие проекции на

оси, получим проекции главного вектора.

По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного

вектора:

Главный момент системы сил равен алгебраической сумме моментов сил системы

относительно точки приведения.

Таким образом, произвольная плоская система сил приводится к одной силе (главному

вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).

14

Влияние точки приведения

Точка приведения выбрана произвольно. При изменении положения точки приведения

величина главного вектора не изменится.

Величина главного момента при переносе точки приведения изменится, т. к. меняются

расстояния от векторов-сил до новой точки приведения.

С помощью теоремы Вариньона о моменте равнодействующей можно определить точку на

плоскости, относительно которой главный момент равен нулю.

Тогда произвольная плоская система сил может быть заменена одной силой. Эту силу

называют равнодействующей системы сил.

Численно равнодействующая равна главному вектору системы сил, но приложена в

другой точке, относительно которой главный момент равен нулю. Равнодействующую принято

обозначать F

∑

.

Численно ее значение определяется так же, как главный вектор системы сил:

Точку приложения равнодействующей можно определить по формуле

где d — расстояние от выбранной точки приведения до точки приложения равнодействующей;

М

гл

— величина главного момента относительно выбранной точки приведения;

F

rn

— величина главного вектора системы сил.

Частные случаи приведения системы сил к точке

При приведении системы сил к точке возможны следующие варианты:

Условие равновесия произвольной плоской системы сил

1. При равновесии главный вектор системы равен нулю (Fгл = 0).

Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

где Fk

x

и Fk

y

— проекции векторов на оси координат.

2. Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма

моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:

15

где А и В — разные точки приведения.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано

следующим образом:

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил

находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций

всех сил системы на любую ось

относительно любой точки в плоскости действия сил

равнялась нулю.

Получим основную форму уравнения равновесия:

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но

практически доказано, что на плоскости можно составить только три независимых уравнения

моментов и при этом три точки (центры моментов) не должны лежать на одной линии.

Таким образом, имеем пять независимых уравнений равновесия.

Практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом

конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.

Для разных случаев используются три группы уравнений равновесия.

Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только

два уравнения равновесия:

Ось Ох системы координат параллельна линии действия сил.

Контрольные вопросы и задания

1. Чему равен главный вектор системы сил?

2. Чему равен главный момент системы сил при приведении ее к точке?

3. Чем отличается главный вектор от равнодействующей плоской системы произвольно

расположенных сил?

Выбрать из предложенных ответов:

величиной;

направлением;

величиной и направлением;

точкой приложения;

16

ничем.

4. Тело движется равномерно и прямолинейно (равновесие). Чему равны главный вектор и

главный момент системы?

5. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Чему равны главный вектор и главный момент

действующей на него системы сил?

6. Найдите главный вектор и главный момент системы сил, если центр приведения находится в

точке А (рис. 5.6).

7. Какое еще уравнение равновесия нужно составить, чтобы убедиться в том, что система сил

(рис. 5.7) находится в равновесии?

4.

Пространственная система сил

Пространственная система сил — система сил, линии действия которых не лежат в одной

плоскости.

Момент силы относительно оси

Момент

силы

относительно

оси

равен

моменту

проекции

силы

на

плоскость,

перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1, а).

а — расстояние от оси до проекции

np F — проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси ОО.

17

Момент считаем положительным, если сила разворачивает тело по часовой стрелке.

Смотреть со стороны положительного направления оси.

Если линия действия силы пересекает ось или линия действия силы параллельна оси,

моменты силы относительно этой оси равны нулю (рис. 7.1, б).

Силы и ось лежат в одной плоскости, они не смогут повернуть тело вокруг этой оси.

Пространственная сходящаяся система сил

Вектор в пространстве

В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно

перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра

прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю

(рис. 7.2).

Модуль вектора может быть получен из зависимости

где

α

х

, α

у

, α

z

— углы между вектором F и осями координат.

Пространственная сходящаяся система сил

Пространственная сходящаяся система сил — система сил, не лежащих в одной плоскости,

линии действия которых пересекаются в одной точке.

Равнодействующую

пространственной

системы

сил

можно

определить,

построив

пространственный многоугольник (рис. 7.3),

Доказано, что равнодействующая системы сходящихся сил приложена в точке

пересечения линий действия сил системы.

Модуль

равнодействующей

пространственной

системы

сходящихся

сил

можно

определить аналитически, использовав метод проекций.

Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий действия сил системы.

Проецируем все силы на оси координат и суммируем соответствующие проекции (рис. 7.4).

Получим проекции равнодействующей на оси координат:

18

Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формуле

Направление вектора равнодействующей определяется углами

Произвольная пространственная система сил

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О.

Дана пространственная система сил (рис. 7.5, а). Приведем ее к центру О.

Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент

каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.

В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой

(главный вектор) F

ГЛ

(рис. 7.5, б).

Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы М

гл

(главный момент).

Таким образом, произвольная

пространственная

система

сил приводится к главному

вектору и главному моменту.

Главный

вектор

принято

раскладывать

на

три

составляющие, направленные

вдоль осей координат (рис.

7.5, в).

Обычно суммарный момент

раскладывают

на

составляющие: три момента

относительно

осей

координат.

Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.5б) равно

Абсолютное значение главного момента определяется по формуле .

Уравнения равновесия пространственной системы сил

При равновесии F

гл

= 0; М

гл

= 0. Получаем шесть уравнений равновесия:

19

Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил соответствуют шести

независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль

координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.

Контрольные вопросы и задания

1.

Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся

сил.

2.

Запишите формулу для расчета главного вектора пространственной системы произвольно

расположенных сил.

3.

Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил.

4.

Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил.

5.

Какое из уравнений равновесия нужно использовать для определения реакции стержня R

1

(рис. 7.8)?

6. Определите главный момент системы сил (рис. 7.9). Точка приведения — начало координат.

Координатные оси совпадают с ребрами куба, ребро куба равно 20 см; F

1

— 20кН; F

2

— 30кН.

7. Определите реакцию Хв (рис. 7.10). Вертикальная ось со шкивом нагружена двумя

горизонтальными силами. Силы F

1

и F

2

параллельны оси Ох. АО = 0,3 м; ОВ = 0,5 м; F

1

= 2кН;

F

2

= 3,5 кН.

5. Центр тяжести

Сила тяжести

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, распределенных по

всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют

систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли (рис. 8.1). Поскольку радиус

Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать

параллельными.

Точка приложения силы тяжести

Если в формулах координат центра параллельных сил модули сил F

к

заменим модулями

сил тяжести G

h

, то получим формулы координат центра тяжести тела:

Эти формулы используют лишь в тех случаях, когда требуется определить положение

центра тяжести неоднородного тела или неизменяемой системы тел из различных материалов.

Обычно определяют положения центров тяжести однородных тел и тогда из формул следуют

три их разновидности.

20

Если тело имеет вид пространственной фигуры, составленной из однородных тонких

прутков (т. е. имеет вид решетки или каркаса), то сила тяжести любого прямолинейного или

криволинейного участка фигуры

G

h

= l

h

q,

где q — постоянная для всей фигуры сила тяжести единицы длины материала (интенсивность

силы тяжести по длине материала фигуры). После подстановки в формулы вместо G

к

его

значения l

h

q постоянный множитель q в каждом слагаемом числителя и знаменателя вынесем за

знак суммы (за скобки) и сократим. В результате получим формулы координат центров тяжести

фигур в виде решетки (каркаса):

где x

k

, y

k

, z

к

— координаты центров тяжести отдельных участков фигуры длиной l

к

.

Если тело имеет вид фигуры, составленной из плоских или изогнутых тонких

однородных пластин, то сила тяжести каждого участка такой фигуры

G

h

=A

k

p,

где A

k

— площадь участка, р — сила тяжести единицы площади фигуры (интенсивность силы

тяжести по площади фигуры). Подставив в формулу вместо G

k

его значение A

h

q, получим

формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:

где x

k

, y

k

, z

к

— центры тяжести отдельных участков фигуры площадью А.

Аналогичные формулы получим и для тел, составленных из объемов, если в формулах

заменим G

h

=

V

h

d, где V

h

— объемы участков тела, силы тяжести которых G

к

, d — постоянная

для всего тела сила тяжести единицы объема (интенсивность силы тяжести по объему тела или,

иначе, объемная сила тяжести):

Здесь x

h

, y

k

, z

k

— координаты центров тяжести участков тела с объемами V

k

. Для плоских фигур

из трех формул используют две. Для плоской фигуры, составленной из линий, прутков,

Для плоской фигуры, составленной из площадей,

При решении задач механики используют чаще последние формулы.

Числители в этих формулах, равные алгебраическим суммам произведений площадей

частей плоской фигуры на расстояния их центров тяжести до соответствующей оси,

называют статическими моментами плоской фигуры относительно осей.

Следовательно, ΣA

к

x

к

— статический момент плоской фигуры относительно оси у, ΣA

к

у

к

— статический момент плоской фигуры относительно оси х.

Обозначив статические моменты соответственно S

y

, S

x

и приняв во внимание, что ΣА

к

= А —

площади всей плоской фигуры, последние две формулы примут вид

Отсюда

т. е.

статический момент плоской фигуры относительно оси абсцисс равен

произведению площади фигуры на ординату ее центра тяжести, а статический момент

относительно оси ординат — произведению площади фигуры на абсциссу ее центра тяжести.

21

Статический момент плоской фигуры выражается в м

3

, см

3

или в мм

3

.

Пример.

Определить

статические

моменты

прямоугольника со сторонами в = 20 см и h = 14 см

относительно осей х и у (рис. 1.85, а).

Решение

S

x

= Ay

с

= 20 * 14 * 7 = 1960 см

3

,

S

y

= Ax

c

= 20 * 14 * 10 = 2800 см

3

, так как центр

тяжести С прямоугольника лежит на пересечении его

диагоналей и имеет координаты х

с

= b/2 = 10 см и y

c

=

h/2 = 7 см.

Из равенства

следует важное свойство статического момента:

статический момент плоской фигуры относительно центральной оси равен нулю.

Действительно, если в примере начало осей координат поместить в точке С (рис. 1.85, б),

то при любом положении осей х и у каждая из них будет центральной и в этом случае х

с

=0,

у

с

=0. Значит, S

x

= 0, S

y

= 0.

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по

известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г)

— полукруг).

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр

тяжести

стержня

находится

на

середине

высоты.

При

решении

задач

используются следующие методы:



метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;



метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение

центров тяжести которых легко определить;



метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения

с отрицательной площадью.

Контрольные вопросы и задания

22

1.

Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за

систему параллельных сил?

2.

Запишите формулы для определения положения центра тяжести неоднородных и

однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

3.

Повторите

формулы

для

определения

положения

центра

тяжести

простых

геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга.

4.Что называют статическим моментом

площади?

Вычислите статический момент данной

фигуры относительно оси Ox. h = 30

см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).

5.Определите

координаты

центра

тяжести заштрихованной фигуры (рис.

8.7). Размеры даны в мм.

6.Определите координату у фигуры 1

составного сечения (рис. 8.8).

При

решении

воспользоваться

справочными данными таблиц ГОСТ

«Сталь

горячекатанная»

(см.

Приложение 1)

Тема 1. 2. Кинематика

1.

Основные понятия кинематики механизмов.

2.

Кинематика точки

3.

Виды движений и преобразующие движения механизмы.

4.

Простейшие движения твердого тела.

5.

Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела

6.

Виды механизмов, их кинематические характеристики.

7.

Механические передачи. Виды и устройство передач.

8.

Основы расчета механических передач

1.Основные понятия кинематики механизмов. Кинематика точки

Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины,

вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания

движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.

Основные кинематические параметры

Траектория.

Линию, которую очерчивает материальная точка при движении в

пространстве, называют траекторией.

Траектория может быть прямой и кривой, плоской и пространственной линией.

Уравнение траектории при плоском движении: у = f(х).

23

Пройденный путь. Путь измеряется вдоль траектории

в направлении движения. Обозначение — S, единицы

измерения — метры.

Уравнение

движения

точки.

Уравнение,

определяющее положение движущейся точки в за-

висимости

от

времени,

называется

уравнением

движения.

Положение точки в каждый момент времени можно

определить

по

расстоянию,

пройденному

вдоль

траектории

от

некоторой

неподвижной

точки,

рассматриваемой как начало отсчета (рис. 9.1). Такой

способ задания движения называется естественным.

Таким

образом,

уравнение

движения

можно

представить в виде S = f(t). Положение точки можно

также определить, если известны ее координаты в

зависимости от времени (рис. 9.2). Тогда в случае

движения на плоскости должны быть заданы два

уравнения:

В случае пространственного движения добавляется и третья координата

z = fз(t)

Такой способ задания движения называют координатным.

Скорость движения. Векторная величина, характеризующая

в данный момент быстроту и направление движения по

траектории, называется скоростью.

Скорость — вектор, в любой момент времени направленный

по

касательной

к

траектории

в

сторону

направления

движения (рис. 9.3).

Если точка за равные промежутки времени проходит равные

расстояния, то движение называют равномерным.

Средняя скорость на пути AS определяется как

где ΔS — пройденный путь за время Δt; Δt — промежуток времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют

неравномерным.

В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени v = f(t).

При рассмотрении малых промежутков времени (Δt → 0) средняя скорость становится

равной истинной скорости движения в данный момент. Поэтому скорость в данный момент

определяют как

производную пути по времени:

За единицу скорости принимают 1 м/с. Иногда скорость измеряют в км/ч, 1км/ч =

0,278м/с.

Ускорение точки. Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по

величине и направлению, называется ускорением точки.

24

Скорость точки при перемещении из точки М

1

в точку М

2

меняется по величине и

направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток

времени

При рассмотрении бесконечно малого промежутка времени среднее

ускорение превратится в ускорение в данный момент:

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпен-

дикулярные составляющие ускорения: нормальное и касательное

(рис. 9.5).

Нормальное ускорение

а

п

характеризует изменение скорости по

направлению и определяется как

где г — радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно

скорости к центру дуги.

Касательное ускорение a

t

характеризует изменение скорости по

величине и всегда направлено по касательной к траектории; при

ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а

при замедлении оно направлено противоположно направлению век-

тора скорости.

Формула для определения касательного ускорения имеет вид:

Значение полного ускорения определяется как а

t

= dV/dt = v

1

=

S’’

(рис. 9.6).

Кинематика точки.

Равномерное движение

Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью:

v — const.

Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1а)

Полное ускорение движения точки равно нулю: а = 0.

При криволинейном равномерном движении (рис. 10.16)

Полное ускорение равно нормальному ускорению: а = а

п

.

Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении можно получить, проделав ряд

несложных операций.

Так как v = const, закон равномерного движения в общем виде является уравнением

прямой:

25

S = So+vt,

где So — путь, пройденный до начала отсчета.

Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — это движение с постоянным касательным ускорением:

a

t

= const.

Для прямолинейного равнопеременного движения

Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение

(рис. 10.2):

Учитывая,

что

и

сделав ряд преобразований:

получим значение скорости при равнопеременном движении

После интегрирования будем иметь закон равнопеременного движения в общем виде,

представляющий уравнение параболы:

где v

0

— начальная скорость движения;

So — путь, пройденный до начала отсчета;

a

t

— постоянное касательное ускорение.

Неравномерное движение

При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются.

Уравнение неравномерного движения в общем виде представляет собой уравнение третьей S =

f(t

3

) и выше степени.

Кинематические графики

Кинематические

графики

—

это

графики изменения пути, скорости и

ускорений

в

зависимости

от

времени.

Равномерное движение (рис. 10.3)

Равнопеременное

движение

(рис.

10.4)

26

Контрольные вопросы и задания

1.

Запишите формулу ускорения при прямолинейном движении.

2.

Запишите формулу ускорения (полного) при криволинейном движении.

3.

Тело скатывается по желобу (рис. 10.7). Какие параметры

движения меняются при переходе через точку В и почему?

Ответы:

а

п

.

a

t

.

v.

Параметры движения не меняются.

4.По заданному уравнению движения точки

S

= 25 + 1,5t

+ 6t

2

определите вид движения и без расчетов, используя законы движения

точки, ответьте, чему равны начальная скорость и ускорение.

5.По заданному уравнению движения точки S = 22t — 4t

2

постройте графики скорости и

касательного ускорения.

6.По графику скоростей точки определите путь, пройденный за время движения (рис. 10.8).

7.Точка движется по дуге. Охарактеризуй движение точки (рис. 10.9).

8.Запишите в общем виде закон движения в естественной и координатной форме.

9.Что называют траекторией движения?

10.Как определяется скорость движения точки при естественном способе задания движения?

11.Запишите формулы для определения касательного, нормального и полного ускорений.

12.Что характеризует касательное ускорение и как оно направлено по отношению к вектору

скорости?

13.Что характеризует и как направлено нормальное ускорение

2.Простейшие

движения

твердого тела.

Виды

движений

и преобразующие

движения механизмы.

Простейшие движения твердого тела

Поступательное движение

Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая

линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению (рис. 11.1,

11.2).

27

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково: скорости и

ускорения в каждый момент одинаковы. Поэтому для описания движения тела можно

рассматривать движение одной его точки, обычно центра масс.

Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Вращательное движение

При вращательном движении все точки тела описывают окружности вокруг общей

неподвижной оси.

Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.

При этом каждая точка движется по окружности, радиус которой равен расстоянию точки до

оси вращения. Точки на оси вращения не перемещаются.

Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной

оси можно использовать только угловые параметры (рис. 11.3):

φ — угол поворота тела, [φ] = рад;

ω

— угловая скорость, определяет изменение угла поворота в

единицу времени, [ω] = рад/с.

Для определения положения тела в любой момент времени

используется уравнение φ = f(t).

Следовательно,

для

определения

угловой

скорости

можно

пользоваться выражением

ω = dφ/dt.

Иногда для оценки быстроты вращения используют угловую частоту

вращения п, которая оценивается в оборотах в минуту.

Угловая скорость и частота вращения физически близкие величины:

Изменение угловой скорости во времени определяется угловым ускорением ε, [ε] = рад/с

2

;

Частные случаи вращательного движения

Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):

ω = const.

Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае имеет вид:

φ = φ

0

+ ωt.

где φ

0

– угол поворота до начала отсчёта.

Кинематические графики для этого вида движения изображены на рис. 11.4.

28

Равнопеременное вращение (угловое ускорение постоянно):

ε = const.

Уравнение (закон) равнопеременного вращения

где ω

0

— начальная угловая скорость.

Угловое ускорение при ускоренном движении — величина положительная, угловая

скорость будет все время возрастать.

Угловое ускорение при замедленном движении — величина отрицательная; угловая

скорость убывает.

Для данного движения кинематические графики представлены на рис. 11.5.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Тело

вращается

вокруг

точки

О.

Определим

параметры

движения

точки

А,

расположенной на расстоянии r

а

от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).

Путь точки A: S

A

= ωr

А

Линейная скорость точки A: v

A

= ωr

А

Ускорения точки A: a

tA

= εr

А

— касательное;

а

пA

= ω

2

r

А

— нормальное, где r

А

— радиус окружности,

траектории точки А.

Контрольные вопросы и задания

1.

Какими кинематическими параметрами характеризуется поступательное движение и

почему?

2.

Запишите уравнение равномерного поступательного движения твердого тела.

3.

Запишите уравнение равнопеременного поступательного движения твердого тела.

4.

Запишите уравнения равномерного и равнопеременного вращательного движений

твердого тела.

5.

Задано уравнение движения тела S = f(t). Как определяют скорость и ускорение?

6.

Для заданного закона (уравнения) движения

φ = 6,28 + 12t + 3t

2

выберите соответствующий кинематический график движения (рис. 11.11).

29

7. Для движения, закон которого задан в вопросе 6, определите угловое ускорение в момент t =

5 с.

3.Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела

Основные определения

Сложным движением считают движение, которое можно разложить на несколько простых.

Простыми движениями считают



поступательное и



вращательное.

Для рассмотрения сложного движения точки выбирают две системы отсчета:



подвижную и



неподвижную.

Движение точки (тела) относительно неподвижной системы отсчета называют сложным,

или абсолютным.

Подвижную систему отсчета обычно связывают с движущимся телом. Движение подвижной

системы отсчета относительно неподвижной называют переносным.

Движение материальной точки (тела) по отношению к подвижной системе называют

относительным.

Примером может служить движение человека по эскалатору метро. Движение эскалатора —

переносное движение, движение человека вниз или вверх по эскалатору — относительное, а

движение по отношению к неподвижным стенам станции — сложное (абсолютное) движение.

При решении задач используют теорему о сложении скоростей:

При сложном движении точки абсолютная скорость в каждый момент времени равна

геометрической сумме переносной (v

e

) и относительной (v

r

) скоростей:

α — угол между векторами v

e

и v

r

.

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллелъным,

или

плоским, называется такое движение

твердого тела, при котором все точки тела перемещаются

параллельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе

отсчета плоскости.

Плоскопараллельное движение можно изучать, рассматривая любое

плоское

сечение

тела,

параллельное

неподвижной

плоскости,

называемой основной (рис. 12.1).

Все точки тела, расположенные на прямой, перпендикулярной к

основной плоскости, движутся одинаково.

Плоскопараллельное движение изучается двумя методами: методом

разложения сложного движения на поступательное и вращательное

и методом мгновенных центров скоростей.

30

Метод разложения сложного движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе

с некоторым полюсом и вращательное относительно этого полюса.

Разложение используют для определения скорости любой точки тела, применяя теорему

о сложении скоростей (рис. 12.2).

Точка А движется вместе с точкой В, а затем поворачивается вокруг В с угловой

скоростью и, тогда абсолютная скорость точки А будет равна

v

A

= v

B

+ v

AB

, v

AB

= ωr (r = АВ).

Примером

плоскопараллельного

движения

может

быть

движение

колеса

на

прямолинейном участке дороги (рис. 12.3).

Скорость точки М

v

M

= v

e

+ v

r

,

v

e

— скорость центра колеса переносная; v

r

— скорость вокруг

центра относительная.

уОх — неподвижная система координат,

y

1

0

1

x

1

— подвижная система координат, связанная с осью

колеса.

Метод определения мгновенного центра скоростей

Скорость любой точки тела

можно определять с помощью мгновенного центра

скоростей. При этом сложное движение представляют в виде цепи вращений вокруг разных

центров.

Задача сводится к определению положения мгновенного

центра вращений (скоростей) (рис. 12.4).

Мгновенным центром скоростей (МЦС) является точка

на плоскости, абсолютная скорость которой в данный момент

равна нулю.

Вокруг этой точки тело совершает поворот со скоростью ω.

Скорость точки А в данный момент равна

v

A

= ωOA,

т.к. v

A

— линейная скорость точки А, вращающейся вокруг МЦС.

Существуют

три

способа

определения

положения

мгновенного центра скоростей.

Первый способ. Известна скорость одной точки тела v

A

и угловая скорость вращения тела

ω (рис. 12.5).

Точку О находим на перпендикуляре к вектору скорости v

A

:

AO = v

A

/ω

Соединяем точку О с точкой B, замеряем расстояние ОВ.

31

v

B

┴ ОВ, v

B

= ωОВ.

Второй способ. Известны скорости двух точек тела va и vb, и они не параллельны (рис.

12.6).

Проводим из точек А и В два перпендикуляра к известным векторам скоростей.

На пересечении перпендикуляров находим МЦС. Далее можно найти скорость любой точки С

v

C

/v

B

= OC/OB

Третий способ. Известны скорости двух точек тела, и они параллельны (va\\v

b

) (рис.

12.7).

Соединяем концы векторов, МЦС находится на пересечении линии, соединяющей концы

векторов с линией АВ (рис. 12.7). При поступательном движении тела (рис. 12.7в) МЦС

отсутствует.

Контрольные вопросы и задания

1.

Какое движение называют сложным?

2.

Какие движения твердого тела называют простыми?

3.

Какие системы координат выбирают при определении скоростей твердых тел при

сложном движении?

4.

Какое движение считают переносным, а какое — относительным?

5.

Сформулируйте теорему сложения скоростей.

6.

Какое движение называют плоским?

7.

Какие

способы

применяют

для

определения

скоростей

точек

тела

при

плоскопараллельном движении?

8.

Что такое мгновенный центр скоростей, как его определяют и для чего используют?

9.

Ответьте на вопросы тестового задания.

4.Виды механизмов, их кинематические характеристики. Механические передачи.

Виды и устройство передач. Основы расчета механических передач

Виды механизмов, их кинематические характеристики.

32

Механизмы, входящие в состав машины, весьма разнообразны. Одни из них

представляют собой сочетание только твердых тел, другие имеют в своем составе

гидравлические, пневматические тела или электрические, магнитные и другие устройства.

Соответственно

такие

механизмы

называются

гидравлическими,

пневматическими,

электрическими и т.д. С точки зрения их функционального назначения механизмы обычно

делятся на следующие виды:

- механизмы двигателей и преобразователей

- передаточные механизмы

- исполнительные механизмы

- механизмы управления, контроля и регулирования

- механизмы подачи, транспортировки, питания и сортировки обрабатываемых сред и объектов

- механизмы автоматического счета, взвешивания и упаковки готовой продукции.

Механизмы двигателей

осуществляют преобразование различных видов энергии в

механическую работу (например, механизмы двигателей внутреннего сгорания, паровых

машин, электродвигателей, турбин и др.).

Механизмы

преобразователей

(генераторов)

осуществляют

преобразование

механической работы в другие виды энергии (например, механизмы насосов, компрессоров,

гидроприводов и др.).

Передаточный механизм (привод) имеет своей задачей передачу движения от двигателя

к технологической машине или исполнительному механизму, преобразуя это движение в

необходимое для работы данной технологической машины или исполнительного механизма.

Исполнительный механизм – это механизм, который непосредственно воздействует на

обрабатываемую среду или объект. В его задачу входит изменение формы, состояния,

положения

и

свойств

обрабатываемой

среды

или

объекта

(например,

механизмы

металлообрабатывающих станков, прессов, конвейеров, прокатных станов, экскаваторов,

грузоподъемных машин и др.).

Механизмами управления, контроля и регулирования называются различные механизмы

и устройства для обеспечения и контроля размеров обрабатываемых объектов (например

измерительные механизмы по контролю размеров, давления, уровней жидкости; регуляторы,

реагирующие на отклонение угловой скорости главного вала машины и устанавливающие

заданную скорость этого вала; механизм, регулирующий постоянство расстояния между

валками прокатного стана, и т.д.).

К механизмам подачи транспортировки, питания и сортировки обрабатываемых сред и

объектов относятся механизмы винтовых шнеков, скребковых и ковшевых элеваторов для

транспортировки и подачи сыпучих материалов, механизмы загрузочных бункеров для

штучных

заготовок,

механизмы

сортировки

готовой

продукции

по

размерам,

весу,

конфигурации и т.д.

Механизмы автоматического счета, взвешивания и упаковки готовой продукции

применяются во многих машинах, в основном выпускающих массовую штучную продукцию.

Надо иметь в виду, что эти механизмы могут быть и исполнительными механизмами, если они

входят в специальные машины, предназначенные для этих целей.

Данная классификация показывает лишь многообразие функционального применения

механизмов, которая может быть еще значительно расширена. Однако для выполнения

различных

функций

часто

применяются

механизмы,

имеющие

одинаковое

строение,

кинематику и динамику. Поэтому для изучения в теории механизмов и машин выделяются

механизмы, имеющие общие методы их синтеза и анализа работы, независимо от их

функционального предназначения. С этой точки зрения выделяются следующие виды

механизмов:

- механизмы с низшими парами (рычажные механизмы)

- кулачковые механизмы

- зубчатые механизмы

33

- фрикционные механизмы

- механизмы с гибкими связями

- механизмы с деформируемыми звеньями (волновые передачи)

- гидравлические и пневматические механизмы.

В пределах данного небольшого курса в основном рассматриваются общие вопросы

анализа и синтеза рычажных, зубчатых и кулачковых механизмов. Частично рассматриваются

вопросы, связанные с выбором пневмо- и гидропривода.

Механические передачи

Механическая

передача

–

механизм,

превращающий

кинематические

(n)

и

энергетические параметры (P) двигателя в необходимые параметры движения рабочих органов

машин и предназначенный для согласования режима работы двигателя с режимом работы

исполнительных органов.

Двигатели работают в узком диапазоне частот вращения и моментов, рабочие машины -

в широком.

Типы механических передач.



зубчатые передачи (цилиндрические, конические),



винтовые (винтовые, червячные, гипоидные),



с гибкими элементами (ременные, цепные),



фрикционные (за счет трения, применяются при плохих условиях работы).

По способу передачи движения:



движение с вала на вал передается за счет сил трения (фрикционные, ременные,

червячные),



движение передается зацеплением (зубчатые, цепные, винтовые, с зубчатыми ремнями,

червячные).

Основные и производные параметры механические передач

Независимо от типа и конструкции в любой механической передаче можно выделить два

вала, называемые в направлении передачи мощности входным (ведущим) и выходным

(ведомым)

Основные параметры – параметры входного и выходного валов – мощность P (кВт) и

частота вращения n (мин-1).

Производные параметры:



передаточное число



коэффициент полезного действия



угловая скорость вращения вала, рад/с



крутящий момент, Н•м

В зависимости от соотношения параметров входного и выходного валов передачи делятся:



на редукторы (понижающие передачи) – от входного вала к выходному уменьшают

частоту вращения (n1 > n2) и увеличивают крутящий момент (Т1 < Т2);



на мультипликаторы (повышающие передачи) – от входного вала к выходному

увеличивают частоту вращения (n1 < n2) и уменьшают крутящий момент (Т1 > Т2).

Зубчатые передачи.

Преимущества:



Компактность.



Возможность передавать большие мощности (до 1000 квт).



Наибольшие скорости вращения (до 30 м/с).



Постоянство передаточного отношения.



Наибольший ККД (0,98..0,99 в одной ступени).

Недостатки:

34



сложность передачи движения на значительные расстояния;



жесткость передачи;



шум во время работы;



необходимость в смазке.



Классификация.

По расположению валов:



с параллельными осями (цилиндрические с внутренним и внешним зацеплениям),



с пересекающимися осями (конические),



с перекрестными осями (винту, гипоидные, червячные, колесо-рельс).

Пары зубчатых колес образовывают степень (модуль одинаковый для обеих колес).

Ведущее колесо – шестерня 1.

Ведомое – колесо 2

Для ЗП характерное значение передаточного числа u в одной ступени. Поэтому для

реализации больших передаточных чисел чаще всего используют многоступенчатые зубчатые

редукторы. Они размещаются в отдельном корпусе и выполняются как самостоятельные

изделия. Серийное изготовление на заводах разрешает получать широкую номенклатуру

редукторов, которые применяются в поводах общего машиностроительного назначения.

Цилиндрические передачи

Цилиндрические зубчатые колеса бывают с внешним и внутренним зацеплением. В

зависимости от угла наклона зубьев выполняют прямозубые и косозубые колеса. Косозубые

цилиндрические передачи нарезаются тем же режущим инструментом, на тех же станках, по

такой же технологии, что и прямозубые. При этом заготовку поворачивают на угол, поэтому

зубья располагаются не по образующей делительного цилиндра, а под углом к ней.

С увеличением угла β повышается прочность косозубых передач. Вследствие наклона

зубьев, получается как-бы колесо больших размеров, или при той же нагрузке уменьшаются

габариты

передачи.

Поэтому

в

современных

передачах

косозубые

колеса

получили

преобладающее распространение.

В отличие от прямых, в которых нагрузка на зубья прикладывается мгновенно, косые

зубья входят у зацепление не сразу по всей длине, а постепенно. Косозубое колесо не имеет

зоны однопарного зацепления. Это определяет плавность работы косозубого зацепления,

снижение шума и дополнительных динамических нагрузок по сравнению с прямозубым

зацеплением.

Однако, в косозубых передачах появляется дополнительная осевая сила, направленная

вдоль оси вала и создающая дополнительную нагрузку на опоры. Для уменьшения этой силы

ограничивают угол наклона

8...20

0

, применяют редукторы с раздвоенной ступенью. Этот

недостаток исключен в шевронной передаче.

Конические передачи

Конические зубчатые передачи применяют в тех случаях, когда оси валов пересекаются

под некоторым углом, чаще всего 90

0

.

Конические передачи более сложны в изготовлении и монтаже, чем цилиндрические,

вследствие следующих причин:

Для нарезания конических колес требуются специальные станки.

Необходимо выдерживать допуски на углы при вершинах конусов.

При монтаже нужно обеспечивать совпадение вершин конусов.

Сложнее выполнять колеса той же точности, что и цилиндрические.

Пересечение валов усложняет расположение опор вследствие того, что одно из

конических колес располагается, как правило, консольно.

В коническом зацеплении действуют осевые силы, усложняющие конструкцию опор.

Нагрузочная способность конической прямозубой передачи составляет приблизительно

85% цилиндрической.

Конические передачи получили широкое распространение вследствие того, что из

условия компоновки необходимо располагать валы под углом.

35

Для повышения нагрузочной способности конических колес применяют колеса с непрямыми

зубьями.

На практике наиболее распространены конические колеса с тангенциальными

и

круговыми

зубьями. Тангенциальные зубья направлены по касательной к некоторой

воображаемой окружности радиусом е и составляют с образующей конуса угол 25..30

0

.

Круговые зубья располагаются по дуге окружности а, по которой движется инструмент при

нарезании зубьев.

Червячные передачи

Червячные передачи применяют для передачи движения между перекрещивающимися

осями, угол между которыми, как правило, составляет 900. Движение в червячных передачах

передается по принципу винтовой пары или по принципу наклоненной плоскости.

Преимущества:



большие передаточные отношения;



плавность и бесшумность работы;



высокая кинематическая точность;



самоторможение.

Недостатки:



низкий ККД;



износ, заедание;



использование дорогих материалов;



требования к высокой точности сборки.

В червячной передаче, в отличие от зубчатой, окружные скорости на червяке и на

колесе

не совпадают. Они направлены под углом 900 и отличаются по значению. При

относительном движении

начальные цилиндры скользят. Большое скольжение является

причиной снижения ККД, повышенного износа и заедания.

КПД червячной передачи ниже КПД зубчатых передач.

Для снижения износа применяют специальные антифрикционные пары материалов:

червяк – сталь, венец червячного колеса − бронза, реже из латунь или чугун.

Для охлаждения червячных передач увеличивают площадь охлаждения корпуса,

используют вентиляторы или дополнительную систему охлаждения.

Методы изготовления зубчатых колес



копирование,



накатка,



обкатка.

При изготовлении методом копирования используются пальцевая или дисковая

модульная фреза, профиль которой соответствует профилю впадин зубчатого

колеса.

Вращаясь, фреза перемещается в направлении боковой образующей зуба. За каждый шаг фрезы

вдоль оси колеса нарезается одна впадина. После этого колесо поворачивается. Потом процесс

повторяется. Этот метод малопродуктивен и нуждается в большом количестве режущего

инструмента.

К

методам

копирования

также

принадлежат:

отливка,

штампование,

протягивание, строгание.

Метод накатки – зубчатое инструментальное колесо накатывает зубья колеса, материал

которого достаточно эластичный (в холодном или горячем стане). Используется для

мелкомодульных колес

При методе обкатки для нарезания колес используется инструментальная рейка. Преимущество

в том, что одним и тем же инструментом можно изготовить колеса с любым количеством

зубьев общего модуля.

Метод обкатки

(долбяком, рейкой, червячной фрезой) заключается в том, что

режущему инструменту и заготовке придается то относительное движение, которое имели бы

зубчатые колеса, находясь в зацеплении.

36

Если при изготовлении зубчатого колеса средняя (делительная) линия режущего

инструмента касается делительной окружности заготовки колеса, то нарезаются колеса без

смещения. Если средняя линия рейки смещается относительно центра заготовки нарезаются

колеса со смещением (положительное (от центра) - увеличиваются размеры колеса, толщина

зубца, зуб упрочняется; отрицательное (к центру) - используется для уменьшения межосевого

расстояния, уменьшения габаритов, при этом возможно подрезание зубьев).

Передачи с гибкими звеньями

Для передачи движения между сравнительно далеко расположенными друг от друга

валами применяют механизмы, в которых усилие от ведущего звена к ведомому передается с

помощью гибких звеньев. В качестве гибких звеньев применяются: ремни, шнуры, канаты

разных профилей, провод, стальная лента, цепи различных конструкций.

Передачи

с

гибкими

звеньями

могут

обеспечивать

постоянное

и

переменное

передаточное отношения со ступенчатым или плавным изменением его величины.

Для сохранности постоянства натяжения гибких звеньев в механизмах применяются

натяжные

устройства:

натяжные

ролики

и

пружины,

противовесы

и

т.п.

Виды

передач

1 По способу соединения гибкого звена с остальными:



фрикционные;



с непосредственным соединением;



с зацеплением.

2 По взаимному расположению валов и направлению их вращения:



открытые;



перекрестные;



полуперекрестные.

Ременные передачи

Ременная передача состоит из двух шкивов, закрепленных на валах, и ремня,

охватывающего эти шкивы. Нагрузки передается за счет сил трения, возникающих между

шкивами и ремнем вследствие натяжения последнего.

В зависимости от формы поперечного перереза ремня различают передачи:



плоскоременную;



клиноременную;



круглоременную.

Наиболее

широкое

применение

получили

клиноременные

передачи,

вследствие

увеличения

тяговой

способности

вследствие

повышения

зацепление

со

шкивом

(приблизительно в 3 раза). Наибольшее преимущество наблюдается в передачах с зубчатыми

(поликлиновами) ремнями.

Преимущества:



возможность передачи движения на значительные расстояния (до 15 м и более);



плавность и бесшумность работы;



защита механизмов от колебаний нагрузки вследствие упругости ремня;



защита механизмов от перегрузки за счет возможного проскальзывания ремня;



простота конструкции и эксплуатации (передача не требует смазки).

Недостатки:



повышенные габариты (при равных условиях диаметры шкивов в 5 раз больше

диаметров зубчатых колес);



непостоянство передаточного отношения вследствие проскальзывание ремня;



повышенная нагрузка на валы и их опоры, связанное с большим предварительным

натяжением ремня (в 2-3 раза больше, чем у зубчатых передач);



низкая долговечность ремней (1000-5000 часов).

В ременных передачах имеют место два вида скольжения:

37



упругое скольжение, существующее при любой нагрузке;



буксование, возникающее при перегрузке.

Упругое скольжение является причиной непостоянства передаточного отношения и

увеличения затрат на трение.

Критерии трудоспособности и расчета ременных передач:



тяговая способность, обусловленная силой трения между ремнем и шкивом;



долговечность ремня, который ограничивается разрушением ремня от усталости.

Для обеспечения тяговой способности необходимо предварительное натяжение ремня, которое

на практике приводит к снижению долговечности ремня, зависящей также от характера и

частоты цикла изменения напряжений (частоты пробегов ремня).

Цепные передачи

Цепная передача основана на принципе зацепления цепи и звездочек. Цепная передача состоит

из:



ведущей звездочки;



ведомой звездочки;



цепи, которая охватывает звездочки и зацепляется за них зубьями;



натяжных устройств;



смазывающих устройств;



ограждения.

Преимущества по сравнению с ременной передачей:



Большая нагрузочная способность;



Отсутствие скольжения и буксование, обеспечивающее постоянство передаточного

отношения (среднего за оборот) и возможность работы при кратковременных

перегрузках.



Принцип зацепления не требует предварительного натяжения цепи. Цепные передачи

могут работать при меньших межосевых расстояниях и при больших передаточных

отношениях.

Недостатки:



звенья располагаются на звездочке не по окружности, а по многоугольнику. Отсюда:



износ шарниров цепи,



шум и дополнительные динамические нагрузки,



необходимость обеспечения смазки.

Область применения:



при значительных межосевых расстояниях (при скоростях меньше 15-20 м/с, до 25 м/с

применяют пластинчатые цепи (набор пластин с двумя зубообразными выступами,

принцип внутреннего зацепления);



при передаче от одного ведущего вала нескольким ведомым,



когда зубчатые передачи неприменимы и ременные ненадежны.

По сравнению с ременными передачами более шумные, а редукторах применяют

на

тихоходных ступенях.

Типы цепных передач

По типу применяемых цепей:



роликовая,



втулочная (легкая, но большой износ),



роликовтулочная (тяжелая, меньше износ),



зубчатые пластинчатые (плавность работы).

Основной причиной потери работоспособности цепных передач является износ

шарниров цепи. Срок службы цепи увеличивается при увеличении длины цепи, увеличении

числа зубьев ведущей звездочки. Однако, увеличение числа зубьев ведущей звездочки приводи

к повышению вероятности потери зацепления. При уменьшении числа зубьев ведущей

звездочки увеличиваются динамические нагрузки, удары, износ цепи.

38

Тема 1. 4.Динамика

1.

Основные понятия и аксиомы динамики.

2.

Движение материальной точки.

3.

Метод кинетостатики

4.

Работа и мощность. Трение.

5.

Общие теоремы динамики.

6.

Основное уравнение динамики

при поступательном и вращательном движениях

твердого тела.

1.Основные понятия и аксиомы динамики. Движение материальной точки. Метод

кинетостатики.

Содержание и задачи динамики

Динамика — раздел теоретической механики, в котором устанавливается связь между

движением тел и действующими на них силами.

В динамике решают два типа задач:



определяют параметры движения по заданным силам;



определяют силы, действующие на тело, по заданным кинематическим параметрам

движения.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому тело можно

принять за материальную точку.

Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как

материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае

некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный

объект рассматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику материальной системы.

Аксиомы динамики

Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы

динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но

первый и четвертый законы были известны Галилею. Механику, основанную на этих законах,

называют классической механикой.

Первая аксиома (принцип инерции):

Всякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного

и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т. е.

сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.

Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее

считают величиной постоянной. Единица измерения массы — килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики)

Зависимость между силой, действующей на материальную точку, и сообщаемым ею

ускорением следующая:

F = та,

где т — масса точки, кг; а — ускорение точки, м/с

2

.

Ускорение, сообщенное материальной точке силой, пропорционально величине силы и

совпадает с направлением силы.

Основной закон динамики в дифференциальной форме:

39

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного

падения, направленное к центру Земли:

G = тg,

где g = 9,81м/с

2

, ускорение свободного падения.

Третья аксиома (третий закон Ньютона).

Силы взаимодействия двух тел равны по величине и

направлены по одной прямой в разные стороны (рис. 13.1):

Откуда

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.

Четвертая аксиома (закон независимости действия сил).

Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений,

сообщенных точке каждой силой в отдельности (рис. 13.2):

Контрольные вопросы и задания

1.

Что называют массой тела? Назовите единицу измерения массы в системе СИ.

2.

Что является мерой инертности тела?

3.

Запишите основной закон динамики в векторной и дифференциальной форме.

4.

На материальную точку действует постоянная сила. Как движется точка?

5.

Какое ускорение получит точка, если на нее действует сила, равная удвоенной силе

тяжести?

6.

После столкновения двух материальных точек с массами m

1

=

6 кг и m

2

= 24 кг первая точка получила ускорение 1,6 м/с

2

.

Чему равно ускорение, полученное второй точкой?

7.

В чем заключается принцип независимости действия сил?

8.

Перечислите законы трения скольжения.

9.

Перечислите факторы, влияющие на величину коэффициента

трения скольжения.

10. Тело движется по наклонной плоскости вверх (рис. 13.6). Масса тела 10 кг, коэффициент

трения 0,2. Определите возникающую силу трения.

2.Работа и мощность. Трение.

Работа

Для характеристики действия силы на некотором перемещении точки ее приложения вводят

понятие «работа силы».

Работа служит мерой действия силы, работа — скалярная величина.

Работа постоянной силы на прямолинейном пути

Работа силы в общем случае численно равна произведению модуля силы на длину

пройденного пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения

(рис. 15.1):

40

Единицы измерения работы: 1 Дж (джоуль)= 1 Н-м; 1 кДж (килоджоуль) = 103 Дж.

Рассмотрим частные случаи.

Силы, совпадающие с направлением перемещения, называются движущими силами.

Направление вектора силы совпадает с направлением перемещения (рис. 15.2). В этом случае α

= 0° (cos α = 1). Тогда W = FS > 0.

Силы, перпендикулярные направлению перемещения, работы не производят (рис. 15.3).

Сила F перпендикулярна направлению перемещения, α = 90° (cos α = 0); W = 0.

3. Силы, направленные в обратную от направления перемещения сторону, называются силами

сопротивления (рис. 15.4).

Сила F направлена в обратную от перемещения S сторону. В этом случае α = 180° (cos α = — 1),

следовательно, W = — FS < 0.

Движущие силы увеличивают модуль скорости, силы сопротивления уменьшают скорость.

Таким образом, работа может быть положительной и отрицательной в зависимости от

направления силы и скорости.

Работа постоянной силы на криволинейном пути

Пусть точка М движется по дуге окружности и сила F составляет некоторый угол α с

касательной к окружности (рис. 15.5).

Вектор

силы

можно

разложить на две составляющие:

Используя принцип независимости действия сил, определим

работу каждой из составляющих силы отдельно:

Нормальная составляющая силы Fn всегда направлена перпендикулярно перемещению

и, следовательно, работы не производит:

При перемещении по дуге обе составляющие силы разворачиваются вместе с точкой М.

Таким образом, касательная составляющая силы всегда совпадает по направлению с

перемещением.

Будем иметь:

Касательную силу Ft обычно называют окружной силой.

Работа при криволинейном пути — это работа окружной силы:

Произведение окружной силы на радиус называют вращающим моментом:

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента

на угол поворота:

Работа силы тяжести

41

Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты и равна произведению модуля

силы тяжести на вертикальное перемещение точки (рис. 15.6):

где Δh — изменение высоты. При опускании работа положительна, при подъеме отрицательна.

Работа равнодействующей силы

Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М

1

в положение

М

2

(рис. 15.7).

В случае движения под действием системы сил пользуются теоремой о работе

равнодействующей.

Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме

работ системы сил на том же перемещении.

Понятие о трении. Виды трения

Трение

— сопротивление, возникающее при движении одного

шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел

возникает трение скольжения, при качении — трение качения.

Природа сопротивлений движению в разных случаях различна.

Трение скольжения.

Причина — механическое зацепление выступов. Сила сопротивления движению при

скольжении называется силой трения скольжения (рис. 13.3а).

Законы трения скольжения:

1. Сила трения скольжения прямо

пропорциональна

силе

нор-

мального давления:

Fтр = Ff = fR,

где

R

—

сила

нормального

давления,

направлена

перпендикулярно

опорной

поверхности;

f

—

коэффициент

трения

скольжения.

В случае движения тела по наклонной плоскости (рис. 13.3, б)

R = Gcosα,

где α — угол наклона плоскости к горизонту.

Сила трения всегда направлена в сторону, обратную направлению движения.

2.

Сила трения меняется от нуля

до некоторого максимального

значения, называемого силой

трения

покоя

(статическое

трение):

0

< F

f

≤ F

fo

42

F

f0

— статическая сила трения (сила трения покоя).

Сила трения при движении меньше силы трения покоя.

Сила трения при движении называется динамической силой трения (Ff):

F

f

≤ F

fo

Поскольку сила нормального давления, зависящая от веса и направления опорной поверхности,

не меняется, то различают статический и динамический коэффициенты трения:

F

f

= fR; F

f0

= f

0

R.

Коэффициент трения скольжения зависит от следующих факторов:



от материала: материалы делятся на фрикционные (с большим коэффициентом трения) и

антифрикционные (с малым коэффициентом трения), например f = 0,1 – 0,15 (при

скольжении стали по стали всухую), f = 0,2 – 0,3 (при скольжении стали по текстолиту);



от наличия смазки, например f = 0,04 – 0,05 (при скольжении стали по стали со смазкой);



от скорости взаимного перемещения.

Трение качения

Сопротивление при качении связано с взаимной

деформацией грунта и колеса и значительно меньше

трения скольжения.

Обычно

считают

грунт

мягче

колеса,

тогда

в

основном деформируется грунт, и в каждый момент

колесо должно перекатываться через выступ грунта. Для

равномерного качения колеса необходимо прикладывать

силу F

ДВ

(рис. 13.4).

Условие

качения

колеса

состоит

в

том,

что

движущийся момент должен быть не меньше момента

сопротивления:

где k — максимальное значение плеча (половина колеи) принимается за коэффициент трения

качения, размерность — сантиметры.

Ориентировочные значения k (определяются экспериментально): сталь по стали — k —

0,005 см; резиновая шина по шоссе — k = 0,24 см.

.

Коэффициент полезного действия.

Мощность

Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие

мощности.

Мощность — работа, выполненная в единицу времени:

Единицы измерения мощности: ватты, киловатты,

Мощность при поступательном движении (рис. 16.1)

Учитывая, что S/t = v

cp

, получим

43

где F — модуль силы, действующей на тело; v

ср

— средняя скорость движения тела.

Средняя мощность при поступательном движении равна произведению модуля силы на

среднюю скорость перемещения и на косинус угла между направлениями силы и скорости.

Мощность при вращении (рис. 16.2)

Тело движется по дуге радиуса r из точки М

1

в точку M

2

Работа силы:

где М

вр

— вращающий момент.

Учитывая, что

получим

где ω

cp

— средняя угловая скорость.

Мощность силы при вращении равна произведению вращающего момента на среднюю

угловую скорость.

Если при выполнении работы усилие машины и скорость движения меняются, можно

определить мощность в любой момент времени, зная значения усилия и скорости в данный

момент.

Коэффициент полезного действия

Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление

вредных сопротивлений. Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает

еще и дополнительную работу.

Отношение полезной работы к полной работе или полезной мощности ко всей

затраченной мощности называется коэффициентом полезного действия (КПД):

Полезная работа (мощность) расходуется на движение с заданной скоростью и

определяется по формулам:

Затраченная мощность больше полезной на величину мощности, идущей на преодоление

трения в звеньях машины, на утечки и тому подобные потери.

Чем выше КПД, тем совершеннее машина.

Контрольные вопросы и задания

1.

Какие силы называют движущими?

2.

Какие силы называют силами сопротивления?

3.

Запишите формулы для определения работы при поступательном и вращательном

движениях.

4.

Какую силу называют окружной? Что такое вращающий момент?

5.

Сформулируйте теорему о работе равнодействующей

6.

Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях.

44

7.

Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения

0,15. Определите работу силы тяжести.

8.

Колодочным тормозом останавливают барабан после отключения двигателя (рис. 16.6).

Определите работу торможения за 3 оборота, если сила прижатия колодок к барабану 1

кН, коэффициент трения 0,3.

9.

Натяжение ветвей ременной передачи S

1

= 700 Н, S

2

= 300 Н (рис. 16.7). Определите

вращающий момент передачи.

10. Запишите формулы для расчета мощности при поступательном и вращательном

движениях.

11. Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1

мин.

12. Определите общий КПД механизма, если при мощности двигателя 12,5 кВт и общей

силе сопротивления движению 2 кН скорость движения 5 м/с.

13. Ответьте на вопросы тестового задания.

Общие теоремы динамики.

Теорема об изменении количества движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная

произведению массы точки на ее скорость mv.

Вектор количества движения совпадает по направлению с вектором скорости. Единица

измерения \mv\ = кг*м/с.

Произведение постоянного вектора силы на некоторый промежуток времени, в течение

которого действует эта сила, называется импульсом силы Ft.

Вектор импульса силы по направлению совпадает с вектором силы.

Использовав основное уравнение динамики, после преобразования можно получить

соотношение между количеством движения и импульсом силы (рис. 17.1).

Проинтегрируем обе части равенства:

45

Полученное соотношение выражает теорему об изменении количества движения точки:

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно

импульсу силы, действующему на точку в течение того же промежутка времени.

Теорема об изменении кинетической энергии

Энергией называется способность тела совершать механическую работу.

Существуют две формы механической энергии:



потенциальная энергия, или энергия положения, и



кинетическая энергия, или энергия движения.

Потенциальная энергия (П) определяет способность тела совершать работу при опускании с

некоторой высоты до уровня моря.

Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести.

П = Gh, где h — высота точки над уровнем моря.

Кинетическая энергия (К) определяется способностью движущегося тела совершать работу.

Для материальной точки кинетическая энергия рассчитывается по формуле

Кинетическая энергия — величина скалярная, положительная.

Единицы измерения:

Энергия имеет размерность работы.

Запишем для материальной точки (рис. 17.2) основное уравнение движения

Спроектируем обе части векторного равенства на направление скорости:

Известно, что

Откуда

Умножив обе части полученного выражения на некоторое перемещение dS, получим:

Полученное равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии точки:

Изменение кинетической энергии на некотором пути равно работе всех действующих

на точку сил на том же пути.

Основы динамики системы материальных точек

46

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия,

называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая система,

образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек,

входящих в систему, зависит от движения остальных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на



внешние и



внутренние.

Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними.

К внешним силам относятся силы, действующие со стороны точек, не входящих в эту

систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давления, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от суммарной

массы системы

масса отдельных точек механической системы.

Движение системы зависит и от положения центра масс системы — условной точки, в

которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все

внешние силы.

Движение

центра

масс

определяет

движение

всей

системы

только

при

поступательном движении, при котором все точки тела движутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать

второй закон динамики

где т — суммарная масса тела; а

с

— ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается

вокруг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее

на множество материальных точек с массами Δm

k.

Каждая точка

движется по окружности радиуса r

k

c касательным ускорением а

k

t

=

εr

k

и нормальным ускорением

где ε — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и

приложим силы инерции:

Система

сил,

действующих

на

точку,

по

принципу

Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси

вращения должна быть равна нулю:

47

где Mz — момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции F

инk

n

равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы,

направленные по касательной к окружности, равны

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

Величина

называется моментом инерции тела относительно оси вращения и обозначается

В результате получим выражение основного уравнения динамики вращающего тела:

где Mz — сумма моментов внешних сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при

вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой

величины в системе СИ [Jz\ = [тг2] = кг-м2.

Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно

оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы

расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со

спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 17.4)

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (рис.

17.5)

Момент инерции прямого тонкого стержня любого

поперечного сечения

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

48

Момент инерции шара (рис. 17.7)

Контрольные вопросы и задания

1.

Тело массой 10 кг поднято на высоту 6 м. Определите потенциальную энергию тела и

работу, которую совершит тело при падении с этой высоты.

2.

Материальная точка массой 16 кг, движущаяся со скоростью 10 м/с, остановилась через

40 с. Определите величину тормозной силы.

3.

Тело массой 9,2 кг двигалось из состояния покоя 3 с с ускорением 4 м/с

2

под действием

силы

F.

Определите

запас

кинетической

энергии,

накопленный телом.

4.

Сплошной однородный цилиндр вращается вокруг продоль-

ной оси (рис. 17.11). От каких параметров зависит момент

инерции цилиндра?

Варианты ответов:

Только от т.

От m и d.

От l, т и d.

От l и т.

5.Определите вращающий момент на шкиве (рис. 17.12); d — 60 мм.

По результату решения предыдущей задачи (вопрос 5) определите

момент инерции шкива, если, двигаясь из состояния покоя, он

приобрел угловую скорость 50 рад/с за 10 с.

Примечание. При ответах на контрольные вопросы ускорение

свободного падения можно принимать равным 10 м/с

2

.

4.Основное уравнение динамики при поступательном и вращательном движениях

твердого тела.

Общие теоремы динамики

Количеством движения системы материальных точек

Q

называется векторная сумма

количеств движений отдельных точек системы.

Q

=

∑

m

i

⋅

v

i

Единицей измерения количества движения в СИ является –

1 кг

⋅

м

/

с

=

1 Н

⋅

с

Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс.

Q

=

M

⋅

v

C

Теорема об изменении количества движения системы.

Эта теорема существует в трех различных формах.

49

Теорема. Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме

всех внешних сил, действующих на систему.

d Q

dt

=

∑

F

i

(

e

)

,

(6.1)

Доказательство: Теорема об изменении количества движения для

i

−

ой

точки имеет вид:

d

(

m

i

⋅

v

i

)

dt

=

F

i

(

e

)

+

F

i

(

i

)

,

(

i

=

1, ... , n

)

Сложим все

n

уравнений и получим:

d Q

dt

=

∑

F

i

(

e

)

,

что и требовалось доказать.

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

dQ

x

dt

=

∑

F

ix

(

e

)

,

dQ

y

dt

=

∑

F

iy

(

e

)

,

dQ

z

dt

=

∑

F

iz

(

e

)

.

Теорема. (в дифференциальной форме).

Дифференциал от количества движения

системы равен сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Умножим левую и правую части уравнения (6.1) на

dt

и получим

d Q

=

∑

F

i

(

e

)

⋅

dt

,

(6.2)

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

dQ

x

=

∑

F

ix

(

e

)

⋅

dt

,

dQ

y

=

∑

F

iy

(

e

)

⋅

dt

,

dQ

z

=

∑

F

iz

(

e

)

⋅

dt

.

Теорема (в интегральной форме). Изменение количества движения системы за какой-

либо промежуток времени равно векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил,

действующих на систему за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до

t

получаем:

Q

−

Q

0

=

∑

S

i

(

e

)

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

Q

x

−

Q

0 x

=

∑

S

ix

(

e

)

,

Q

y

−

Q

0 y

=

∑

S

iy

(

e

)

,

Q

z

−

Q

0 z

=

∑

S

iz

(

e

)

.

Законы сохранения количества движения.

1. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю (

∑

F

i

(

e

)

=

0

), то

количество движения системы постоянно по величине и направлению.

Q

=

const

2. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна

нулю (

∑

F

ix

(

e

)

=

0

), то проекция количества движения системы на эту ось является

постоянной величиной.

Q

x

=

const

Теорема о движении центра масс.

Теорема Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой

равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к

рассматриваемой механической системе.

50

d Q

dt

=

∑

F

i

(

e

)

Q

=

M

⋅

v

C

, следовательно

M

⋅

a

C

=

∑

F

i

(

e

)

Кинетическая энергия системы.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек

системы.

T

=

∑

m

i

⋅

v

i

2

2

Теорема Кенига. Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается

из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и

кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс.

T

=

M

⋅

v

C

2

2

+

T

C

(

r

)

T

=

M

⋅

v

C

2

2

+

∑

m

j

⋅

v

j

(

r

)

2

2

или

T

=

M

⋅

v

C

2

2

+

T

C

(

r

)

Кинетическая энергия твердого тела.

Поступательное движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же,

как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.

T

=

M

⋅

v

2

2

,

v

- скорость любой точки твердого тела

Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной

оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат

угловой скорости тела.

T

=

J

z

⋅

ω

2

2

,

ω

- угловая скорость вращения твердого тела.

Плоское движение тела.

51

Кинетическая

энергия

твердого

тела

при

плоском

движении

складывается

из

кинетической энергии тела вместе с центром масс и кинетической энергии тела от вращения

вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.

T

=

M

⋅

v

C

2

2

+

J

z

⋅

ω

2

2

,

v

C

- скорость центра масс твердого тела,

ω

- угловая скорость вращения твердого тела.

Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Эта теорема существует в двух формах.

Теорема.

Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных

работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

dT

=

dA

=

∑

F

i

(

e

)

⋅

d r

i

+

∑

F

i

(

i

)

⋅

d r

i

Доказательство:

Теорема об изменении кинетической энергии для

i

−

ой

точки

имеет вид:

d

(

m

⋅

v

i

2

2

)=

dA

i

(

e

)

+

dA

i

(

i

)

,

(

i

=

1, ... , n

)

Сложим все

n

уравнений и получим:

∑

d

(

m

⋅

v

i

2

2

)=

∑

dA

i

(

e

)

+

∑

dA

i

(

i

)

или

d

(

∑

m

⋅

v

i

2

2

)

=

dT

=

∑

dA

i

(

e

)

+

∑

dA

i

(

i

)

или

dT

=

∑

F

i

(

e

)

⋅

d r

i

+

∑

F

i

(

i

)

⋅

d r

i

что и требовалось доказать.

Теорема. Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного

положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на

систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы..

T

−

T

0

=

∑

A

i

(

e

)

+

∑

A

i

(

i

)

Контрольные вопросы:

1.Общие теоремы динамики системы и твёрдого тела.

2. Количество движения системы. Теорема об изменении количества движения системы.

3.Законы сохранения количества движения.

4.Теорема о движении центра масс.

5.Законы сохранения момента количества движения.

6.Кинетическая энергия системы. Кинетическая энергия твердого тела.

7.Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Раздел 2 Сопротивление материалов

Тема 2.1 Растяжение (сжатие)

1.Основные понятия. Гипотезы и допущения. Методы расчета

52

Задачи и методы сопротивления материалов

Сопротивление материалов



наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов

инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов выполняются расчеты, на

основании которых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций

инженерных сооружений.

В отличие от теоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, в

которых наиболее существенными являются свойства твердых деформируемых тел, а законами

движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В то же время, вследствие общности

основных положений, сопротивление материалов рассматривается как раздел механики

твердых деформируемых тел.

В состав механики деформируемых тел входят также такие дисциплины, как: теория упругости,

теория пластичности, теория ползучести, теория разрушения и др., рассматривающие, по

существу, те же вопросы, что и сопротивление материалов. Различие между сопротивлением

материалов и другими теориями механики твердого деформируемого тела заключается в

подходах к решению задач.

Строгие теории механики деформируемого тела базируются на более точной постановке

проблем, в связи с чем, для решения задач приходится применять более сложный

математический аппарат и проводить громоздкие вычислительные операции. Вследствие этого

возможности применения таких методов в практических задачах ограничены.

В свою очередь, методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах,

которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой,

получать приемлемые по точности результаты расчетов.

При

этом

главной

задачей

курса

является

формирование

знаний

для

применения

математического аппарата при решении прикладных задач, осмысления полученных численных

результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений. То есть данный

предмет является базовым для формирования инженерного мышления и подготовки кадров

высшей квалификации по техническим специализациям.

Реальный объект и расчетная схема

В сопротивлении материалов, как и во всякой отрасли естествознания, исследование вопроса о

прочности или жесткости реального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Расчетная

схема конструкции



его упрощенная схема, освобожденная от несущественных в данной

задаче особенностей. Выбор расчетной схемы начинается со схематизации свойств материалов

сооружения. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как

одн ород н ую сплош н ую сред у , независимо от их микроструктуры. Под однородностью

материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И

хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его

молекулярного строения), тем не менее указанная особенность не является существенной,

поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых суще-

ственно превышают не только межатомные расстояния, но и размеры кристаллических зерен.

С понятием однородности тесно связано понятие сплош н ос т и

сред ы , под которым

подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему

объем, а значит в теле конструкции нет пустот .

Под действием внешних сил реальное тело меняет свои геометрические размеры. После снятия

нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство

тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упруг ост ь ю .

При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал

конструкций абсолю тн о упруг ий .

Обычно сплошная среда принимается из от ропн ой , т.е. предполагается, что свойства тела,

выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Отдельно взятый

кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно

большое количество хаотично расположенных кристаллов, принимается, что материал

изотропен.

53

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геометрию реального объекта. Основным

упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической

формы тела к схемам бруса (стержня) или оболочки. Как известно, любое тело в пространстве

характеризуется тремя измерениями. Б р у с о м называется геометрический объект, одно из

измерений которого (длина) много больше двух других. Геометрически брус может быть

образован путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой, как это показано на

рис. 1.1.

Рис. 1.1

Эта кривая называется осью бруса , а плоская замкнутая фигура, располагающая свой центр

тяжести на оси бруса и нормальная к ней, называется его поперечн ым сечен ием . Брус

может иметь как постоянное, так и переменное поперечное сечение. Многие сложные

конструкции на практике рассматриваются как комбинации элементов, имеющих форму бруса,

поэтому в настоящей книге преимущественно рассматриваются методы расчета бруса как

основного геометрического объекта изучения науки сопротивления материалов. Второй

основной геометрической формой, рассматриваемой в сопротивлении материалов, является

обо лочка , под которой подразумевается тело, у которого одно из измерений (толщина)

намного меньше, чем два других.

Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на

основание на нее накладываются свя з и , ограничивающие перемещения тех точек сооружения,

к которым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо

их линейные смещения, либо и то и другое.

Внешние и внутренние силы. Метод сечений

Силы

являются

мерилом

механического

взаимодействия

тел.

Если

конструкция

рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на нее заменяется

силами, которые называются

вн еш н им и . Внешние силы, действующие на тело, можно

разделить на акт ивн ые (независимые) и реакт ивн ые . Реактивные усилия возникают в

связях, наложенных на тело, и определяются действующими на тело активными усилиями.

По способу приложения внешние силы делятся на объем н ые и поверхн ост н ые .

Объемные силы распределены по всему объему рассматриваемого тела и приложены к каждой

его частице. В частности, к объемным силам относятся собственный вес сооружения, магнитное

притяжение или силы инерции. Единицей измерения объемных

сил является сила, отнесенная к единице объема



кН/м

3

.

Поверхностные

силы

приложены

к

участкам

поверхности

и

являются

результатом

непосредственного контактного взаимодействия рассматриваемого объекта с окружающими

телами. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади

поверхности

рассматриваемого

тела,

поверхностные

нагрузки

подразделяются

на

сосредоточенные и распределенные. К первым относятся нагрузки, реальная площадь

приложения которых несоизмеримо меньше полной площади поверхности тела (например, воз-

действие колонн на фундаментную плиту достаточно больших размеров можно рассматривать

как действие на нее сосредоточенных усилий). Если же площадь приложения нагрузки

сопоставима с площадью

поверхности

тела,

то

такая

нагрузка рассматривается как

распределенная. Сосредоточенные усилия измеряются в кН, а распределенные



кН/м

2

.

Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характеризуется вн ут рен н им и

силам и , которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются

силами межмолекулярного воздействия.

54

Величины внутренних усилий определяются с применением м ет од а сечен ий , суть которого

заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии

равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и

внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы

уравнения равновесия.

Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис. 1.2, а).

Рис. 1.2

Пусть к нему приложена некоторая система внешних сил Р

1

, Р

2

,

Р

3

,...,

Р

n

, удовлетворяющая

условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии

равновесия.

Если рассечь брус сечением А на две части и правую отбросить, то, т.к. связи между частями

тела устранены, необходимо действие правой (отброшенной) части на левую заменить некоей

системой внутренних сил (P

А

), действующей в сечении А (рис. 1.2, б).

Обозначая через P

лев

и Р

прав

суммы внешних сил, приложенных соответственно, к левой и

правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что

P

лев

+ Р

прав

= 0

(1.1)

для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соотношения:

Р

лев

+ P

A

= 0;

Р

прав



P

A

= 0.

(1.2)

Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил Р

А

в сечении А

может определяться с равным успехом из условий равновесия либо левой, либо правой частей

рассеченного тела. В этом суть м ет од а сечен ий .

Внутренние усилия должны быть так распределены по сечению, чтобы деформированные

поверхности сечения А при совмещении правой и левой частей тела в точности совпадали. Это

требование

в

механике

твердого

деформируемого

тела

носит

название

условия

н ераз рывн ост и д еформ аций .

Воспользуемся правилами статики и приведем систему внутренних сил Р

А

к центру тяжести

сечения А в соответствии с правилами теоретической механики. В результате получим главный

вектор сил

и главный вектор момента

(рис. 1.3). Далее выбираем декартову систему

координат xyz

с началом координат, совпадающим с центром тяжести сечения А. Ось z

направим по нормали к сечению, а оси x и y расположим в плоскости сечения. Спроектировав

главный вектор сил

и главный момент

на координатные оси x, y, z, получаем шесть

составляющих: три силы N

z

, Q

x

, Q

y

и три момента M

z

, M

x

, M

y

, называемых внутренними

силовыми факторами в сечении бруса.

55

Рис. 1.3

Составляющая N

z

называется нормальной, или продольной силой в сечении. Силы Q

x

и Q

y

называются поперечными усилиями. Момент M

z

называется крутящим моментом, а моменты M

x

и M

y



изгибающими моментами относительно осей x и y, соответственно.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых

факторов в сечении определяются из шести уравнений равновесия,

которые могут быть составлены для отсеченной части.

Пусть R

*

, M

*

- результирующая сила и результирующий момент действующие на отсеченной

части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном

состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид:

(1.3)

Последние два векторные уравнения равновесия дают шесть скалярных уравнений в проекциях

на декартовых осях координат:

(1.4)

которые

в

общем

случае

составляют

замкнутую

систему

алгебраических

уравнений

относительно шести неизвестных внутренних усилий: Q

x

, Q

y

, N

z

, M

x

, M

y

, M

z

.

В общем случае в сечении могут иметь место все шесть силовых факторов. Однако достаточно

часто на практике встречаются случаи, когда некоторые внутренние усилия отсутствуют



такие виды нагружения бруса получили специальные названия (табл. 1).

Сопротивления, при которых в поперечном сечении бруса действует одно внутреннее усилие,

условно называются прост ым и . При одновременном действии в сечении бруса двух и более

усилий сопротивление бруса называется слож н ым .

В заключение заметим, что при выполнении практических расчетов, для наглядности, как

правило, определяются графики функций внутренних силовых факторов относительно

координатной оси, направленной вдоль продольной оси стержня. Графики изменения

внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называются э п ю р а м и .

Таблица 1

П р о с т е й ш и е с л у ч а и с о п р о т и в л е н и я

Вид напряженного состояния

N

z

Q

x

Q

y

M

z

M

x

M

y

Растяжение/сжатие

+

0

0

0

0

0

Кручение

0

0

0

+

0

0

Чистый изгиб относительно оси

х

0

0

0

0

+

0

Чистый изгиб относительно оси

у

0

0

0

0

0

+

Поперечный изгиб относительно

оси х

0

0

+

0

+

0

Поперечный изгиб относительно

оси у

0

+

0

0

0

+

П р и м е ч а н и е : + означает наличие усилия, 0



его отсутствие.

Напряжения

В окрестности произвольной точки К, принадлежащей сечению А некоторого нагруженного

тела, выделим элементарную площадку



F, в пределах которой действует внутреннее усилие



(рис. 1.4, а). Векторная величина

(1.5)

56

называется полным напряжением в точке К. Проекция вектора полного напряжения

на

нормаль

к

данной

площадке

обозначается

через



и

называется

норм альн ым

н а п р я ж е н и е м .

Рис. 1.4

Проекции вектора

на перпендикулярные оси в плоскости площадки (рис. 1.4, б) называются

касат ель н ым и н апряж е н иям и по направлению соответствующих осей и обозначаются



ґ и



ґґ. Если через ту же самую точку К провести другую площадку, то, в общем случае будем

иметь другое полное напряжение. Совокупность напряжений для множества площадок,

проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

Перемещения и деформации

Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою геометрическую форму, а точки тела

неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор

, имеющий свое начало в точке А

недеформированного состояния, а конец в т.

деформированного состояния, называется

вектором полного перемещения т. А (рис. 1.5, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми

перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.

Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела,

рассмотрим точки А и В его недеформированного состояния, расположенные на расстоянии S

друг от друга (рис. 1.5, б).

Рис. 1.5

Пусть в результате изменения формы тела эти точки переместились в положение А



и В



,

соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину



S и составило S +



S.

Величина

(1.6)

называется линейной деформацией в точке А

по направлению АВ. Если рассматривать

деформации по направлениям координатных осей xyz, то в обозначения соответствующих

проекций линейной деформации вводятся индексы



x

,



y

,



z

.

Линейные деформации



x

,



y

,



z

характеризуют изменения объема тела в процессе

деформирования, а формоизменения тела



угловыми деформациями. Для их определения

рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрезками ОD

57

и ОС (рис. 1.5, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое

значение D



O



C



. Величина

(



DOC





D



O



C



) =



(1.7)

называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плоскости СОD. Относительно

координатных осей деформации сдвига обозначаются



xy

,



xz

,



yz

.

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в

данной точке образует деформированное состояние в точке.

Закон Гука и принцип независимости действия сил

Многочисленные

экспериментальные

наблюдения

за

поведением

деформируемых

тел

показывают, что в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны

действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в

1776 году английским ученым Гуком и носит название з акон а Гука .

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взятой точки А

(рис. 1.5, а)

нагруженного тела по некоторому направлению, например, по оси x, а может быть выражено

следующим образом:

u =



x

P,

(1.8)

где

Р



сила, под действием которой происходит перемещение

u;



x





коэффициент

пропорциональности между силой и перемещением.

Очевидно, что коэффициент



x

зависит от физико



механических свойств материала, взаимного

расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических

особенностей системы.

Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и

внешними

силами,

подчиняются

п р и н ц и п у

суперпоз иции,

или

п р и н ц и п у

н ез ависим ост и д ейст вия сил .

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом

теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе

приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и

деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как

сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является

одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.

Растяжение и сжатие

Внутренние силы и напряжения

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных

сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень длиной l и площадью поперечного сечения

F, на двух концах которого приложены две равные по величине и противоположно

направленные центральные продольные силы Р (рис. 2.1, а). Поместим начало плоской системы

координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось z направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая

некоторое сечение на расстояние z (0



z



l) от начала системы координат и рассматривая

равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.1, б), приходим к

следующему уравнению:

P + N

z

= 0,

откуда следует, что N

z

= P = const.

Примем для N

z

следующее правило знаков. Если N

z

направлена от сечения, т.е. вызывает

положительную деформацию (растяжение), то она считается положительной. В обратном

случае



отрицательной.

58

Нормальная сила N

z

приложена в центре тяжести сечения, является равнодействующей

внутренних сил в сечении и, в соответствии с этим, определяется следующим образом:

.

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нормальных



напряжений в

поперечных сечениях стержня. Для этого обратимся к анализу характера его деформирования.

Рис. 2.1

Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямоугольную сетку (рис. 2.1, б), то

после нагружения поперечные линии а



а, b



b и т.д. переместятся параллельно самим себе,

откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если

предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать

вывод о том, что поперечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются

параллельно начальным положениям, что соответствует гипоте зе плоских сечени й ,

введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские

сечения

д о

деф ормации остаю тся плоскими и после деф ормации .

Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях, а следовательно,

нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и

равны

,

где F



площадь поперечного сечения стержня.

Высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном

сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения площади

поперечного

сечения

(рис. 2.1, в);

скачкообразного

изменения

внешних

нагрузок;

скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций. Основанием для

такого утверждения служит принцип Сен- Венана , справедливый для любого типа напря-

женного состояния и формулируемый следующим образом: о с о б е н н о с т и п р и л о ж е н и я

в н е ш н и х

н а г р у з о к

п р о я в л я ю т с я ,

к а к

п р а в и л о ,

н а

р а с с т о я н и я х ,

н е

п р е в ы ш а ю щ и х х а р а к т е р н ы х р а з м е р о в п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я с т е р ж н я .

Удлинение стержня и закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим



свободным,

к которому приложена центральная продольная сила Р (рис. 2.2). До нагружения стержня его

59

длина равнялась l



после нагружения она стала равной l +



l (рис. 2.2). Величину



l называют

абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.2

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки

стержня находятся в одинаковых условиях, деформация



остается одной и той же по длине

стержня и равной

.

(2.1)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряженное состояние, то для определения

его абсолютного удлинения необходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz

(рис. 2.2). При растяжении он увеличит свою длину на величину



dz и его деформация

составит:

.

(2.2)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в

следующем виде:



= E



.

(2.3)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем

упругости материала первого рода. Из совместного рассмотрения уравнений (2.2) и (2.3)

получим:

,

откуда с учетом того, что

и

,

окончательно получим:

.

(2.4)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного материала с Е = const, имеет постоянное

поперечное сечение F = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.4) получим

.

(2.5)

При решении многих практических задач возникает необходимость, наряду с удлинениями,

обусловленными действием механических нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные

температурным воздействием. В этом случае пользуются принципом независимости действия

сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

,

(2.6)

где





коэффициент температурного расширения материала; t



перепад температуры тела. Для

однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого

по длине, получим:

.

(2.7)

60

Пример расчета

Для стального бруса квадратного сечения сжатого силой Р с учетом собственного веса при

исходных данных приведенных ниже, требуется (рис. 2.3, а):

1. Определить количество расчетных участков;

2. Составить аналитические выражения для нормальных сил N

z

, нормальных напряжений



z

и

вычислить их значения для каждого из участков с учетом их собственных весов;

3. Построить эпюры N

z

и



z

;

4. Вычислить перемещение верхнего конца колонны от действия силы Р и собственного веса.

И с х о д н ы е д а н н ы е : Р

=

20 кН; l

1

=

l

2

=

l

3

=

0,4

м; модуль упругости стали Е = 2,1



10

8

кН/м

2

;

F

1

= 4



10

-2

м

2

; F

2

= 9



10

-2

м

2

; F

3

= 25



10

-2

м

2

;



= 78 кН/м

3

.

Р е ш е н и е

1. О п р е д е л е н и е

к о л и ч е с т в а

у ч а с т к о в .

Так как нормальная сила N

z

зависит от

величин внешних сил, в данном случае включающих в себя и собственный вес колонны, а

последний, в свою очередь, от размеров поперечного сечения F

i

и объемного веса



, то

границами

участков

следует

назначать

те

сечения,

в

которых

приложены

внешние

сосредоточенные силы и где происходит скачкообразное изменение площади поперечного

сечения или объемного веса материалов конструкций.

Исходя из вышесказанного, учитывая



const, брус будет иметь три участка:

1 участок



от 0 до сечения В (где приложена сила Р);

2 участок



от сечения В до сечения С;

3 участок



от сечения С до сечения D.

Следует заметить, что при определении нормальных напряжений используются те же участки.

Состав ить аналити чес кие вы раж ения для нор маль ны х сил N

z

, нормаль ны х

напряж ени й



z

и вы чис лить их значени я для каж дого из участков , с учетом

их собств енны х в есов . Для этого воспользуемся методом сечений.

1

участок (0



В) 0



z

1



0,4 м.

Проведя сечение 1



1 на расстоянии z

1

от начала координат (точка 0), рассмотрим равновесие

верхней части. При этом, к рассматриваемой части прикладываются в центре ее тяжести

собственный вес и нормальная сила

, заменяющую действие отброшенной нижней части

бруса

на

верхнюю

рассматриваемую

(рис. 2.3, б).

Составив

уравнение

равновесия

рассматриваемой верхней части колонны по оси z

, получим:

.

В свою очередь, собственный вес верхней части колонны определяется следующим образом:

кН.

Тогда выражение для нормальной силы будет иметь вид:

кН,

а для нормальных напряжений

:

кН/м

2

.

Так как,

и

линейно зависят от z

1

, то для построения их графиков (эпюр) достаточно

определить значения этих величин на границах участка, т.е.

при z

1

= 0

при z

1

= 0,4 м

кН;

кН/м

2

.

Знаки минус при

и

указывают на то, что принятое направление для этих величин не

совпадает с действительным, т. к. в принятой схеме продольная сила не растягивает, а сжимает

первый участок.

2 участок (В



С) 0,4

м



z

2



0,8 м.

61

Аналогично предыдущему проводим сечение 2



2 на расстоянии z

2

(рис. 2.3, в). Для верхней

части составляем уравнение равновесия



z = 0 .

В это уравнение войдут: собственный вес первого участка Р

1

= =



F

1

l

1

; собственный вес

отсеченной части второго участка

; сосредоточенная сила Р = 20 кН, а также

сила

.

Тогда уравнение равновесия примет вид:

Р

1

+

+ P +

= 0,

отсюда

=



P





F

1

l

1



=



20



78



4



10

-2



0,4



78



9



10

-2

(z

2



0,4) =

=



7,02



(z

2

+ 2,62678) кН.

Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для

нормального напряжения может быть записано таким образом:

кН/м

2

.

Вычислим значения ординат

и

в граничных сечениях второго участка:

при z

2

= 0,4 м

кН,

кН/м

2

;

при z

2

= 0,8 м

кН,

кН/м

2

.

3 участок (С



D) 0,8 м



z

3



1,2 м.

Составив уравнение равновесия



z = 0 (рис. 2.3, г) для верхней части бруса, получим:

Р

1

+ Р

2

+

+ P +

= 0,

откуда

=



P





F

1

l

1





F

2

l

2





F

3

(z

3



l

1



l

2

)

=



20



78



4



10

-2



0,4





78



9



10

-2



0,4



78



25



10

-2

(z

3



0,8) =



19,5



(z

3

+ 0,43364) кН.

Выражение для напряжения:

кН/м

2

.

Вычислим значения ординат

и

в граничных сечениях третьего участка:

при z

3

= 0,8 м

(0,8) =



19,5 (0,8 + 0,43364) =



24,056 кН,

(0,8) =



78

(0,8 + 0,43364) =



96,224кН/м

2

;

при z

3

= 1,2 м

(1,2) =



19,5 (1,2 + 0,43364) =



31,856 кН,

кН/м

2

.

3. П о с т р о е н и е э п ю р N

z

и



z

По причине линейной зависимости нормальной силы и

напряжений от координаты z для построения их эпюр достаточно значений N

z

и



z

в граничных

сечениях каждого из участков (см. рис. 2.3, д, е). Необходимым условием правильности

построения этих графиков является выполнение следующих требований:



скачок в эпюре N

z

должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть

равным по величине значению этой силы;

62



скачки в эпюре



z

должны совпадать с точками приложения внешней силы Р и изменения

площади поперечного сечения колонны.

После анализа полученных эпюр (рис. 2.3, д, е) легко можно убедиться, что построения

выполнены правильно.

4. В ы ч и с л е н и е п е р е м е щ е н и я в е р х н е г о к о н ц а к о л о н н ы о т д е й с т в и я в с е х

с и л . Полное перемещение согласно закону Гука может быть вычислено по формуле

.

В данном случае выражение принимает следующий вид:

63

Так как величины определенных интегралов равны площадям, очерченным соответствующими

подынтегральными функциями, то для вычисления перемещений



l

i

достаточно вычислить

площади эпюры N

z

на каждом из этих участков и разделить их на E

i

F

i

. Следовательно,

м.

Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела,

совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле

накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических

внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения

частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил

равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно

записать в следующем виде:

А = U + K.

(2.8)

При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

А = U.

(2.9)

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в

потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела производится работа за счет

потенциальной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, упругое тело

является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике,

например, в заводных пружинах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу-

чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчетных зависимостей

потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует

отрезку



l, ниже показан график изменения величины удлинения стержня



l в зависимости от

силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня



l. Дадим

некоторое приращение силе



Р



соответствующее приращение удлинения составит d

(



l

).

Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

64

dA = (P + d

P)



d

(



l

) = P



d

(



l

) + d

P



d

(



l

)

,

(2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = P



d

(



l

).

(2.11)

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости

“нагрузка



перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении



l будет равна площади

треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е.

А = 0,5 Р



l

.

(2.12)

В свою очередь, когда напряжения



и деформации



распределены по объему тела V

равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня

можно записать в виде:

.

(2.13)

Поскольку, в данном случае имеем, что V = F

l, P =



F и



= Е



, то

,

(2.14)

т.е. подтверждена справедливость (2.9).

С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным поперечным сечением и при Р = const из

(2.14) получим:

.

(2.15)

Статически определимые и статически неопределимые системы

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в равновесном состоянии от действия

заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее

элементах, можно определить только по методу сечений, без использования дополнительных

условий, то такая система называется статически определимой.

В реальной практике встречаются такие конструкции при расчете которых одних лишь

уравнений равновесия оказывается недостаточно, в связи с чем требуется формулирование

дополнительных уравнений, связанных с условиями деформирования конструкции.

Системы, в которых количество наложенных связей больше, нежели число независимых

уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

По сравнению со статически определимыми системами, в статически неопределимых системах

имеются дополнительные связи, которые называются лишними.

Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являются лишними с точки зрения

расчетных предпосылок. В действительности эти связи создают дополнительные резервы для

конструкций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.

На рис. 2.5, а изображен кронштейн, состоящий из двух стержней, шарнирно скрепленных

между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а

система является плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной

плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла

А, т.е.



x = 0,



y = 0.

(2.16)

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линейных уравнений относительно

неизвестных усилий N

1

и N

2

в которой количество уравнений равно количеству неизвестных:



N

1



N

2

sin



= 0;



N

2

cos





Р = 0.

65

Рис. 2.5

Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б), то усилия в

стержнях N

1

, N

2

и N

3

прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух

уравнениях равновесия (2.16) имеются уже три неизвестных усилия в стержнях. В таких

случаях говорят, что система один раз статически неопределима. Разность между числом

неизвестных

усилий

и

количеством

независимых

(значащих)

уравнений

равновесия,

связывающих эти усилия, называется сте пень ю

стат ичес кой

н е о п р е д е л и м о с т и

рассматриваемой системы.

В общем случае под n



раз статически неопределимой системой понимается система, в которой

число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не-

зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц.

Напряженное и деформированное состояние при растяжении и сжатии

Рассмотрим

более

подробно

особенности

напряженного

состояния,

возникающего

в

однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой

наклонной площадке, составляющей угол



с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Из условия



z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

р

F



=



F,

(2.17)

где F



площадь поперечного сечения стержня, F



= F/cos





площадь наклонного сечения. Из

(2.17) легко установить:

р =



сos



.

(2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке (рис. 2.6, в), с

учетом (2.18) получим:





= p

cos



=



cos

2



;





= p

sin



=



sin 2



.

(2.19)

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений,

возникающих в сечениях, проходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки,

т.е. от угла



. При



= 0 из (2.19) следует, что





=



,





= 0. При



=

, т.е. на продольных

площадках,





=





= 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не

66

взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения





принимают наибольшие значения

при



=

, и их величина составляет



max

=

. Важно отметить, как это следует из (2.19), что

. Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных

площадках касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие

является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название закона

парности касатель ны х напряж ени й .

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что

его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением

поперечных размеров стержня (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Если обозначить:



прод

=

;



попер

=



,



=



,

то, как показывают эксперименты,



= const для данного материала и является безразмерным

коэ ф ф ициентом Пуассона . Величина



является важной характеристикой материала и

определяется экспериментально. Для реальных материалов



принимает значения 0,1



0,45.

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим

прямой

угол

АВС

(рис. 2.8, а),

образованный

отрезками

АВ

и

АС,

в

недеформированном состоянии.

Рис. 2.8

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А



, B



, C



соответственно.

Величина





=



ВАС





А



B



C



называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А



и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А



B



(рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомогательные точки K и L и прямую n,

перпендикулярную отрезку А



B



. Из рис. 2.8, б имеем:



прод

=

;



попер

=

,

откуда с учетом



прод

=

получим:

.

(2.20)

67

Для

определения





спроектируем

ломаную

ВLB



А



на

ось

n



S



sin





= BL cos (



+





) + LB



sin(



+





), откуда, учитывая малость угла





, т.е. sin











,

cos







1, получим:





=

.

(2.21)

В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:





=

.

Откуда

.

Следовательно,

.

(2.22)

Сопоставляя выражение





с выражением





из (2.17) окончательно получим закон Гука для

сдвига:

(2.23)

где величина

называется модулем сдвига или модулем упругости материала

второго рода.

Основные механические характеристики материалов

Для количественной оценки основных свойств материалов, как

правило, экспериментально определяют диаграмму растяжения в координатах



и



(рис. 2.9),

На диаграмме отмечены характерные точки.

Рис. 2.9

Дадим их определение.

Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется п р е д е л о м

п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и



П

. В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой



= f (



) к

оси



определяется величиной Е.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения



У

, называемого п р е д е л о м

у п р у г о с т и . Под пределом упругости



У

понимается такое наибольшее напряжение, до

которого материал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгрузки последняя

точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.

Величина



Т

называется п р е д е л о м

т е к у ч е с т и

материала. Под пределом текучести

понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного

увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии

68



Т

соответственно заменяется на



ТР

и



ТС

. При напряжениях больших



Т

в теле конструкции

развиваются пластические деформации



П

, которые не исчезают при снятии нагрузки.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной

площади

поперечного

сечения

носит

название

предела

прочности,

или

временного

сопротивления, и обозначается через,



ВР

(при сжатии



ВС

).

В табл. 2 приводятся значения указанных характеристик (в кН/м

2

)

наиболее распространенных

конструкционных материалов.

Таблица 2

Материал



ТР



ТС



ВР



ВС

Е



10

-8

Сталь

250000

250000

390000



2

Чугун

140000

310000

150000

640000

0.7

Медь

250000

250000

320000



1.1

Алюминий

50000

50000

840000



0.75

При выполнении практических расчетов реальную диаграмму (рис. 2.9) упрощают, и с этой

целью применяются различные аппроксимирующие диаграммы. Для решения задач с учетом

у п р у г о



п л а с т и ч е с к и х

свойств материалов конструкций чаще всего применяется

д и а г р а м м а П р а н д т л я . По этой диаграмме напряжение изменяется от нуля до предела

текучести по закону Гука



= Е



, а далее при росте



,



=



Т

(рис. 2.10).

Способность материалов получать остаточные деформации носит название пластичнос ти .

На рис. 2.9 была представлена характерная диаграмма для пластических материалов.

Рис. 2.10

Рис. 2.11

Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости , т.е. способность

материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Материал,

обладающий этим свойством, называется хрупким . К хрупким материалам относятся чугун,

высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон, природные камни. Характерная диаграмма

деформации хрупких материалов изображена на рис. 2.11.

Общие принципы расчета конструкции

В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем

требованиям прочности и жесткости, которые к ней предъявляются. Для этого необходимо

прежде всего сформулировать те принципы, которые должны быть положены в основу оценки

условий достаточной прочности и жесткости.

Наиболее распространенным методом расчета деталей машин и элементов сооружений на

прочность является р а с ч е т

п о

н а п р я ж е н и я м . В основу этого метода положено

предположение, что определяющим параметром надежности конструкции является напряжение

или, точнее говоря, напряженное состояние в точке. Расчет выполняется в следующем порядке.

На основании анализа напряженного состояния конструкции выявляется та точка сооружения,

где возникают наибольшие напряжения. Расчетная величина напряжений сопоставляется с пре-

дельно допустимой величиной напряжений для данного материала, полученной на основе

предварительных

лабораторных

испытаний.

Из

сопоставления

найденных

расчетных

напряжений и предельных напряжений делается заключение о прочности конструкции.

Указанный метод является не единственным. Например, на практике в некоторых случаях

используется метод расчета конструкций по разрушающим нагрузкам. В этом методе путем

69

расчета определяется предельная нагрузка, которую может выдержать конструкция, не

разрушаясь и не изменяя существенно свою форму. Предельная (разрушающая) нагрузка

сопоставляется с проектной нагрузкой, и на этом основании делается вывод о несущей способ-

ности конструкции в эксплуатационных условиях.

Методы расчета конструкций выбираются в зависимости от условий работы конструкций и

требований, которые к ней предъявляются. Если необходимо добиться наименьших изменений

формы конструкции, то производится расчет по д о п у с к а е м ы м п е р е м е щ е н и я м . Это не

исключает и одновременной проверки системы на прочность по напряжениям.

При расчете конструкций по напряжениям условие прочности записывается в виде:



max



[



] ,

(2.24)

где



max



расчетное значение напряжения в точке, где возникают наибольшие напряжения,

[



]



допускаемое напряжение.

Величина [



] определяется по формуле:

.

(2.25)

Здесь n



число, большее единицы, называемое коэффициентом запаса по прочности. Для особо

ответственных конструкций, для которых требуется не допускать возникновения пластических

деформаций, за величину



принимается



=



У . В тех случаях, когда допустимо

возникновение пластических деформаций, как правило, принимается



=



Т. Для хрупких

материалов, а в некоторых случаях и умеренно пластических материалов, принимается



=



В . Здесь



В



временное сопротивление материала.

Критерий прочности, принятый в методе допускаемых напряжений, а именно, напряжения в

точке, не всегда и не полностью характеризует условие наступления разрушения конструкции.

В ряде случаев за такой критерий целесообразнее принимать предельную нагрузку, которую

может выдержать заданная система, не разрушаясь и несущественно изменяя свою форму.

При определении разрушающей нагрузки для конструкций из пластичного материала

применяется схематизированная диаграмма напряжений



диаграмма Прандтля (рис. 2.10).

Схематизация диаграммы заключается в предположении, что материал на начальном этапе

деформирования находится в упругой стадии вплоть до предела текучести, а затем материал

обладает неограниченной площадкой текучести. Материал, работающий по такой диаграмме,

называется

идеально

упруго



пластическим.

Такая

схематизированная

диаграмма

деформирования в большей степени соответствует действительной диаграмме деформирования

материала, имеющего ярко выраженную площадку текучести, т.е. пластичным материалам

(см. п. 2.7).

Если расчет конструкций ведется по предельной нагрузке, то определяющим является

выполнение условия

Р

max



[P

],

(2.26)

где [P

]



допускаемая сила, которая определяется по формуле:

,

(2.27)

Здесь Р





значение внешних нагрузок, при которых происходит разрушение конструкции;

n

1



коэффициент запаса.

В случае расчета конструкции на жесткость необходимо удовлетворять условию

u



[u],

(2.28)

где u и [u]



расчетное и предельно допустимое значения перемещения.

Пример расчета

Абсолютно жесткий брус АЕ (рис. 2.12, а), имеющий одну шарнирно неподвижную опору С и

прикрепленный в точках В, Д и Е тремя тягами из упруго



пластического материала, нагружен

70

переменной по величине силой Р. Площадь поперечного сечения тяг F

1

, F

2

, F

3

, модуль

упругости и предел текучести материала тяг Е = 2



10

5

МПа,



Т

= 240 МПа. Допускаемое

напряжение [



]=

, где коэффициент запаса прочности n принят равным 1,5.

Т р е б у е т с я :

1. Найти усилия в тягах, реакцию опоры С и угловое смещение (поворот бруса вокруг точки С)

как функции от величины силы Р;

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее величину, при которой напряжение в

одной из тяг достигает предела текучести;

3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой

напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, реакцию опоры С и соответствующий

этому предельному состоянию угол;

4. Найти величины несущей способности конструкции из расчетов по методам допускаемых

напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности.

Сопоставить результаты и сделать вывод.

Д а н о : F

1

= 2



10



4

м

2

; F

2

= 1



10



4

м

2

; F

3

= 2



10



4

м

2

; a = 2 м; b = 1 м; c = 1 м; d = 2 м; l

1

= 1 м;

l

2

= 1 м; l

3

= 1,2 м.

Р е ш е н и е

1. Найти усилия в тягах, реакции в опоре С и угловое смещение (поворот бруса вокруг т. С), как

функции от величины силы Р. Для определения величин усилий в тягах в зависимости от Р

применим метод сечений. Сделав сечение по всем тягам и приложив в местах сечений усилия

N1, N2 и N3, возникающие в тягах, рассмотрим равновесие оставшейся части, нагруженной

продольными усилиями в тягах N1, N2 и N3 реакциями опоры С (RC и HC) и силой Р

(рис. 2.12, б). Составив уравнения равновесия статики для оставшейся части, получим:

1)



z = 0,

Н

C

= 0;

(2.29)

2)



y = 0,



Р + N

1

+ R

C



N

2



N

3

= 0;

(2.30)

3)



M

C

= 0,



Р



3 + N

1



1 + N

2



1 + N

3



3 = 0.

(2.31)

Из уравнений равновесия видно, что система дважды статически неопределима, т.к. два

уравнения равновесия (2.30) и (2.31) содержат в своем составе четыре неизвестных. Поэтому

для решения задачи необходимо составить два дополнительных уравнения совместности

деформаций, раскрывающих статическую неопределимость системы.

Для составления дополнительных уравнений рассмотрим деформированное состояние системы

(рис. 2.12, в), имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации тяг

останется прямолинейным.

Эти дополнительные уравнения совместности деформаций получим из подобия треугольников

ВСВ

1



DCD

1

и BCB

1



ECE

1

:

и

.

Решая эти уравнения, получим:

(2.32)

.

(2.33)

71

Рис. 2.12

Выразив деформации тяг по формуле определения абсолютного удлинения:

и подставив эти значения в уравнения (2.32) и (2.33), получим:

(2.34)

.

(2.35)

Подставив найденные значения N

2

и N

3

в уравнение (2.31) определяем величину N

1

:



P



3 + N

1



1 + 0,5



N

1



1 + 2,5



N

1



3 = 0; N

1

=0,3333P.

Зная N

1

, из уравнений (2.34) и (2.35), находим N

2

и N

3

:

.

Опорную реакцию R

C

определяем из уравнения (2.30), подставив найденные значения N

1

, N

2

и

N

3

:

72

-P + 0,333P + R

C



0,167P



0,833P = 0; R

C

= 1,667P.

После определения величин усилий в тягах N

1

, N

2

, N

3

и реакции R

C

необходимо проверить

правильность их вычисления. Для этого составим уравнение равновесия статики



М

A

= 0:



N

1



a



R

C

(a

+

b) + N

2

(a

+

b

+

c) + N

3

(a

+

b

+

c

+

d)

= 0;

0 = 0.

Следовательно, N

1

, N

2

, N

3

и R

C

определены правильно.

Угловое смещение бруса (угол



), ввиду его малости, находим как тангенс угла наклона бруса

АЕ

:

[рад].

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее величину, при которой напряжение в

одной из тяг достигнет предела текучести. Для вычисления величины Р, при которой

напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести



T , определим нормальные напряже-

ния, возникающие в тягах, учитывая то, что тяги работают на растяжение:

Полученные величины напряжений показывают, что в тяге 3 напряжение достигнет предела

текучести раньше, чем в тягах 1 и 2, так как



3





1

и



3





2

. Поэтому, приравняв напряжение



3

пределу текучести



T

, определим величину Р, при которой нормальное напряжение в тяге 3

достигнет предела текучести



T

:

кПа,

откуда

кН.

3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой

напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, реакцию опоры С и соответствующий

этому предельному состоянию угол. При исчерпании несущей способности всех тяг

напряжения в них достигнут предела текучести



T

. В этом случае предельные усилия, которые

возникнут в тягах, будут равны:

= F

1



T

= 2



10

-4



24



10

4

= 48 кH;

= F

2



T

= 1



10

-4



24



10

4

= 24 кH;

= F

3



T

= 2



10

-4



24



10

4

= 48 кH.

Предельную величину внешней нагрузки, соответствующую исчерпанию несущей способности,

найдем из уравнения (2.31), подставив в него предельные значения

,

,

:



P

ПР



3 + 48



1 + 24



1 + 48



3 = 0;

P

ПР

=

кН.

Предельную величину реакции

определяем из уравнения (2.30):

73



72 + 48 +



24



48 = 0;

= 96 кН.

При

определении

наименьшего

угла

поворота

бруса,

соответствующего

предельному

состоянию системы, необходимо знать, в какой из тяг текучесть наступит позже.

Полученные величины напряжений (см. п. 2) показывают, что в тягах 1 и 2 напряжения

достигнут предела текучести одновременно, но позже, чем в тяге 3. Поэтому предельный угол

поворота бруса определяем для момента перехода материала тяг 1 и 2 в пластическое

состояние:

рад,

или

рад.

4. Найти несущую способность из расчетов по методам допускаемых напряжений и разруша-

ющих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и

сделать вывод. Из предыдущих расчетов (см. п. 2) видно, что текучесть материала раньше

появится

в

тяге 3,

т.к.



3





1

и



3



>



2.

Поэтому

для

определения

величины

грузоподъемности из расчета по методу допускаемых напряжений приравниваем напряжение в

этой тяге



3 = 0,417



104 Р к допускаемому напряжению:

кПа, 0,417



10

4

[P] = 16



10

4

кПа,

[P] =

кH.

Несущая способность конструкции из расчета по методу разрушающих нагрузок получим

путем деления ранее полученного значения P

ПР

= 72 кН на коэффициент запаса n

1

= 1,5:

кH.

Сравнивая полученные величины, видим, что несущая способность из расчета по методу

разрушающих нагрузок больше несущей способности из расчета по методу допускаемых

напряжений на

, что подтверждает известное положение о том, что метод

допускаемых напряжений, в отличии от метода разрушающих нагрузок, не позволяет

определить полную несущую способность системы. Это объясняется тем, что для статически

неопределимых систем, переход одного элемента в пластическую стадию работы, как правило,

не означает наступления п р е д е л ь н о г о

с о с т о я н и я . Переход системы в предельное

состояние отождествляется с превращением ее из неизменяемой в геометрически изменяемую

систему.

Контрольные вопросы

1.

Задачи сопротивления материалов.

2.

Методы сопротивления материалов.

3.

Реальный объект и расчётная схема.

4.

Внешние и внутренние силы.

5.

Физический смысл метода сечений.

6.

Напряжения.

7.

Перемещения и деформации.

8.

Закон Гука и принцип независимости действия сил.

9.

Внутренние силы и напряжения.

74

10. Удлинение стержня и закон Гука

11. Потенциальная энергия деформации.

12. Какие системы называются статически определимыми?

13. Какие системы называются статически неопределимыми?

14. Какие основные механические характеристики материалов?

15. Общие принципы расчёта конструкции.

Тема 2.3 Геометрические характеристики плоских сечений

1.Статические моменты сечений. Осевые, центробежные и полярные моменты инерции.

Главные оси и главные центральные моменты инерции. Осевые моменты инерции

простейших сечений. Полярные моменты инерции круга и кольца. Определение главных

центральных 2моментов инерции составных сечений, имеющих ось симметрии

Статические моменты сечений

При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивляется деформации всем

сечением одинаково. Здесь геометрической характеристикой сечения является площадь.

При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах

напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на

сопротивления сечения деформированию.

Статический момент площади сечения

Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).

Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить

каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать

полученное выражение, получим статический момент площади сече-

ния:

Для симметричного сечения статические моменты каждой половины площади равны по

величине и имеют разный знак. Следовательно,

статический момент относительно оси

симметрии равен нулю.

Статический момент используется при определении положения центра тяжести сечения:

(см. лекцию 8)

Формулы для определения положения центра тяжести можно записать в виде

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сумма

произведений элементарных площадок на обе координаты:

75

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным

нулю. Центробежный момент инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести

сечения, равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными.

Главные оси, проходящие через центр тяжести, называют главными центральными осями

сечения.

Осевые моменты инерции

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же

плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на

квадрат их расстояния до этой оси:

осевой момент инерции сечения относительно оси Ох

осевой момент инерции сечения относительно оси Оу

Полярные моменты инерции круга и кольца

Полярным моментом инерции

сечения относительно некоторой точки (полюса)

называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их

расстояния до этой точки:

где р — расстояние дополюса (центра поворота) (рис. 25.1).

Поскольку

получим: полярный момент инерции сечения равен сумме осевых:

Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сечения повороту относительно

соответствующей оси.

Полярный момент инерция характеризует сопротивление сечения повороту вокруг

полюса (начала координат). Единицы измерения моментов инерции: м

4

; см

4

; мм

4

.

Моменты инерции простейших сечений

Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)

Представим прямоугольник высотой

h

и шириной b

в виде сечения,

составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой

полосы:

bdy

= dA.

Подставим в формулу осевого момента инерции

относительно

ОСИ

Оx:

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы,

рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента

инерции относительно оси Оу, получим:

76

Очевидно, что при

h

>

Ь

сопротивление повороту относительно оси

Ох

больше, чем

относительно Оу.

Для квадрата:

Полярный момент инерции круга

Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем — осевые.

Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Площадь каждого кольца можно рассчитать как площадь прямоугольника

с длинной стороной, равной длине соответствующей окружности, и

высотой, равной толщине кольца:

Подставим это выражение для площади в формулу для полярного момента инерции:

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции

кольца:

где d — наружный диаметр кольца; d

BH

— внутренний диаметр кольца.

Если обозначить

Осевые моменты инерции круга и кольца

Используя известную связь между осевыми и полярным моментами инерции, получим:

Моменты инерции относительно параллельных осей

Оси Ох о и Ох параллельны (рис. 25.4).

При параллельном переносе прямоугольной системы осей у

о

Ох

о

в новое положение у

о

Ох значения моментов инерции J

x

, J

y

, J

xy

заданного

сечения меняются. Задается формула перехода без вывода.

77

здесь J

x

— момент инерции относительно оси Ох; Jxо

—

момент инерции относительно оси Охо;

А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ох о-

Главные оси и главные моменты инерции

Главные оси — это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают

экстремальные значения: минимальный и максимальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются относительно главных осей,

проходящих через центр тяжести.

Определение главных моментов инерции составных сечений, имеющих ось симметрии.

Найти главный центральный момент инерции сечения относительно оси Ох (рис. 25.6).

Решение

1. Сечение составлено из стандартных профилей, главные центральные моменты инерции

которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1. Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89

Jox1 = 572 см

4

.

Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox

2

= 757 см

4

.

Площадь А

2

= 18,1см

2

, Jo

y2

= 63,3см

4

.

Определяем координату центра тяжести швеллера относительно оси Ох. В заданном сечении

швеллер повернут и поднят. При этом главные центральные оси поменялись местами.

у

2

= (h

1

/2) + d

2

— zo

2

, по ГОСТ находим h

1

= 14 см; d

2

= 5 мм; z

o

= 1,8 см.

Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции швеллеров и двутавра относительно

оси Ох. Используем формулу моментов инерции относительно параллельных осей:

В данном случае

Пример Для заданного сечения (рис. 2.45) вычислить главные центральные моменты инерции.

Решение

Сечение имеет две оси симметрии, которые являются его главными

центральными осями.

Разбиваем сечение на две простейшие фигуры: прямоугольник (I) и два

круга (II).

Момент инерции сечения относительно оси х

78

где

Ось x (центральная ось сечения) не является центральной осью круга. Следовательно, момент

инерции круга следует вычислять по формуле

где

Подставляя значения J

x

’’

, a, F" в формулу, получаем

Тогда

Ось у является центральной для прямоугольника и кругов. Следовательно,

Контрольные вопросы

Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во

сколько раз увеличатся осевые моменты инерции?

Осевые моменты сечения равны соответственно J

x

=

2,5 мм

4

и

J

y

=

6,5мм. Определите полярный

момент сечения.

Осевой момент инерции кольца относительно оси

Ох J

x

= 4 см

4

. Определите величину J

p

.

В

каком случае J

x

наименьшее (рис. 25.7)?

Какая из приведенных формул для определения J

x

подойдет для сечения, изображенного на рис.

25.8?

Момент инерции швеллера № 10 относительно

главной центральной оси J

XQ

= 174см

4

; площадь поперечного сечения 10,9 см

2

.

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера

(рис. 25.9).

Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые

площади (рис. 25.10).

Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих

одинаковые площади (рис. 25.11).

79

Тема 2.4 Кручение

1.Внутренние силовые факторы при кручении. Эпюры крутящих моментов. Расчеты на

прочность и жесткость при кручении. Выбор рационального сечения вала при кручении

Внутренние силовые факторы при кручении.

Деформации при кручении

Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в

плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и

разворачиваются на угол γ, называемый углом сдвига (угол поворота образующей). Поперечные

сечения разворачиваются на угол ip, называемый углом закручивания (угол поворота сечения,

рис. 26.1).

Длина

бруса

и

размеры

поперечного

сечения

при

кручении не изменяются.

Связь

между

угловыми

деформациями

определяется

соотношением

l — длина бруса; R — радиус

сечения.

Длина

бруса

значительно

больше

радиуса

сечения,

следовательно,

φ >> γ.

Угловые деформации при кручении рассчитываются в радианах.

Гипотезы при кручении

Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и

перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным

продольной оси.

Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается

прямой линией (не искривляется).

Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не

искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются.

Внутренние силовые факторы при кручении

80

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает

только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круглого бруса (рис. 26.1). Для

этого рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 26.1а).

Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса против часовой стрелки,

внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает

поперечная сила dQ (рис. 26.1б). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возникает

поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы образуют пару с моментом

dm = pdQ;

р — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю:

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим

моментом:

Практически крутящий момент определяется из условия равновесия отсеченной части бруса.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную

часть (рис. 26.1 в):

Эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по

сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Крутящий момент считаем положительным, если

моменты внешних пар сил направлены по часовой

стрелке, в этом случае момент внутренних сил

упругости направлен против часовой стрелки (рис.

26.2).

Порядок построения эпюры моментов аналогичен

построению эпюр продольных сил. Ось эпюры

параллельна

оси

бруса,

значения

моментов

откладывают от оси вверх или вниз, масштаб

построения выдерживать обязательно.

Контрольные вопросы

1.

Какие деформации возникают при кручении?

2.

Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?

3.

Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?

4.

Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?

5.

Что такое рациональное расположение колес на валу?

Напряжения и деформации при кручении.

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим

рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные

окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол (р, продольные линии искривляются,

прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после

деформации.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезы плоских сечений и

неискривления радиусов поперечных сечений.

81

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.1б).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения,

равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1 г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

Закон Гука при сдвиге

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм

2

; γ — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в

каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис.

27.2).

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26).

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

где ρ— расстояние от точки до центра круга.

Суммарный

момент

сил

упругости

получаем

сложением

(инте-

грированием) элементарных моментов:

После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного

сечения:

При ρ = 0 τ

к

= 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от

точки до центра сечения.

Полученный интеграл J

v

(лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. J

v

является

геометрической

характеристикой

сечения

при

кручении.

Она

характеризует

сопротивление сечения скручиванию.

82

Анализ полученной формулы для

J

v

показывает, что

слои, расположенные дальше от центра, испытывают

большие напряжения.

Эпюра

распределения

касательных

напряжений при кручении (рис. 27.3)

М

к

— крутящий момент в сечении;

рв — расстояние от точки В до центра;

тв — напряжение в точке В]

т

тах — максимальное напряжение.

Максимальные напряжения при кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных

напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρ

тах

= d/2, где

d — диаметр бруса

круглого сечения. Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Обычно

J

P

/p

max

обозначают

W

p

и называют

моментом сопротивления

при кручении, или

полярным моментом сопротивления сечения

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса

получаем формулу

Для круглого сечения

Для кольцевого сечения

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность

используют условие прочности

где [τ

к

] — допускаемое напряжение кручения.

83

Тема 2.5 Изгиб

1.Изгиб. Основные понятия и определения. Классификация видов изгиба. Внутренние

силовые факторы при прямом изгибе. Нормальные напряжения при изгибе.

Основные определения

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса

возникает внутренний силовой фактор — изгибающий момент.

Брус, работающий на изгиб, называют балкой.

Изображен брус, закрепленный справа (защемление), нагруженный внешними силами и

моментом (рис. 29.1).

Плоскость, в которой расположены внешние силы и моменты, называют

силовой

плоскостью.

Если все силы лежат в одной плоскости, изгиб называют плоским.

Плоскость, проходящая через продольную ось бруса и одну из главных центральных

осей его поперечного сечения, называется главной плоскостью бруса.

Если силовая плоскость совпадает с главной плоскостью бруса, изгиб называют прямым

(рис. 29.1).

Если силовая плоскость не проходит через главную плоскость бруса, изгиб называют косым

изгибом (рис. 29.2).

Внутренние силовые факторы при изгибе

Пример 1. Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя

сила F (рис. 29.3а). Для определения внутренних силовых факторов пользуемся методом

сечений.

Рассмотрим равновесие участка 1 (рис. 29.36).

Под действием внешней пары сил участок стремится развернуться по часовой стрелке.

Силы упругости, возникающие в сечении 1, удерживают участок в равновесии.

Продольные силы упругости выше оси бруса направлены направо, а силы ниже оси направлены

налево. Таким образом, при равновесии участка 1 получим: F

z

= 0. Продольная сила N в сечении

84

равна нулю. Момент сил упругости относительно оси

Ох

может быть получен, если

суммировать элементарные моменты сил упругости в сечении 1-1 относительно оси Ох:

Из схемы вала на рис. 29.3 б видно, что часть волокон (выше оси) испытывают сжатие, а

волокна ниже оси растянуты. Следовательно, в сечении должен существовать слой не

растянутый и не сжатый, где напряжения σ равны нулю.

Такой слой называют

нейтральным слоем

(НС). Линия пересечения нейтрального слоя с

плоскостью поперечного сечения бруса называют нейтральной осью.

Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Здесь нейтральный слой

совпадает с осью Ох.

Практически величина изгибающего момента в сечении определяется из уравнения

равновесия: Σ т

Х1

_

1

= m — М

Х1

= 0; М

Х1

= т.

Таким образом, в сечении 1-1 продольная сила равна нулю, изгибающий момент в сечении

постоянен.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент,

называется чистым изгибом.

Рассмотрим равновесие участка бруса от свободного конца до сечения 2 (рис. 29.Зв).

Запишем уравнения равновесия для участка бруса:

В сечении бруса 2-2 действует поперечная сила, вызывающая сдвиг.

Изгибающий момент в сечении:

z

2

— расстояние от сечения 2 до начала координат.

Изгибающий момент зависит от расстояния сечения до начала координат.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает изгибающий момент и поперечная

сила, называется поперечным изгибом.

Принятые в машиностроении знаки поперечных сил и изгибающих моментов

Знаки поперечных сил

Поперечная сила в сечении считается положительной, если она

стремится развернуть сечение по часовой стрелке (рис. 29.4а),

если против, — отрицательной (рис. 29.4б).

85

Знаки изгибающих моментов

Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то

изгибающий момент считается положительным (рис. 29.5а), если наоборот — отрицательным

(рис. 29.5б).

Выводы



При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент,

постоянный по величине.



При поперечном изгибе в сечении возникает изгибающий момент и поперечная сила.



Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно равен алгебраической

сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно

рассматриваемого сечения.



Поперечная сила в произвольном сечении балки численно равна алгебраической сумме

проекций всех внешних сил, действующих на отсеченной части, на соответствующую

ось.

Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов существенно упрощается при

использовании дифференциальных зависимостей между изгибающим моментом, поперечной

силой и интенсивностью равномерно распределенной нагрузки (теорема Журавского):

Поперечная сила равна производной от изгибающего момента по длине балки:

Интенсивность равномерно распределенной нагрузки равна производной от поперечной силы

по длине балки:

Из выше указанного следует:

Нормальные напряжения при изгибе.

Деформации при чистом изгибе

При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор —

изгибающий момент.

Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом т (рис. 32.1а)

.

При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и

ненадавливаемости слоев.

Сечения бруса, плоские и перпендикулярные продольной оси, после

деформации остаются плоскими и перпендикулярными продольной

оси.

Продольные

волокна

не

давят

друг

на

друга,

поэтому

слои

испытывают простое растяжение или сжатие.

Действуют только нормальные напряжения.

Поперечные размеры сечений не меняются.

Продольная ось бруса после деформации изгиба искривляется и

образует

дугу

окружности

радиуса

ρ

(рис.

32.1б).

Материал

подчиняется закону Гука.

Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси,

растянуты, расположенные ниже оси — сжаты (рис. 32.1б).

86

Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется слой, в котором

нормальные напряжения σ

равны нулю; такой слой называют

нейтральным слоем

(НС).

Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; ρ — радиус кривизны ней-

трального слоя.

Рассмотрим деформацию слоя, расположенного на расстоянии у от нейтральной оси

(участок АВ, рис. 32.1).

Длина участка до деформации равна длине нейтральной оси:

Абсолютное удлинение слоя

(рис. 32.1б).

Относительное удлинение

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используем закон Гука при растяжении: σ = Еε.

Получим зависимость нормального напряжения при изгибе от положения слоя:

Формула для расчета нормальных напряжений при изгибе

Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).

dN — элементарная продольная сила в точке сечения;

dA — площадь элементарной площадки;

dm — элементарный момент, образованный силой относительно нейтрального слоя.

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

— осевой момент инерции сечения (лекция 25). Таким образом,

Откуда:

Ранее получено

87

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в

любом слое поперечного сечения бруса:

где J

x

— геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе

изображена на рис. 32.3.

По эпюре распределения нормальных напряжений видно, что

максимальное напряжение возникает на поверхности.

Подставим в формулу напряжения значение у = y

max

Получим

Отношение

принято обозначать

Эта

величина

называется

моментом

сопротивления

сечения

при

изгибе,

или

осевым

моментом

сопротивления. Размерность — мм

3

.

W

x

характеризует влияние формы и размеров сечения на прочность при изгибе. Напряжение на

поверхности

Рациональные сечения при изгибе

Определим рациональные сечения при изгибе, для этого сравним

моменты сопротивления простейших сечений.

Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32.4, вывод формулы в

лекции 25) равен

Осевой момент сопротивления прямоугольника

Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений (рис. 32.5).

Вариант на рис. 32.5, б обладает большим сопротивлением

изгибу при прочих равных условиях.

Осевой момент инерции круга (рис. 32.6) равен

88

Осевой момент сопротивления круга

Все

необходимые

расчетные

данные

(площади,

моменты

инерции

и

сопротивления)

стандартных сечений приводятся в таблицах стандартов (Приложение 1).

Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, выбирают сечения,

симметричные относительно оси, вокруг которой совершается изгиб (рис. 32.7).

Пример.

Сравним моменты сопротивления двух сечений одинаковой площади: двутавра (рис.

32.7г) и круга (рис. 32.7а).

Двутавр № 10 имеет площадь 12 см

2

, осевой момент инерции 198см

4

, момент

сопротивления 39,7см

3

.

Круг той же площади имеет диаметр

осевой

момент инерции J

x

= 25,12см

4

, момент сопротивления W

x

= 6,2см

3

.

Сопротивление изгибу у двутавровой балки в шесть раз выше, чем у балки круглого сечения.

Из этого примера можно сделать вывод: сечения прямоугольные, квадратные, круглые и

ромбовидные нерациональны (рис. 32.7а, б).

Для материалов, обладающих разной прочностью при растяжении и сжатии (хрупкие

материалы обладают значительно большей прочностью на сжатие, чем на растяжение),

выбирают асимметричные сечения тавр, рельс и др.

Расчет, на прочность при изгибе

Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с

допустимым.

Условие прочности при изгибе:

где [σ

и

J — допускаемое напряжение.

По этому неравенству проводят

проверочные расчеты

после

окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и

сжатой зоне одновременно (рис. 32.8).

89

При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений

балки или подбирают материал.

Понятие о касательных напряжениях при изгибе

Поперечный изгиб.

Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис.

33.1).

В поперечном сечении возникает изгибающий момент, меняющийся по длине балки, и

постоянная поперечная сила Q.

Рассмотрим участок балки длиной dz (рис. 33.15).

Изгибающий момент, как известно, является равнодействующим элементарных моментов,

возникающих в результате действия продольных сил упругости. Связь между нормальными

напряжениями в точках поперечного сечения и изгибающим моментом уже рассматривалась:

Поперечная сила представляет собой равнодействующую касательных сил упругости,

возникающих в поперечных сечениях (рис. 33.1 в), и связана с касательными напряжениями

зависимостью

В силу парности касательных напряжений в продольных сечениях балок, параллельных

нейтральному слою, возникают такие же по величине касательные напряжения (рис. 33.1 г).

Появление касательных напряжений в продольных слоях балок подтверждается следующим

опытом. Рассмотрим поперечный изгиб двух балок, одна — цельная, другая — составленная из

нескольких положенных друг на друга слоев (рис. 33.2). Цельная балка изогнется (рис. 33.2а),

брусья второй балки сдвинутся (рис. 33.2б). Каждый из брусьев деформируется независимо. В

цельной балке сдвигу слоев препятствуют возникающие касательные напряжения.

90

На поверхности касательные напряжения равны нулю.

Формула для расчета касательных напряжений для балки квадратного сечения была получена в

1855 году русским инженером Д. И. Журавским,

где Q

y

— поперечная сила в сечении; S

x

— статический момент отсеченной части относительно

оси х, S

x

= А

отс

у

с

, А

0ТС

– площадь поперечного сечения отсеченной части (рис. 33.3); J

x

— момент

инерции сечения; b — ширина балки.

Наибольшее значение касательного напряжения достигается на нейтральной оси:

А — площадь сечения.

Максимальное напряжение при поперечном изгибе в

полтора раза больше среднего значения

Обнаруживается,

что

максимальные

нормальные

напряжения в сечении не совпадают с максимальными

касательными (рис. 33.4).

Для

длинных

балок

расчет

проводят

только

по

нормальным напряжениям, т. к. касательные здесь

незначительны.

Для

коротких

балок,

нагруженных

значительными

поперечными

силами

вблизи

опор,

проводят расчет по касательным напряжениям. Однако

для

тонкостенных

профилей

(двутавр,

швеллер)

необходимо проверять прочность балки в точках, где

полка сочленяется со стенкой. Здесь и нормальные, и

касательные напряжения значительны (рис. 33.5).

Понятия о линейных и угловых перемещениях при

изгибе

Под действием поперечных нагрузок продольная ось

искривляется (рис. 33.6). Если материал подчиняется

закону Гука, после снятия нагрузок брус выпрямляется,

поэтому изогнутую ось бруса называют упругой линией.

По форме упругой линии балки можно судить о

перемещениях при изгибе.

При

прямом

поперечном

изгибе

бруса

его

ось,

искривляясь, остается в силовой плоскости. В результате

деформации бруса каждое из его поперечных сечений

91

получает вертикальное и горизонтальное перемещение, а само сечение поворачивается на

некоторый угол Θ.

Деформации должны иметь упругий характер, они достаточно малы. В этом случае

горизонтальные перемещения сечений ничтожно малы и не учитываются. Рассматривают

вертикальные перемещения центра тяжести сечения, называемые прогибами (у). Максимальные

прогибы обозначают f = у

таx.

Для обеспечения нормальной работы устанавливаемого на балках

оборудования проводят расчет на жесткость.

Условие жесткости выражается неравенством

где

f

— максимальный расчетный прогиб балки; [f] — допускаемый прогиб. Иногда

проверяется угол поворота сечения Θ < [Θ]. Допускаемый прогиб невелик: от 1/200 до 1/1000

пролета балки; допускаемый угол поворота 1*10

-3

рад.

Существует несколько методов определения перемещений сечений при изгибе. Один из

них основан на дифференцировании уравнения упругой линии, более рациональный способ —

использование интегралов Мора. Метод Мора — универсальный способ определения линейных

и угловых перемещений в любых системах.

Для облегчения расчетов на жесткость можно использовать формулы прогибов и углов

поворота сечений балок для простейших случаев нагружений. Наиболее распространенные

случаи нагружения и расчетные формулы приведены в таблице.

При решении используем принцип независимости действия сил. Заданный случай нагружения

делится на составляющие, для которых прогибы рассчитываются по известным табличным

формулам, результаты расчетов суммируются.

Ограничение угла поворота вводится для обеспечения нормальной работы подшипников

скольжения и роликовых подшипников.

В этом случае проверяется дополнительное условие жесткости:

Таблица 33.1. Формулы для определения прогибов и углов поворота сечений балок

92

Таблица 33.1. Формулы для определения прогибов и углов поворота сечений балок

93

Контрольные вопросы

1.

Какую плоскость называют силовой?

2.

Какой изгиб называют прямым? Что такое косой изгиб?

3.

Какие силовые факторы возникают в сечении балки при чистом изгибе?

4.

Какие силовые факторы возникают в сечении при поперечном изгибе?

5.

Определите поперечную силу и изгибающий момент в сечении 1-1 (рис. 29.7).

Расстояние сечения от свободного конца балки 5 м.

94

6.

Определите реакцию в опоре В.

7.

Определите величину поперечной силы и изгибающего момента в сечении С,

использовав схему балки (рис. 29.8).

8.

Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении балки при чистом и

поперечном изгибах?

9.

Почему при поперечном изгибе в продольных сечениях балки возникают касательные

напряжения?

10. Каким

опытом

можно

подтвердить

возникновение

касательных

напряжений

в

продольных сечениях балки?

11. В какой точке поперечного сечения (рис. 33.8) касательные напряжения при поперечном

изгибе максимальны?

12. Варианты ответов: 1. А. 2. В. 3. С. 4. D.

13. Выберите

верную

эпюру

распределения

нормальных напряжений при изгибе (рис.

33.9).

Напишите

формулу

для

расчета

нормальных

напряжений

при

изгибе.

Изгибающий

момент

действует

в

вертикальной плоскости.

14. Как изменится максимальное нормальное

напряжение в сечении (рис. 33.10а), если

балку прямоугольного сечения положить

плашмя (рис. 33.10б)? b = 20 мм; h = 100 мм.

15. Во сколько раз увеличится прогиб балки,

если

распределенную

по

всей

длине

нагрузку заменить сосредоточенной, при-

ложенной в середине пролета? Использовать

формулы

для

определения

прогибов,

приведенные в таблице 33.1.

Тема 2.6. Сочетание основных деформаций.

1.Сочетание основных деформаций. Виды износа деформаций деталей и узлов

Сочетание основных деформаций

Гипотезы прочности

При растяжении прочность пластичных материалов характеризуется пределом текучести, а

хрупких – пределом прочности; эти напряжения считаются предельными, в зависимости от них

вычисляют допускаемые напряжения.

Гипотезы прочности – это научные предположения об основной причине достижения

материалом предельного напряжённого состояния при сочетании основных деформаций.

95

Напряжённые состояния при сочетании основных деформаций и одноосном растяжении

называются равноопасными, или эквивалентными, если их главные напряжения отличаются от

предельного для данного материала в одинаковое число раз, иначе говоря, коэффициенты

запаса прочности для эквивалентных напряженных состояний одинаковы.

Эквивалентным напряжением называется такое условное напряжение при одноосном

растяжении, которое равноопасно заданному случаю сочетания основных деформаций.

На основании гипотез прочности выводят формулы для вычисления эквивалентного

напряжения, которое затем сопоставляют с допускаемым напряжением на растяжение. Условие

прочности при сочетании основных деформаций, когда в поперечных сечениях действуют и

нормальные, и касательные напряжения, имеет вид: σ

экв

≤ [σ

р

].

Как показывают экспериментальные исследования, прочность материалов существенно

зависит от вида напряженного состояния. В общем случае нагруженного тела напряженное

состояние в какой



либо точке вполне может быть определено величиной напряжений в трех

координатных плоскостях, проходящих через эту точку. При произвольном выборе положения

координатных плоскостей, в каждой из них, вообще говоря, имеются и нормальные, и

касательные напряжения. Для них вводятся соответствующие обозначения в плоскости xy:



zz

,



zx

,



zy

; в плоскости xz:



yy

,



yx

,



yz

; в плоскости yz:



xx

,



xy

,



xz

. Здесь первый индекс показывает

ориентацию площадки, в которой действует напряжение, т.е. какой из координатных осей она

перпендикулярна. Второй индекс указывает направление напряжения по координатной оси.

В каждой точке тела существуют три взаимно перпендикулярные плоскости, свободные от

касательных напряжений, носящие название главных площадок. Нормальные напряжения в этих

площадках называются главными напряжениями и обозначаются



1

,



2

,



3

. При этом всегда



1

>



2

>



3

. Заметим, что более подробно вопросы теории напряженного состояния в точке

обсуждены в десятом разделе настоящей книги, и по данному вопросу имеется обширная

литература.

Напряженные состояния разделяются на три группы. Напряженное состояние называется: а)

о б ъ е м н ы м или т р е х о с н ы м , если все главные напряжения



1

,



2

,



3

не равны нулю; б)

п л о с к и м

или д в у х о с н ы м , если одно из трех главных напряжений равно нулю;

в) о д н о м е р н ы м или о д н о о с н ы м , если два из трех главных напряжений равны нулю.

Основной задачей теории прочности является установление критерия прочности, позволяющего

сравнить между собой опасность различных напряженных состояний материала.

Выбранный критерий прочности должен быть обоснован на основе экспериментальных данных

путем проведения испытаний различных материалов в зависимости от вида напряженного сос-

тояния, как функция от соотношений между значениями главных напряжений.

Как отмечалось в п. 2.8, наиболее распространенным и наглядным критерием проверки

конструкций

на

прочность,

при

простейших

случаях

напряженного

состояния

(сжатие



растяжение, кручение, чистый изгиб), является выполнение условия:



max





,

(5.38)

где



max



максимальное расчетное значение напряжения, возникающее в наиболее опасной

точке конструкции;





допускаемое значение напряжения для материала конструкции.

Сформулируем гипотезы прочности и приведём соответствующие формулы для

вычисления эквивалентных напряжений.

Согласно

п е р в о й

т е о р и и

критерием

прочности

является

ограничение

главного

максимального напряжения:



max

=



1





,

(5.39)

где





предельное напряжение, полученное из опытов на одноосное растяжение.

Основным недостатком этой теории является не учет двух других главных напряжений.

В основу вт орой т еории прочн ост и заложена гипотеза о том, что критерием оценки

работы конструкции является ограничение наибольшего удлинения. В формулировке данного

положения через главные напряжения (



1

и



2

) это условие для плоского напряженного

состояния записывается следующим образом:

96



1







2





,

где





напряжение, при котором было вызвано предельное удлинение образца в опытах на

одноосное растяжение;





коэффициент бокового расширения.

При объемном напряженном состоянии вторая теория прочности записывается в виде:



1





(



2



3

)





,

(5.40)

Экспериментальная проверка не всегда подтверждает правильность теории прочности

наибольших линейных деформаций при простых нагружениях, т.е. при чистом растяжении или

чистом сдвиге. Однако до настоящего времени эта теория имела широкое применение при

выполнении инженерных расчетов..

В основу т р е т ь е й

т е о р и и

п р о ч н о с т и

заложена гипотеза о том, что причиной

разрушения материалов являются сдвиговые деформации, происходящие на площадках

максимальных касательных напряжений, т.е.



max

<



,

(5.41)

где



max



расчетное максимальное касательное напряжение, возникающее в опасной точке

нагруженного тела;





предельное значение касательного напряжения, полученное из опытов.

Для плоского напряженного состояния по третьей теории условие прочности записывается в

виде:



1





2

<



.

(5.42)

В случае поперечного изгиба балки (



2

= 0), если выразить главные напряжения



1

и



3

через



и



, то условие прочности (5.42) преобразуется в виде:

,

(5.43)

где R



расчетное сопротивление материала балки при изгибе.

Гипотеза

наибольших

касательных

напряжений

хорошо

подтверждается

опытами,

в

особенности для пластичных материалов.

Гипотеза Мора (четвёртая гипотеза прочности).

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала наступает тогда, когда на

некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и

касательного напряжений.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений имеет вид:

σ

экв

= (1-κ)/2* σ + (1+κ)/2√σ

2

+ 4τ

2

, где κ = [σ

р

] / [σ

с

].

Эта формула одинаково пригодна как для хрупких, так и для пластичных материалов, при κ = 1

она тождественна формуле третьей теории прочности.

Энергетическая гипотеза (пятая, или энергетическая теория прочности ).

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала в данной точке наступает тогда,

когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной

величины.

Во всех приведённых выше формулах σ и τ – нормальные и касательные напряжения на

площадке поперечного сечения, проходящего через опасную или предположительно опасную

точку.

Сочетание основных деформаций

Изгиб и растяжение или сжатие

Рассмотрим

брус

длиной

l

постоянного

поперечного

сечения

площадью

А,

защемлённый одним концом и нагруженный на свободном конце произвольно направленной

силой F, приложенной в центре тяжести сечения.

Разложим силу F на составляющие Fx, Fy и Fz. В результате действия этих

составляющих получаем сочетание деформаций растяжения и поперечного изгиба в двух

взаимно-перпендикулярных плоскостях, причём касательными напряжениями изгиба будем в

дальнейшем пренебрегать.

Определим максимальные нормальные напряжения в опасном сечении (заделке):

97

σ

p

= F

z

/ А; σ

1и

= F

y

l / W

x

; σ

2и

= F

x

l / W

y

.

Максимальные суммарные напряжения возникнут в точке Е и будут напряжениями

растяжения:

σ

max

= σ

Е

= F

z

/ А + F

y

l / W

x

+ F

x

l / W

y

.

Деформации растяжения и изгиба сочетаются, например, у крюков, винтов с отогнутой

головкой, винтов слесарных тисков и т.д.

Вид деформации, когда сжимающая сила параллельна оси бруса, но точка её приложения

не совпадает с ц.т. сечения называется внецентренным сжатием (ранее изученную нами

деформацию можно назвать центральным сжатием).

Рассмотрим брус прямоугольного сечения площадью А = bh, к которому на расстоянии

е от оси приложена параллельная ей сила F.

В центре тяжести сечения вдоль оси приложим две противоположно направленные силы,

равные по модулю силе F. Полученную систему трёх сил будем рассматривать как силу F,

приложенную в центре тяжести, и пару сил с моментом m = Fe. Пользуясь принципом

независимости действия сил, внецентренное сжатие будем рассматривать как сочетание

центрального сжатия и чистого изгиба, причём соответствующие нормальные напряжения

будем определять по формулам:

σ

с

= - F / А; σ

и

= ± М

и

/ W,

а суммарные напряжения – по формуле:

σ = σ

с

+ σ

и

= - F/А ± М

и

/ W.

Максимальные суммарные напряжения будут напряжениями сжатия:

σ

max

= - F / А – Fe / W.

Чтобы в брусе не возникали напряжения растяжения, должно выполняться неравенство:

σ

с

≥ σ

и

или F / А ≥ Fe / W, откуда e ≤ W / А.

Для бруса прямоугольного сечения предельное значение эксцентриситета будет равно

e = W / А = ((bh

2

) / 6) / bh = h / 6.

Для бруса круглого сечения диаметром d предельное значение эксцентриситета будет

равно e = W / А = (πd

3

/ 32) / (πd

2

/ 4) = d / 8.

Ввиду полярной симметрии круга геометрическое место предельных положений точек

приложения сжимающей силы F будет представлять собой окружность диаметром d/4. Круг,

расположенный внутри этой окружности называется ядром сечения. Для прямоугольного бруса

сечением b*h ядро сечения представляет собой ромб с диагоналями h/3 и b/3.

Изгиб и кручение

Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывают большинство валов, которые

обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения.

При расчёте валов будем учитывать только крутящий или изгибающий моменты,

действующие в опасном поперечном сечении и не будем принимать во внимание поперечные

силы, т.к. соответствующие им касательные напряжения относительно невелики.

Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по

формулам: σ = М

и

/ W, τ = М

к

/ W

р

, причём для круглых валов W

р

= 2W.

При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки опасного поперечного сечения

вала, наиболее удалённые от нейтральной оси. Применив третью теорию прочности получим:

σ

экв

= √σ

2

+ 4τ

2

= √(М

и

/W)

2

+ 4(М

к

/W

р

)

2

= √(М

и

/W)

2

+ 4[М

и

/ (2 W)]

2

=

= √(М

и

2

+ М

к

2

) / W.

Выражение, стоящее в числителе, назовём эквивалентным моментом:

М

экв

= √М

и

2

+ М

к

2

;

тогда расчётная формула для круглых валов примет вид

σ

экв

= М

экв

/ W ≤ [σ]

(валы обычно изготавливают из материала, у которого [σ

р

] = [σ

с

] = [σ]).

98

По этой формуле расчёт круглых валов ведут, как на изгиб, но не по изгибающему

моменту, а по эквивалентному моменту.

Применив энергетическую теорию прочности, получим

σ

экв

= √σ

2

+ 3τ

2

= √(М

и

/W)

2

+ 3[М

к

/ (2W)]

2

= √М

и

2

+ 0,75М

к

2

/ W,

т.е. по энергетической теории прочности М

экв

= √ М

и

2

+ 0,75М

к

2

.

Для расчётов деталей на сочетание деформаций поперечного изгиба и кручения

необходимо составить расчётную схему конструкции и построить эпюры изгибающих и

крутящих моментов, определить предположительно опасные сечения, после чего произвести

необходимые расчёты.

Кручение и растяжение или сжатие

Сочетание деформаций кручения и растяжения испытывают, например, болты и

крепёжные винты, а сочетание деформаций кручения и сжатия – винты домкратов и винтовых

прессов, свёрла и шпиндели сверлильных станков. Эти детали обычно изготовляют из

материалов, у которых [σ

р

] = [σ

сж

] = [σ].

Нормальные и максимальные касательные напряжения в этих случаях определяют по

формулам σ = N/А; τ = М

к

/W

р

.

Применив третью теорию прочности, получим расчётную формулу

σ

экв

= √(N/А) +(М

к

/ W

р

) ≤ [σ].

Применив энергетическую теорию прочности, получим

σ

экв

= √(N/А) + (М

к

/W

р

) ≤ [σ].

П р и м е р р а с ч е т а

Дан пространственный консольный брус с ломаным очертанием осевой линии, нагруженный

сосредоточенной силой Р = 1 кН и равномерно распределенной нагрузкой q = 2 кН/м. На

рис. 5.34, а

этот брус показан в аксонометрии в соответствии с прямоугольной системой

координат xyz

. Вертикальный элемент бруса имеет поперечное сечение в виде круга диаметром

d = 0,06 м (рис. 5.34, в), горизонтальные элементы бруса имеют поперечные сечения в виде

прямоугольника

(рис. 5.34, б).

Ширина

сечения

b = d = 0,06 м,

а

высота

сечения

c = 0,5 d = 0,03 м. Ориентация главных осей поперечных сечений на каждом участке показана

на рис. 5.34, г.

Т р е б у е т с я :

1. Построить в аксонометрии эпюры M

x

, M

y

, M

z

, N

z

, Q

x

, Q

y

;

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса;

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних

усилий N

z

, M

x

, M

y

и M

z

(касательными напряжениями от Q

x

и Q

y

можно пренебречь);

4. Проверить прочность при расчетном сопротивлении R = = 180 МПа.

Р е ш е н и е

П о с т р о и т ь в а к с о н о м е т р и и э п ю р ы M

x

, M

y

, M

z

, N

z

, Q

x

, Q

y

. Заметим, что так как

заданная система пространственная, при произвольном характере нагружения, в опорном

сечении, где установлена заделка, возникает шесть опорных реакций (три опорные силы и три

момента). Для определения опорных реакций, в данном случае, можем применить шесть

уравнений равновесия статики. Так как число независимых уравнений равновесия равно числу

опорных реакций, то можно сделать вывод, что рассматриваемая система в виде ломаного

бруса,

с

заделанным

одним

концом,

является

статически

определимой.

Поэтому

рассматриваемая система разрешима по методу сечений. Далее, учитывая особенности конст-

рукции, определение величин внутренних усилий можно осуществить без предварительного

вычисления величин опорных реакций.

Брус имеет три участка АВ, ВС и СD (рис. 5.34, г). При этом, после рассечения бруса на

две части будем рассматривать равновесие оставшейся части, не связанной с заделкой (чтобы

избежать предварительного определения опорных реакций в заделке бруса). Внутренние

силовые факторы можно рассматривать как реакции, действующие в сечении на оставшуюся

99

часть со стороны отброшенной части, поэтому процесс определения шести величин M

x

, M

y

, M

z

,

N

z

, Q

x

, Q

y

может быть сведен к известному процессу определения опорных реакций.

Следует отметить, что при определении опорных реакций их направление можно указать

произвольно, а затем из решения уравнения равновесия будет ясно, как в действительности

действует реакция: если результат положительный, то реакция действует именно так, как мы

предварительно указали, если отрицательный



то наоборот.

При построении эпюр будем руководствоваться следующими правилами:



нормальная сила N

z

считается положительной, если она вызывает растяжение бруса;



крутящий момент M

z

считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны

внешней нормали он виден вращающим брус по ходу часовой стрелки;



поперечная сила Q

x

считается положительной, если при взгляде со стороны положительного

направления оси y она стремится вращать оставшуюся часть бруса по ходу часовой стрелки от-

100

носительно ближайшей точки на оси бруса (для поперечной силы Q

y



то же, по отношению к

x);



ординаты эпюр Q

x

и Q

y

следует откладывать перпендикулярно оси бруса в плоскости

действия этих сил и указывать знак;



ординаты эпюр М

x

и М

y

будем откладывать перпендикулярно оси бруса со стороны

растянутого волокна.

Участок

АВ

(0



z

1



a

).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, д. В центре сечения помещаем систему координат.

Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г.

Координата z

1

увеличивается от точки А

к точке В. Для определения N

покажем ее в

направлении от сечения, т.е. растягивающей, и составим уравнения равновесия:



z = 0; N

z

= 0.

Из



М

x

= 0 следует М

x

= 0 (рис. 5.35, а).

Для определения М

z

покажем его так, чтобы при взгляде на сечение он был виден вращающим

брус по часовой стрелке, и составим уравнения равновесия (рис. 5.35,б):



m

z

= 0; М

z

= 0.

Для определения Q

x

и Q

y

покажем их положительными в соответствии с выбранным правилом

знаков и составим уравнения равновесия:



x = 0,

Q

x



P = 0,

Q

x

= P = 1 кН;



y = 0,

Q

y

= 0.

Эпюра Q

x

представляет собой прямоугольник (рис. 5.35, в) с ординатой, равной 1, лежащей в

плоскости действия этого силового фактора. Составляем уравнение равновесия:



M

y

= 0,

М

y

+ Р



z = 0,

М

y

=



P



z.

Ординаты эпюры M

y

линейно зависят от z:

z = 0, M

y

= 0; z = a, M

y

=



P



a =



1



0,3 =



0,3 кН



м.

Знак минус указывает на то, что в действительности изгибающий момент M

y

вызывает

растягивающее напряжение в правой части поперечного сечения, поэтому ординаты эпюры M

y

откладываются в правую сторону.

Участок

ВC

(0



z

2



b

).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, e. В центре сечения помещаем систему координат.

Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г.

Координата z

2

увеличивается от точки В к точке С. Процесс определения внутренних силовых

факторов на этом участке такой же, как и на предыдущем. Важно отметить, что на оставшейся

части соответствующий внутренний силовой фактор удобно показывать непосредственно перед

его определением



для того, чтобы не затемнить чертеж. При этом N

z

, M

z

, Q

x

, Q

y

показывают в

положительном направлении в соответствии с принятым правилом знаков, а изгибающие

моменты M

x

и M

y



наугад из двух возможных направлений (рис. 5.34, e):



z = 0, N

z

= 0;



M

z

= 0, M

z

+ P



a = 0, M

z

=



P



a =



0,3 кН



м.

Плоскость прямоугольной эпюры произвольна (рис. 5.35, б).



x = 0, Q

x



P = 0, Q

x

= P = 1 кН.

Эпюра Q

x

в виде прямоугольника показана на рис. 5.35, в.



y = 0,

Q

y



q

z = 0; Q

y

= q

z ;

z = 0, Q

y

= 0;

z = 0,6 м, Q

y

= 2



0,6 = 1,2 кН.

Эпюра Q

y

в виде треугольника показана на рис. 5.35 е.

Ординаты M

x

изменяются по закону квадратной параболы.

z = 0, M

x

= 0;

z = 0,6 м, M

x

=



0,36 кН



м;

=

2

z

=

0; z

=

0



точка экстремума в эпюре M

x

в сечении z =

0.

Знак минус указывает, что растягивающие напряжения возникают не в ближней части сечения,

а в дальней. При этом наблюдатель ориентирован относительно глобальной системы координат

101

xy, показанной на рис. 5.34, а следующим образом: ось x направлена к наблюдателю, поэтому

ординаты M

x

откладываем в дальнюю сторону (рис. 5.35, а).



M

y

= 0, M

y

+ P

z = 0, M

y

=



P

z;

z = 0, M

y

= 0;

z = 0,6 м, M

y

=



0,6 кН



м.

Эпюра M

y



треугольная.

Растягивающие напряжения возникают в правой части сечения



ординаты откладываем

вправо.

Рис. 5.35

Участок

CD

(0



z

3



c

1

).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, ж. В центре сечения помещаем систему координат.

Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г.

Координаты z

3

увеличиваются от точки С к точке D. Повторяя все рассуждения, проведенные

на предыдущих участках, будем иметь следующее (рис. 5.34, д):



z = 0, N



P = 0, N = P = 1 кН;



M

z

= 0,

кН



м.

Эпюра M

z



в виде прямоугольника. Плоскость изображения произвольная:



x = 0, Q

x

+ q

b

1

= 0, Q

x

=



q

b

1

=



2



0,6=



1,2 кН.

Эпюра Q

x



в виде прямоугольника в плоскости действия Q

x

.



y = 0, Q

y

= 0;



M

x

= 0, M

x

+ P

b

1

= 0, M

x

=



P

b

1

=



0,6 кН



м.

Эпюра M

x



в виде прямоугольника. Растягивающие напряжения при изгибе возникают в

нижней части поперечного сечения



ординаты эпюры откладываем вниз.



M

y

= 0, M

y

+ P

a



q

b

1

z

3

= 0, M

y

= q

b

1

z

3



P

a = 1,2

z

3



0,3.

Величина M

y

определяется как линейная функция от z

3

. При z

3

= 0; M

y

=



0,3 кН



м. В этом

сечении

растягивающие

напряжения

возникают

не

в

дальней

части

сечений,

а

в

ближней



ординату откладываем к наблюдателю.

При z

3

= 0,5м M

y

= 1,2



0,5



0,3 = 0,6



0,3 = 0,3 кН



м.

В этом сечении M

y

откладываем от наблюдателя (рис. 5.35, г).

102

2. У с т а н о в и т ь в и д с о п р о т и в л е н и я д л я к а ж д о г о у ч а с т к а б р у с а . По эпюрам

устанавливаем вид сопротивления на каждом участке бруса. На участке АВ

возникают

изгибающий момент M

y

и поперечная сила Q

x

, что свидетельствует о наличии поперечного

изгиба. На участке ВС возникают изгибающие моменты M

x

, M

y

, поперечные силы Q

x

, Q

y

и

крутящий момент M

x

, что свидетельствует о наличии косого изгиба и кручения. На участке СD

действуют изгибающие моменты M

x

и M

y

, поперечная сила Q

x

, растягивающая сила N и

крутящий момент M

z

, что свидетельствует о наличии косого изгиба с растяжением и

кручением.

3. О пред елит ь

м аксим альн ые

н апря ж ен ия

в

опасн ом

сечен ии

к а ж д о г о

участ ка от вн ут ренн их усилий N, M

x

, M

y

и M

z

( касат ель н ым и напря ж ен ия м и

от Q

x

и Q

y

можн о прен ебречь ) . У ч а с т о к А В . Наибольшая величина изгибающего

момента M

y

, судя по эпюре (рис. 5.35, г) возникает в сечении, бесконечно близком к точке В.

Максимальные нормальные напряжения при изгибе определяются по формуле:

16,7



10

3

кН/м

2

,

где момент сопротивления W

y

=

=1,8



10

-5

м

3

.

Участок ВС . По эпюрам M

x

и M

y

устанавливаем, что опасным является сечение, бесконечно

близкое к точке С. Для круглого сечения суммарный изгибающий момент:

кН



м,

а наибольшие нормальные напряжения равны:

кН/м

2

=33,32 МПа,

где момент сопротивления круглого сечения при изгибе:

м

3

.

При кручении круглого сечения возникают касательные напряжения, максимальные значения

которых определяются по формуле:

,

где W

p



момент сопротивления при кручении. Известно, что

W

p

= 2 W

И

= 2



2,1



10

5

м

3

= 4,2



10

5

м

3

,

тогда

кПа=7,143 МПа.

У ч а с т о к С D . По эпюрам M

x

и M

y

видим, что равными по опасности будут сечения,

бесконечно близкие к точкам С и D. При действии растягивающей силы N во всех точках

поперечного сечения возникают одинаковые нормальные напряжения:

кН/м

2

= 0,555 МПа,

где F = b



c = 0,06



0,03=0,0018 м

2



площадь поперечного сечения;

66666 кН/м

2

= 66,67 МПа,

где

м

3

.

При действии изгибающего момента M

y

наибольшие нормальные напряжения будут равны:

103

кН/м

2

= 16,67 МПа.

При

кручении

бруса

прямоугольного

сечения

возникают

касательные

напряжения,

максимальные значения которых определятся по формуле:

кН/м

2

= 27,07 МПа,

где W

K

=



c

3

= 0,493



0,03

3

= 13,3



10

-6

м

3



геометрическая величина, играющая роль момента

сопротивления при кручении стержней прямоугольного сечения. Здесь





коэффициент,

зависящий от отношения большей стороны прямоугольника к меньшей (в данном случае при b/

c = 2,



= 0,493).

4. П роверка прочн ост и при расчет н ым сопрот ивле нии R = 180 МПа. Расчетное

напряжение по третьей теории прочности для плоского напряженного состояния определяется

по формуле:

.

Участок АВ. Линейное напряженное состояние является частным случаем плоского (



= 0), поэтому в нашем случае:

,

где R = 180 МПа.

Участок ВС . Проверка прочности по третьей теории:

36,25 МПа < 180 МПа.

Участок СD . Сначала найдем максимальное нормальное напряжение от внутренних силовых

факторов N, M

x

и M

y

:

МПа.

Касательные напряжения в угловой точке от кручения равны 0. Имеет место линейное

напряженное состояние:

МПа < 180 МПа.

Далее рассмотрим напряженное состояние в окрестности точки, где действует максимальное

касательное напряжение



= 27,7 МПа. Имеет место плоское напряженное состояние:

МПа;

МПа < 180 МПа.

Следовательно, так как условие обеспечения прочности во всех опасных точках участков

ломанного бруса выполняются, то прочность конструкции в целом следует считать

обеспеченной.

Контрольные вопросы:

1. Гипотезы прочности.

2. Эквивалентное напряжение при изгибе и растяжении или сжатии.

3. Эквивалентное напряжение при изгибе и кручении.

Эквивалентное напряжение при кручении и растяжении или сжатии.

104

Тема 2.7 Сопротивление усталости

1.Сопротивление усталости. Циклы напряжений. Усталостное разрушение, его

причины и характер

Основные понятия

Многие детали машин работают в условиях переменных во времени напряжений. Так,

вращающиеся валы и оси, нагруженные постоянными изгибающими силами, работают при

переменных нормальных напряжениях изгиба.

Совокупность последовательных значений переменных напряжений за один период

процесса их изменения называется циклом.

Обычно цикл представляют в виде графика, в котором по оси абсцисс откладывается

время, а по оси ординат — напряжения (рис. 38.1).

Цикл характеризуется максимальным σ

max

, минимальным σ

min

и средним напряжениями.

Рассчитывается среднее значение напряжений

σ

т

,

амплитуда цикла

σ

а

и коэффициент

асимметрии цикла R

Все приведенные определения и соотношения можно записать и для касательных

напряжений.

Цикл, при котором максимальное и минимальное напряжения равны по величине и

обратны по знаку, называют симметричным циклом (рис. 38.2).

Остальные циклы называют

асимметричными.

Часто встречается

отнулевой, или

пульсирующий,

цикл, минимальное напряжение при этом цикле равно нулю, среднее

напряжение равно амплитуде (рис. 38.3).

Переменные напряжения возникают в осях вагонов, рельсах, рессорах, валах машин,

зубьях колес и многих других случаях.

Под действием переменных напряжений в материале возникает микротрещина, которая

под действием повторяющихся напряжений растет в глубь изделия. Края трещины трутся друг

о друга, и трещина быстро увеличивается. Поперечное сечение детали уменьшается, и в

определенный момент случайный толчок или удар вызывает разрушение.

105

Появление трещин под действием переменных напряжений называют усталостным

разрушением.

Усталостью называют процесс накопления повреждений в материале под действием

повторно-переменных напряжений.

Характерный вид усталостных разрушений — трещины и часть поверхности блестящая в

изломе. Такой характер излома вызван многократным нажатием, зашлифованностью частей

детали.

Опыт показывает, что усталостное разрушение происходит при напряжениях ниже

предела прочности, а часто и ниже предела текучести.

Способность материала противостоять усталостным разрушениям зависит от времени

действия нагрузки и от

цикла напряжений.

При любой деформации нагружение с

симметричным циклом наиболее опасно.

Опытным путем установлено, что существует максимальное напряжение, при котором

материал выдерживает, не разрушаясь значительное число циклов.

Наибольшее

(максимальное)

напряжение

цикла,

при

котором

не

происходит

усталостного разрушения образца из данного материала

после любого большого числа

циклов, называют пределом выносливости.

Для определения предела выносливости изготавливают серию одинаковых образцов и

проводят испытания при симметричном цикле изгиба. Образцы имеют цилиндрическую форму,

гладкую поверхность (полированную) и плавные переходы.

Образцы устанавливают на испытательную машину и нагружают так, чтобы напряжение

составляло примерно 80 % от предела прочности. После некоторого числа циклов образец

разрушается. Фиксируют максимальное напряжение и число циклов до разрушения.

Испытания повторяют, постепенно снижая нагрузку на каждый последующий образец и

фиксируя число циклов до разрушения образцов.

По результатам испытаний строят график зависимости между максимальным напряжением и

числом циклов нагружений до разрушения. График называют кривой усталости (рис. 38.4). В

большинстве случаев после числа циклов нагружений более 10

7

кривая приближается к прямой,

параллельной оси абсцисс.

п

баз

— число циклов, при котором определяют предел

выносливости (базовое число циклов).

Если провести испытания при асимметричном цикле,

кривая

ляжет

выше,

т.

е.

выносливость

материала

повысится.

Предел выносливости, определенный путем стандартных испытаний, является одной из

механических характеристик материала.

Факторы, влияющие на сопротивление усталости

Концентрация напряжений.

В местах, где имеются резкие изменения размеров,

отверстия, резьба, острые углы, возникают большие местные напряжения (концентрация

напряжений). В этих местах возникают усталостные трещины, трещины разрастаются, и это

приводит к разрушению детали.

106

Местные напряжения значительно выше

номинальных напряжений, возникающих в

гладких деталях.

Влияние концентрации напряжений учитывается коэффициентом К

а

.

К

σ

— эффективный коэффициент концентрации напряжений, зависит от формы поверхности.

Размеры детали. В деталях больших размеров возможны внутренняя неоднородность,

инородные

включения,

незаметные

микротрещины.

Влияние

размеров

учитывается

масштабным фактором K

d

.

K

d

— масштабный коэффициент, коэффициент влияния абсолютных размеров.

Характер обработки поверхности. Поверхность может быть шероховатой, покрытой

следами от резца, т. е. ослабленной, а может быть усиленной специальными методами

упрочнения: азотированием, поверхностной закалкой, цементацией. При отсутствии специаль-

ного упрочнения поверхностный коэффициент меняется от 0,6 до 1.

При специальной обработке он может быть больше единицы: поверхность оказывается

прочнее сердцевины.

К

F

— коэффициент влияния шероховатости;

К

у

— коэффициент влияния упрочнения, К

у

= 1,1 – 2,8.

Одновременный учет действия всех факторов, понижающих предел выносливости,

можно провести с помощью коэффициента

Предел выносливости в расчетном сечении будет равен

Основы расчета на прочность при переменных напряжениях

Расчеты по нормальным и касательным напряжениям проводятся аналогично.

Расчетные коэффициенты выбираются по специальным таблицам.

При

расчетах

определяют

запасы

прочности

по

нормальным

и

касательным

напряжениям.

Запас прочности по нормальным напряжениям:

Запас прочности по касательным напряжениям:

где σ

а

— амплитуда цикла нормальных напряжений; τ

а

— амплитуда цикла касательных

напряжений.

Полученные запасы прочности сравнивают с допускаемыми. Представленный расчет

является проверочным и проводится при конструировании детали.

Прочность при динамических нагрузках

Статическая нагрузка

Ранее во всех рассмотренных нами задачах предполагалось, что действующие нагрузки

статические, т. е. не изменяющиеся стечением времени. При проектировании машин обычно

сталкиваются с деталями, находящимися в неравномерном движении, что приводит к

появлению инерционных нагрузок.

Примером статической нагрузки или статического действия нагрузки может послужить

действие подвешенного на цепи груза. Это действие остается статическим, если груз будет

подниматься цепью с постоянной скоростью. Но тот же груз, поднимаемый цепью с

ускорением, будет действовать на цепь динамически. Для расчета цепи в данном случае мы

должны учесть не только вес груза, но и силу инерции груза.

107

Для примера рассмотрим расчет равномерно вращающегося тонкого кольца (рис. 1, a)

Рис.1

Для расчета примем следующие обозначения:

- средний радиус кольца;

- площадь поперечного сечения;

- удельный вес материала;

- угловая скорость кольца;

- ускорение силы тяжести.

Рассмотрим бесконечно малый элемент кольца массой

, вырезанный двумя плоскостями,

составляющими центральный угол

(рис. 2.11.1, б)

Элементарная сила инерции

9

(1)

Элементарная масса, выраженная через площадь сечения кольца

(2)

Элементарная сила инерции с учетом (2.11.02) будет равна

(3)

Для определения продольной силы

в поперечном сечении кольца рассмотрим равновесие

половины кольца под действием двух продольных сил

и суммы вертикальных составляющих

элементарных сил инерций:

откуда

(4)

Полагая, что в тонком кольце все волокна растягиваются одинаково, найдем напряжение в

сечении кольца

(5)

Определим теперь, на сколько удлинится радиус вращающегося кольца. Относительное

удлинение волокон кольца равны:

Из закона Гука

108

Откуда

(6)

Ударная нагрузка

К динамическому виду нагрузки относится так же ударная нагрузка. С явлением удара

приходиться иметь дело, когда скорость рассматриваемого элемента конструкции или

соприкасающихся с ним частей в очень короткий промежуток времени изменяется на конечную

величину. Определение силы удара весьма затруднительно, так как неизвестно время

соударения, поэтому в инженерной практике обычно пользуются энергетическим методом. В

качестве примера рассмотрим систему с одной степенью свободы (рис.2.11.2, а), которая

представляет собой пружину с коэффициентом жесткости

и падающий на нее груз массой

с

высоты

Рис.2.

Груз

при касании пружины будет обладать кинетической энергией

, которую можно

выразить через скорость

груза в момент касания или высоту

:

(7)

После того, как груз коснется пружины, он начет деформировать пружину. Кода вся

кинетическая энергия груза перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины, груз

остановится (рис.2, б), пружина получит свою наибольшую динамическую деформацию

, а

сила, сжимающая пружину, достигнет максимума. При составлении энергетического баланса

здесь нужно учитывать изменение потенциальной энергии

груза на динамической

деформации

:

.

(8)

Упругая энергия

сжатой пружины

(9)

Составим энергетический баланс

или

109

,

который перепишем в следующем виде

(10)

Рассматривая статическое равновесие упругой системы (рис.2, в), отношение силы тяжести

груза к жесткости пружины равно статической деформации пружины

:

Получили квадратное уравнение, из которого динамическая деформация определится как

(11)

Поскольку

знак

минус

в

этом

выражении

не

соответствует

физической

стороне

рассматриваемой задачи, следует сохранить знак плюс. Запишем выражение (11) в виде

(12)

Величину, стоящую в скобках называют коэффициентом динамичности

(13)

Коэффициент динамичности, выраженный через скорость груза в момент касания пружины с

учетом выражения (7) будет равен

(14)

Окончательно динамическая деформация пружины определится как

(15)

Динамический коэффициент показывает, во сколько раз деформация при ударе больше

деформации при статическом приложении нагрузки. В том же отношении изменяются

внутренние силы и напряжения:

(16)

Из анализа выражения (14) видно, что коэффициент динамичности зависит от

кинетической энергии падающего груза. В случае, если груз опускается на упругую систему

мгновенно без начальной скорости, динамическая деформация уже вдвое превышает

статическую. Соответственно в два раза большими оказываются и напряжения.

Коэффициент динамичности, а, следовательно, и динамические напряжения, также

зависят от жестокости упругой системы. При большей жесткости статические деформации

имеют меньшие значения, а динамические напряжения при этом увеличиваются. Поэтому

снижение напряжений при ударе может быть достигнуто уменьшением жесткости системы.

Зависимости для определения динамических напряжений и деформаций, полученные на

примере падения груза на пружину применимы и для других упругих систем (расчет на удар

при растяжении – сжатии, кручении и изгибе).

В каждом случае придерживаются следующего порядка расчета:

а) в месте падения груза к упругой системе прикладывают статическую нагрузку, равную весу

падающего груза;

б) определяют статическую деформацию упругой системы;

в) определяют напряжения в материале, возникающие от приложения статической нагрузки;

г) определяют коэффициент динамичности;

д) определяют динамические напряжения и деформации.

110

е) сравнивают напряжения при ударе с допускаемыми напряжениями:

(17)

Обычно коэффициент запаса

принимают равным

.

Полученные выше выражения получены без учета массы упругой системы, к которой

прикладывается ударная нагрузка. Учет массы дает меньшие значения динамических

напряжений,

поэтому,

рассчитывая

конструкции

без

учета

ее

массы,

мы

получаем

дополнительный запас прочности.

В некоторых случаях динамические напряжения не могут быть определены через

коэффициент динамичности. Для примера рассмотрим стальной стержень, который падает с

высоты

таким образом, что, оставаясь горизонтальным, он ударяется о жесткие

опоры. Длина стержня

, диаметр

, удельный вес материала

.

Рис. 3

Полагаем, что вся кинетическая энергия

, запасенная падающим стержнем до достижения им

опор, полностью перейдет в энергию деформации

стержня.

Потенциальная энергия деформации

Изгибающий момент в произвольном сечении балки, нагруженной равномерно распределенной

нагрузкой

Кинетическая энергия стержня в момент касания о жесткие опоры

Определим интенсивность инерционной равномерно распределенной нагрузки

, из условия

, или

.

.

Тогда максимальный изгибающий момент

Определяем максимальное динамическое напряжение в падающем стержне

111

Механические свойства материалов при ударе

Для проверки способности материала сопротивляться ударным нагрузкам проводят

испытания ударным изгибом – определение ударной вязкости надрезанных образцов. Эти

испытания проводят на маятниковых копрах (Рис.4, а). На рис. 2.11.4, б показан применяемый

при испытании образец. Разность высот маятника до и после удара позволяет вычислить работу

, израсходованную на разрушение образца.

Ударной вязкостью материала называется величина раоты разрушения образца,

отнесенная к площади поперечного сечения в месте надреза:

(18)

Рис. 4

Данные об ударной вязкости не могут быть использованы при расчете на прочность, но

они позволяют оценить особое качество металла – его склонность к хрупкости при

динамических нагрузках. Низкая ударная вязкость служит основанием для браковки материала.

Стали, применяемые для изготовления деталей, работающих при динамических нагрузках,

должны иметь ударную вязкость не менее

- Дж/м

2

.

Контрольные вопросы

1.

Изобразите графики симметричного и отнулевого циклов изменения напряжений при

повторно-переменных напряжениях.

2.

Перечислите характеристики циклов, покажите на графиках среднее напряжение и

амплитуду цикла. Что характеризует коэффициент асимметрии цикла?

3.

Опишите характер усталостных разрушений.

4.

Почему прочность при повторно-переменных напряжениях ниже, чем при постоянных

(статических)?

5.

Что называют пределом выносливости? Как строится кривая усталости?

6.

Перечислите факторы, влияющие на сопротивление усталости.

Тема 2.9 Устойчивость сжатых стержней

1.Устойчивость сжатых стержней. Критическая сила, критическое напряжение,

гибкость. Формула Эйлера. Формула Ясинского. Категории стержней в зависимости от их

гибкости. Методика расчета на устойчивость сжатых стержней.

Понятие об устойчивости. Задача Эйлера

До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих

в стержнях и соответственно, занимались оценкой их прочности и жесткости. Однако

оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гарантирует способности

конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с

112

выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и у с т о й ч и в о с т ь

к о н с т р у к ц и й .

При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью понимается свойство способности

системы сохранять свое первоначальное равновесное состояние. Если рассматриваемая система

таким свойством не обладает, то она называется н е у с т о й ч и в о й , а ее равновесное

состояние



н е у с т о й ч и в ы м с о с т о я н и е м .

При неизменной схеме нагружения, в процессе роста интенсивности нагрузок, явление

перехода системы от одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию,

называется п о т е р е й у с т о й ч и в о с т и с и с т е м ы . Значения внешних сил, при которых

происходит потеря устойчивости, называются к р и т и ч е с к и м и .

В некоторых случаях при потере устойчивости, система, переходя в новое устойчивое

равновесное состояние, продолжает выполнять свои функции. Однако в подавляющем

большинстве случаев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших

перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение

исходного (расчетного) равновесного состояния системы является важной задачей и одной из

основных проблем сопротивления материалов.

Рис. 7.1

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критического значения

внешних сил и ограничение их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери

устойчивости заданной системы в эксплуатационных режимах.

Пусть вертикальный стержень закреплен нижним концом, а на свободном верхнем конце цент-

рально приложена продольная сила Р (рис. 7.1). На начальном этапе нагружения равновесное

состояние системы определяется как простое продольное сжатие, так как на данном этапе

нагружения в поперечных сечениях стержня, за исключением продольной силы, остальные

силовые факторы равны нулю. При дальнейшем росте внешней силы Р, обнаруживается, что

при некотором ее значении P = P

KP

, стержень изогнется. Так как явление изгиба тесно связано с

действием изгибающих моментов, возникающих в поперечных сечениях стержня, можем

утверждать, что при P = P

KP

происходила смена формы равновесного состояния системы. Если

на начальном этапе нагружения P < P

KP

, равновесное состояние вертикального стержня

определялось как простое сжатие, то при P > P

KP

сжатие сопровождается изгибом. Это означает,

что при P = P

KP

происходила потеря устойчивости системы.

Заметим, что в данном случае, смена формы равновесного состояния сопровождается и сменой

формы

деформирования:

в

докритическом



прямолинейная

форма

деформирования,

в

закритическом



криволинейная, а в критическом



смешанная форма.

Заметим также, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при

напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней

должен выполняться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического

значения с точки зрения потери их устойчивости:

,

(7.1)

где Р

KP



значение сжимающей силы, при котором стержень переходит из прямолинейного

состояния равновесия к криволинейному; F



площадь сечения стержня.

113

Рис. 7.2

Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнирно

опертыми концами при действии центрально сжимающей силы Р (рис. 7.2).

Впервые эта задача была поставлена и решена Л.Эйлером в середине ХVIII века и носит его

имя.

Рассмотрим условия, при которых происходит переход от центрально сжатого состояния к

изогнутому, т.е. становится возможной криволинейная форма оси стержня при центрально

приложенной сжимающей силе Р. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в

плоскости минимальной жесткости, записывая дифференциальное уравнение упругой линии

балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем:

(7.2)

где I

x



минимальный момент инерции сечения.

Для определения выражения изгибающего момента M

x

(z), действующего в поперечном сечении

стержня, расположенном на расстоянии z

от начала системы координат, применяя метод

сечений к системе, изображенной на рис. 7.2 и рассматривая равновесие отсеченной части

системы, расположенной левее от заданного сечения, получим:

.

(7.3)

При положительном прогибе в выбранной системе координат знак “минус” означает, что

момент является отрицательным

Введем следующее обозначение:

.

(7.4)

Тогда уравнение (7.2) преобразуется к виду:

.

(7.5)

Решение (7.5) записывается в виде:

.

(7.6)

Постоянные С

1

и С

2

определяются из граничных условий задачи:

y

(0) = 0; y

(l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С

2

= 0, а из второго получается, что либо С

1

= 0 (что нам

неинтересно, т.к. в этом случае y

(z)



0), либо

sin

kl = 0.

(7.7)

Из (7.7) следует, что kl =



n, где n



произвольное целое число. Учитывая (7.4), получаем:

.

(7.8)

Это означает, что для того, чтобы центрально сжатый стержень принял криволинейную форму,

необходимо, чтобы сжимающая сила была равна какому



либо значению из множества Р

n

по

(7.8). Наименьшее из этих значений называется критической силой Р

KP

и будет иметь место при

n = 1:

Р

KP

=

.

(7.9)

Эта сила носит название первой крит ической э йлеровой силы .

Следовательно, согласно (7.6) при Р = Р

KP

выражение прогибов можно записать в следующем

виде:

114

.

(7.10)

Из (7.10) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов y

(z)

при различных n изображены на рис. 7.3.

Из (7.9) видно, что критическая с точки зрения устойчивости сила зависит от жесткости стерж-

ня и его длины, но никак не зависит от прочностных свойств материала стержня, т.е. два

стержня

одинаковой

длины

с

идентичными

граничными

условиями

их

закрепления,

изготовленных из различных материалов, но имеющих одинаковую изгибную жесткость,

теряют устойчивость при одном и том же значении сжимающей силы. В этом заключается

значительная разница между проверкой прочности стержня на сжатие и растяжение и

проверкой на устойчивость.

Рис. 7.3

При изменении условий закрепления концов стержня необходимо решение дифференциального

уравнения его изгиба, но уже в виде:

.

(7.11)

Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:

.

(7.12)

где





коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколько раз следует изменить длину

шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе

стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления. На рис. 7.4 показано несколько

видов закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента



.

Границы применимости решения Эйлера.

Формула Ясинского

Как показали опыты, решение Эйлера подтверждалось не во всех случаях. Причина состоит в

том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень

работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять

в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим

найдем границы применимости решения Эйлера:

,

(7.13)

где



радиус инерции сечения. Если стержень имеет одинаковые опорные закрепления

в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции, то при определении значения

критической силы и критического напряжения, необходимо брать наименьшее значение

момента инерции и, соответственно, радиуса инерции поперечного сечения.

115

Рис. 7.4

Введем понятие г ибкост и ст ерж н я :

.

Тогда (7.13) принимает вид:

.

(7.14)

Из (7.14) следует, что напряжение



КР

возрастает по мере уменьшения гибкости стержня.

Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и,

следовательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчивость в той главной

плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

Формула Эйлера неприемлема, если напряжения



КР

>



П

, где



П



предел пропорциональности.

Приравнивая (7.14) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

.

(7.15)

Если







ПРЕД

, то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться

нельзя. Для стали Ст.3



ПРЕД

= 100.

В

ситуациях,

когда

напряжения

превышают

предел

пропорциональности,

получение

теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями

становится нелинейной. В связи с этим, в этих случаях пользуются эмпирическими

зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических

по устойчивости напряжений:

,

(7.16)

где a, b



постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст.3 a = 3,1



10

5

кН/м

2

, b = 11,4



10

2

кН/м

2

.

При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0<



< 40



50, стержень настолько “короток”,

что его разрушение происходит по схеме сжатия, следовательно, критические напряжения

можно приравнять в этом случае к пределу пропорциональности. Обобщая вышесказанное,

зависимость критических напряжений



КР

от гибкости стержня



можно представить, как это

сделано на рис. 7.5.

116

Рис.7.5

Расчет сжатых стержней на устойчивость

Как правило, основная проблема при расчете сжатых стержней состоит в том, чтобы

сжимающие напряжения



не превышали бы критических значений по устойчивости



КР

, т.е.

.

(7.17)

При продольном изгибе центрально сжатый стержень теряет несущую способность, когда

напряжения в его поперечных сечениях достигают критических значений. Поэтому необходимо

ввести в расчет к о э ф ф и ц и е н т з а п а с а у с т о й ч и в о с т и n по отношению к критическим

напряжениям, с помощью которого и определяется допускаемое напряжение при расчете на

устойчивость:

.

При расчете же стержней на растяжение применяют условие



< R, где R



расчетное

сопротивление на растяжение.

Для унификации расчетов на растяжение и сжатие введем соотношение правых частей двух

последних неравенств:

,

(7.18)

откуда

. И тогда (7.17) можно записать так:



<



R.

Величина



носит название коэффициента уменьшения расчетного сопротивления при расчете

на сжатие и является функцией от гибкости стержня



(табл.1).

Таблица 1



Cт

2



4

Ст 5 Чугу

н

Дерев

о



Ст

2-4 Ст 5 Чугу

н

Дерев

о

0

1.00

1.00 1.00

1.00

110

0.52

0.43



0.25

10

0.99

0.98 0.97

0.99

120

0.45

0.36



0.22

20

0.96

0.95 0.91

0.97

130

0.40

0.33



0.18

30

0.94

0.92 0.81

0.93

140

0.36

0.29



0.16

40

0.92

0.89 0.69

0.87

150

0.32

0.26



0.14

50

0.89

0.86 0.57

0.80

160

0.29

0.24



0.12

60

0.86

0.82 0.44

0.71

170

0.26

0.21



0.11

70

0.81

0.76 0.34

0.60

180

0.23

0.19



0.10

80

0.75

0.70 0.26

0.48

190

0.21

0.17



0.09

90

0.69

0.62 0.20

0.38

200

0.19

0.16



0.08

117

10

0

0.60

0.51 0.16

0.31

Таким образом, окончательно формула для расчета стержней на устойчивость принимает

следующий вид:

.

(7.19)

Несмотря на простоту выражения (7.19) расчет сжатых стержней производится, как правило, в

несколько этапов. Это связано с тем, что величина



зависит от формы и размеров сечения,

поэтому не может быть назначена заранее. В связи с этим, подбор сечения осуществляют

итеративно, постепенно приближаясь к тому, чтобы разница между напряжением сжатия



и

расчетным сопротивлением на растяжение R не превышала бы 3



5.

П р и м е р р а с ч е т а

Рис. 7.6

Заданную стойку двутаврового (№30) поперечного сечения центрально сжатую силой Р

(рис. 7.6, а), рассчитать на устойчивость, а также указать положительные и отрицательные

стороны конструкции этой стойки. В целях минимизации расходов материальных ресурсов

можно заменить двутавровое сечение стойки более рациональным сечением из двух швеллеров,

соединенных планками на сварке (рис. 7.6, б). Подобрать сечения из двух швеллеров и сравнить

результаты по площади с сечением из двутавра. Материал стоек



сталь Ст.3, расчетное

сопротивление при растяжении R = 1,9



10

5

кПа.

Р е ш е н и е

1. Расчет н а уст ойчивост ь ст ойки из д вут авра . Проверка устойчивости сжатых

стержней производится по формуле (7.19). Из сортамента ГОСТ 8239



72 выписываем

необходимые данные для двутавра №30: F = 46,5



10



4

м

2

; i

x

= 0,123 м; i

y

= 0,0269 м.

Тогда из формулы (7.19) имеем:

Р =



F

R

.

(7.20)

Для нахождения величины



нужно знать максимальную гибкость стойки, которая определится

из формулы

,

где l

0



приведенная (свободная) длина стойки, l

0

=



l. Здесь





коэффициент приведенной

длины, зависящий от способа закрепления концов стойки (для нашего примера



= 0,5),

l



длина стойки; i

min



минимальный радиус инерции сечения стойки (в данном случае



радиус

инерции относительно оси y). Таким образом,

.

По табл. 5 находим



при



= 55,76, интерполируя до третьего знака после запятой:

при



= 50



= 0,89;

при



= 60



= 0,86.

118

Поэтому при



= 55,76

Подставляя значения F,



и R в формулу (7.20), получим допустимое значение сжимающей

силы с точки зрения устойчивости рассматриваемой стойки:

Р = 0,873



46,5



10

-4



1,9



10

5

= 771 кН.

Преимуществом стойки из двутавра является простота конструкции и малая трудоемкость

изготовления и монтажа, недостатком



неравная устойчивость в разных плоскостях.

2. П од бор сечен ия ст ойки из д вух ш веллеров . При рассмотрении этого вопроса

составное сечение стойки следует рассматривать как цельное, и поэтому расчет приведенной

гибкости можно не выполнять. Подбор составного сечения стойки будем производить путем

последовательного приближения. Для этого задаемся произвольным значением



, подбираем

сечение и сопоставляем возникающие в нем напряжения с расчетным сопротивлением. Эта

операция производится до тех пор, пока напряжение, возникающее в стойке, будет достаточно

близким к расчетному сопротивлению (отклонение не должно превышать



5).

Примем



= 0,6. Из (7.20) определим требуемую площадь F сечения двух швеллеров:

По ГОСТ 8240



72 принимаем швеллер № 24а, для которого

.

Для обеспечения равноустойчивости стойки из двух швеллеров нужно, чтобы гибкость ее была

примерно одинаковой в обеих плоскостях. Для принятого сечения из двух швеллеров

определим максимальную гибкость:

.

По табл. 5 находим значение



для полученной гибкости:

при



= 10



= 0,99;

при



= 20



= 0,97.

Для



= 15,24:

; F = 2

F

шв

= 0,00658 м

2

.

Определяем напряжение в стойке:

кПа



R

.

Недонапряжение составляет

Необходимо уменьшить сечение стойки. Принимаем стойку из швеллеров № 20 (F

шв

= 0,00234

м

2

; i

x

= 0,0807 м). Определим гибкость:

По табл. 5 для



= 18,59 находим:



= 0,973, и учитывая, что F = 2F

шв

= 0,00468 м

2

, получим:

кПа



R.

Недонапряжение составляет

119

Принимаем

стойку

из

швеллеров

№18

(F = 0,00207 м

2

;

i

x

=

= 0,0724 м), гибкость которой принимает значение:

По табл. 5 для



= 20,72 находим:



= 0,973; F = 0,0414 м

2

:

кПа.

Перенапряжение составляет

,что допустимо.

Окончательно принимаем стойку из двух швеллеров №18. Из сортамента ГОСТ 8240



72

выписываем необходимые данные:

I

x

= 1090



10



8

м

4

, I

y

=

86



10



8

м

4

, z

0

=

0,0194 м, h

=

0,18 м, b =

0,07

м.

Момент инерции поперечного сечения стойки из двух швеллеров относительно оси x:

Момент инерции составного сечения относительно оси y можно изменять, сближая

или удаляя швеллеры один относительно другого. Определим расстояние между швеллерами из

условия, что I

y

= 1,2



I

x

. Из рис. 7.6, б имеем с = а +2



z

0

,

где а



расстояние между собственными

осями y каждого из швеллеров. Тогда:

,

отсюда

м.

Монтажное расстояние между швеллерами будет с = а + 2



z

0

= = 0,1537 + 2



0,0194 = 0,1925 м,

принимаем c = 0,192 м. Сравнивая сечение из двух швеллеров с заданным двутавровым, видим,

что

площадь

заданного

сечения

составляет

46,5



10



4

м

2

,

а

полученного

из

двух

швеллеров



41,4



10



4

м

2

. Таким образом, расход металла на стойку из двух швеллеров (без

учета металла на соединительные планки) будет меньше в 46,5/ 41,4 = 1,12 раза, или на 12,

чем на стойку из одного двутавра.

Однако конструкция стойки из двух швеллеров трудоемка в изготовлении по сравнению со

стойкой из двутавра. Экономическое преимущество подобранного сечения стойки, состоящего

из

двух

швеллеров,

по

сравнению

с

двутавром,

объясняется

более

рациональным

распределением ее изгибных жесткостей в различных направлениях. Это приводит к

выравниванию значений моментов инерции относительно главных центральных осей инерции

сечения и тем самым, к равноустойчивости стойки в указанных направлениях.

Это

положение

является

важным

обстоятельством

для

разработки

оптимальных

конструктивных решений с позиции устойчивости.

Контрольные вопросы:

1.Понятие об устойчивости.

2.Задача Эйлера. Границы применимости решения Эйлера.

3.Формула Ясинского.

4. Алгоритм расчета сжатых стержней на устойчивость

Раздел 3 Детали машин

Тема 3.1 Соединения деталей машин

120

1.Характер соединения основных сборочных единиц и деталей. Сварные и клеевые

соединения. Соединения с натягом. Резьбовые соединения. Шпоночные соединения

1. Сварные соединения

Сваркой называют процесс образования неразъемных соединений за счет создания

атомно-молекулярных связей между элементарными частицами сопрягаемых деталей.

В последнее время разработаны технологии сварки металлов и их сплавов в однородных

и разнородных сочетаниях, а также неметаллических материалов между собой и с металлами.

В зависимости от метода получения соединений сварку делят на

сварку плавлением и сварку давлением.

При сварке плавлением детали соединяют с помощью местного расплавления элементов

соединяемых частей. Расплавляется только основной металл изделия по кромкам или основной

и дополнительный металл (электрод и присадочный материал).

Различают

электрическую

и

химическую

(газовую)

сварки

плавлением.

Чаще

применяется электросварка плавлением.

При сварке давлением поверхности соединяемых деталей претерпевают совместную

упруго-пластическую деформацию, поверхности выравниваются, разрушается поверхностный

слой. Атомы поверхностей сближаются на расстояние активного взаимодействия, и образуется

металлическая связь. Применяется предварительный нагрев поверхностей до пластического

состояния.

Наибольшее распространение получила электроконтактная сварка. Сварка давлением

применяется при массовом и серийном производстве в заводских условиях.

Оценка сварных соединений

Достоинства сварных соединений:



возможность механизации и автоматизации процесса сварки;



высокое качество сварных соединений и рациональное использование металла сделали

сварку экономически выгодным процессом; экономия металла достигается отсутствием

отверстий, ослабляющих сечение соединяемых листов, меньшему весу соединительных

элементов. Экономия металла по сравнению с заклепочными соединениями составляет

10...20 %;



по сравнению с заклепочными соединениями трудоемкость соединения ниже, а

производительность выше.

Применение сварки вместо литья и обработки резанием также приводит к экономии

металла. Особенно выгодна сварка при единичном и мелкосерийном производстве.

Недостатки сварных соединений:



термические деформации в зоне шва и околошовной зоне могут приводить к трещинам и

снижению прочности;



характерная форма швов приводит к концентрации напряжений;



механическая, химическая, физическая и структурная неоднородность шва.

В целом сварные конструкции вытеснили клепаные из машиностроения, за исключением

некоторых специальных случаев.

Виды сварных соединений и сварных швов

121

Рис. .1. Классификация сварных швов и соединений

Рис. 2. Формы сечения угловых швов: а — нормальный; б — вогнутый; в — выпуклый; г — специальный улучшенный

В зависимости от взаимного расположения свариваемых элементов различают следующие

сварные соединения:



стыковое;



угловое;



тавровое;



нахлесточное.

Соединения, изображенные на рис. 1, выполняют электродуговой и газовой сваркой по

стандартам. Различают следующие виды

сварных швов:

стыковой, угловой, точечный, с

проплавленными швами.

Стыковые швы

используют в основном в стыковых соединениях, бывают случаи

применения в угловых, тавровых и нахлесточных соединениях. Стыковые швы могут быть

односторонними, двусторонними, без скоса и со скосом кромок различных конструкций, могут

выполняться на съемной или остающейся подкладке. Конструкция стыкового шва зависит от

толщины свариваемых деталей.

Угловые швы используют в тавровых, угловых и нахлесточных соединениях. Основной

геометрический параметр углового шва — катет. Угловые швы выполняют с полным и

частичным проплавлением,

они бывают сплошные и прерывистые, односторонние и

двусторонние.

Точечные швы применяют обычно только в нахлесточных соединениях.

Расчеты сварных швов при статических нагрузках

Расчет стыковых соединений при осевом нагружении.

Считаем,

что

напряжения

распределены

в

сечении

равномерно. Расчет проводят на растяжение или сжатие.

Возвышение шва в расчете не учитывается. Толщина шва

приравнивается толщине детали (рис. 20.3).

Условие прочности сварного шва

где [а

р

]' — допускаемое напряжение растяжения для шва; А' — расчетная площадь сварного

шва; δ — толщина листа; /

ш

— длина сварного шва.

Расчет нахлесточного соединения угловыми швами. Разрушение угловых швов происходит по

наименьшему

сечению

треугольника

шва

—

по

плоскости, проходящей через биссектрису прямого угла.

Катет шва к, как правило, выбирают равным толщине

свариваемых листов (рис. 20.4): к = δ.

Условие прочности на сдвиг

122

Рис. 5. Нахлесточные соединения: а — лобовыми швами;

б — фланговыми швами; в — комбинированное

где Q — поперечная сила, Q= F; А'

с

— расчетная площадь сварочного шва на сдвиг.

Формула

подходит

для

лобовых и фланговых швов (рис. 5).

Допускаемые

напряжения

для

металла швов выбираются в зависи-

мости

от

типа

сварки

и

вида

деформации

в

долях

от

допускаемого

напряжения

растяжения

основного

металла.

Данные для расчетов помещены в

табл. П28 Приложения.

Условия прочности для сварных швов, изображенных на рис. 5:

В расчетах можно использовать данные табл. П28, П29 Приложения.

Резьбовые соединения

Резьбовые соединения — разъемные соединения с помощью крепежных деталей или

резьбы, непосредственно нанесенной на соединяемые детали.

Резьба образуется путем нанесения на поверхность деталей винтовых канавок с

различным профилем.

Профили резьб

Профили крепежных резьб треугольные. Основная треугольная резьба — метрическая

(рис. 16.1, а) с углом профиля 60°. Метрические резьбы делятся на резьбы с крупным и мелким

шагом, за основную крепежную резьбу принята резьба с крупным шагом. Метрическую резьбу

обозначают буквой М и наружным диаметром резьбы; в мелких резьбах дополнительно

указывают шаг резьбы.

Например, М20 — метрическая резьба с крупным шагом и наружным диаметром 20 мм;

М20х1,5 — метрическая резьба с мелким шагом, равным 1,5 мм, наружным (номинальным)

диаметром 20 мм.

К крепежным резьбам относится дюймовая резьба (рис. 16.1, б) с треугольным профилем

(угол профиля 55°). Дюймовая резьба не стандартизована и для новых изделий не используется.

Для соединений труб применяется специальная трубная резьба (рис. 16.1, в) — мелкая

дюймовая крепежно-уплотнительная резьба.

За

основной размер трубы, указанный в

обозначении, принят внутренний диаметр.

Обозначение трубной резьбы: G1 — цилиндрическая трубная резьба, размер 1 дюйм.

В специальных случаях применяют круглые (рис. 16.1, г) и конические (рис. 16.1, д, е) резьбы.

Резьбы, применяемые для крепежа деталей, должны по возможности создавать

большое трение при завинчивании и вывинчивании. Угол подъема и профиль крепежных резьб

обеспечивают самоторможение — надежное стопорение гайки (винта) в любом положении.

При вибрациях и переменных нагрузках самоторможения недостаточно, поэтому используют

специальные стопорные детали (рис. 16.2).

В винтовых механизмах трение вредно, так как снижает КПД машины.

Профили

ходовых резьб

(используемых в передачах винт — гайка) обеспечивают

минимальное трение в резьбе. Минимальное трение возникает в резьбе прямоугольного профиля

123

Рис. 16.1. Типы и геометрические параметры крепежной (а—е) и ходовой (ж— и) резьбы:

а — метрическая; б — дюймовая; в — трубная; г — круглая; д — метрическая коническая; е — трубная

коническая; ж — прямоугольная; з — трапецеидальная; и — упорная

Рис. 16.2. Способы стопорения крепежных деталей:

а — пружинной шайбой; б — двумя гайками; в — шплинтами;

г — приваркой или кернением; д — проволокой

(рис. 16.1, ж), но основной резьбой для передачи винт — гайка является трапецеидальная

резьба (рис. 16.1, з), более удобная в изготовлении и более прочная, чем прямоугольная. Для

механизмов с большой односторонней осевой нагрузкой (домкраты, нажимные устройства)

используется упорная резьба (рис. 16.1, и)

Обозначение трапецеидальной резьбы: Тг30х40 — наружный диаметр 30 мм, шаг 4 мм.

Обозначение упорной резьбы: S30x4 — наружный диаметр резьбы 30 мм, шаг 4 мм.

Крепежные резьбовые соединения и их детали

Основными резьбовыми соединениями являются соединения винтами с гайками (болтовые) и

без гаек и соединения шпильками.

Болтовые соединения

наиболее

простые и дешевые, поскольку

не требуют нарезания резьбы на

соединяемых

деталях,

но

требуют места для размещения

гаек.

Винт

ввинчивают в резьбовое

отверстие детали.

Соединения

шпилькой

применяют там, где требуется

частая разборка. Болты, винты,

шайбы и гайки стандартизованы,

конструкции их разнообразны.

В зависимости от характера нагружения и способа сборки деталей резьбовых соединений их

делят на соединения без предварительной затяжки и с предварительной затяжкой.

124

Материалы

Стандартные

крепежные

детали

общего

назначения

изготовляют

из

низко-

и

среднеуглеродистых сталей обыкновенного качества СтЗ, качественных сталей — сталь 10, 20,

35 и др.

Стальные винты, болты и шпильки изготовляют из материалов 12 классов прочности,

которые обозначаются двумя числами: первое число, умноженное на 100, равно пределу

прочности материала; если первое число умножить на второе и на 10, получим предел

текучести материала. Например, 4,6: а

в

= 400 МПа, а

т

= 240 МПа.

Для ответственных деталей используют легированные стали 40Х, 30ХГСА.

Для повышения коррозионной стойкости резьбовые детали оксидируют, омедняют,

оцинковывают.

Причины выхода из строя и критерии работоспособности крепежных деталей

Выход из строя винтов, болтов и шпилек происходит вследствие

разрыва стержня по резьбе или переходному сечению под головкой болта; смятия, износа, среза

резьбы; разрушения головки.

Прочность является основным критерием работоспособности крепежных деталей.

Стандартные

крепежные

детали

рассчитывают

по

главному

критерию

работоспособности — прочности стержня на растяжение.

Расчет одиночных болтов при постоянной нагрузке

Опасное сечение — сечение по резьбе; диаметр опасного сечения

— внутренний диаметр резьбы (табл. П32 Приложения).

1. Расчет незатянутого болта при действии осевой силы. Стержень

болта работает только на растяжение (рис. 16.3). Проектировочный расчет

болта выполняют по формуле

где d

p

— минимальный расчетный диаметр болта; F — внешняя осевая

сила.

Расчет затянутого болта, нагруженного внешней растягивающей

силой.

Для обеспечения плотности стыка и жесткости соединения болты

(винты, шпильки) затягивают. В затянутом резьбовом соединении полная

нагрузка на болт составляет

где F

0

— сила предварительной затяжки; χ — коэффициент внешней нагрузки, учитывающий,

какая часть внешней нагрузки при совместной деформации болта и деталей стыка приходится

на болт; χ = 0,2...0,3 при соединении деталей без прокладки, χ = 0,4...0,5 при соединении де-

талей с упругой прокладкой (резина, картон и др.).

Затянутый болт растянут и скручен за счет трения в резьбе и под головкой болта.

Эквивалентное напряжение в стержне по гипотезе формоизменения

Для метрической резьбы

Расчет болта при совместном действии растяжения и кручения сводится к расчету на

растяжение по увеличенной растягивающей силе.

Расчет болтов для крепления крышек цилиндров, находящихся после затяжки под

давлением (рис. 16.4). Используя формулу для определения полной нагрузки на болт, можно

записать окончательную расчетную формулу с учетом кручения:

125

Рис. 16.4. Схема к расчету затянутого болта под действием внешней силы

Рис. 16.5. Схема к расчету затянутого болта под действием поперечной силы:

а — без зазора; б — с зазором.

где F

0

— сила предварительной затяжки болта, рассчитывается из условия нераскрытия стыка;

F — часть внешней силы в расчете на один болт, z — число болтов.

Расчетный

диаметр

болта

определяют

по

формуле

где [σ

р

] = σ

т

/[s]; σ

т

— предел текучести

материала;

[s]

—

коэффициент

запаса

прочности,

зависящий

от

условий

работы,

материала и диаметра резьбы.

В начале расчета величина [s] задается ориентировочно, после расчета уточняется.

Расчет болта под действием поперечной силы, болт установлен без зазора (рис. 16.5, а).

Болт установлен в отверстие из-под развертки, работает на срез и смятие.

Условие прочности на срез:

Проверочный расчет на смятие:

Расчет болта под действием поперечной силы, болт установлен в отверстие с зазором

(рис. 16.5, б).

Необходимая затяжка создает силу трения, препятствующую сдвигу деталей под

действием внешней силы. Затянутый болт работает на растяжение и скручен за счет трения в

резьбе.

Потребная затяжка

126

Рис. 17.1. Классификация шпоночных соединений

где i — число плоскостей трения; К — коэффициент запаса сцепления, К = 1,3...1,5.

На рис. 16.5, б число плоскостей трения i = 2.

Влияние скручивания болта при затяжке учитывают, увеличивая расчетную нагрузку на

30 %:

Формулы для проверочного расчета болтов:

болт растянут и скручен:

болт работает на сдвиг:

Шпоночные соединения

Шпоночные соединения служат для окружной фиксации деталей на валах и осях и

передачи вращающего момента (рис. 17.1).

Шпоночные соединения бывают ненапряженными, в них используют призматические и

сегментные шпонки, которые при сборке не вызывают деформации вала и ступицы.

Напряжение соединения создается клиновыми и тангенциальными шпонками. Клиновые

шпонки представляют собой призмы со скошенной стороной с уклоном и при сборке

соединения вызывают радиальное смещение ступицы относительно вала, поэтому применение

клиновых шпонок ограничено единичным производством и тихоходными передачами.

Размеры шпонок и сечений пазов стандартизованы. Шпоночные пазы на валах

выполняют

фрезерованием

дисковыми

и

концевыми

фрезами,

а

ступицы

колес

—

протягиванием.

В основном применяют ненапряженные соединения

призматическими шпонками.

Шпонки выполняют со скругленными и плоскими концами. Шпонки закладывают в паз вала.

127

Рис. 17.2. Расчетная схема шпоночного соединения

Рис. 18.1. Типы прямобочных (а—в), эвольвентных (г—д) и треугольных (е) шлицевых соединений:

а — центрирование по d;

б — центрирование по D;

в — центрирование по r,

е — центрирование по боковым поверхностям;

д — центрирование по D;

d — внутренний диаметр шлица; D — наружный диаметр шлица;

b — ширина шлиц

Если при работе ступица перемещается по валу (подвижные соединения), используют направ-

ляющие призматические шпонки с креплением на валу (табл. ПЗЗ Приложения).

Соединения

сегментными

шпонками

являются

разновидностью

призматических

(табл.

П34

Приложения).

Призматические

и

сегментные

шпонки работают боковыми гранями (рис. 17.2).

Сегментные

шпонки

просты

в

изготовлении,

удобны при монтаже. Глубокая посадка шпонки на

валу

предохраняет

ее

от

выворачивания,

но

слишком глубокий паз сильно ослабляет сечение

вала, поэтому сегментные шпонки применяют при

передаче небольших вращающих моментов и для

установки деталей на осях.

Клиновые шпонки забивают в паз вала. Рабочими

поверхностями клиновых шпонок являются верхняя и нижние грани, по боковым граням

имеется зазор.

Расчет шпоночных соединений

Критерием

работоспособности

соединения

призматическими

шпонками

являются

сопротивление смятию боковых поверхностей.

Поперечное сечение шпонки подбирают по каталогу по диаметру вала, потребная длина

шпонки l определяется по длине ступицы l = l

ст

– 10 мм и уточняется по каталогу (см. табл. ПЗЗ

Приложения). Выбранная шпонка проверяется на прочность.

Призматическая шпонка работает на смятие и срез. Стандартные шпонки на срез не

рассчитывают, поскольку условие прочности на срез учтено при конструировании.

Условие прочности на смятие

где Т — вращающий момент; А

см

— площадь смятия; h — высота шпонки; l

р

— расчетная

длина; для шпонок с плоскими концами l

р

= l, для шпонок с закругленными концами l

p

= I - b; b

— ширина шпонки; l, — глубина паза на валу.

Допускаемое напряжение смятия при стальной ступице [а

см

] = 130...200 МПа.

Соединение сегментными шпонками проверяют на смятие и срез, так как шпонка узкая.

Условие прочности на срез

Допускаемое напряжение среза [т

с

] = 70... 100 МПа.

Если условие прочности на смятие не выполняется, на вал устанавливают две шпонки.

Установка нескольких шпонок сильно ослабляет вал, поэтому в таких случаях

используют шлицевые (зубчатые) соединения.

Шлицевые (зубчатые) соединения

Шлицевые

(зубчатые)

соединения

образуются

наружными

зубьями

на

валу

и

внутренними зубьями в отверстии ступицы. Зубья на валу выполняют фрезерованием,

строганием, иногда накатыванием, зубья в отверстии — протягиванием или долблением.

По форме боковых поверхностей зубья шлицевых соединений выполняют прямобочными,

эвольвентными и треугольными (рис. 18.1).

128

Рис. 18.2. Расчетная схема шлицевых соединений

Наиболее распространены соединения с

прямобочными

шлицами. Соединения с

эволъвентными шлицами более технологичны и обладают большой несущей способностью.

Соединения с треугольными шлицами применяют реже, для тонкостенных валов и ступиц.

Центрирование

Выбор типа центрирования колеса на валу определяется требованиями к точности

соединения, твердостью ступицы и вала и требованиями сборки. На рис. 18.1 изображены

конструкции зубьев в зависимости от способа центрирования.

При незакаленных колесах применяют наиболее технологичное центрирование по

наружному диаметру. При твердости деталей НВ > 350 используют центрирование по

внутреннему диаметру. Центрирование по боковым поверхностям применяют в условиях

динамического или реверсивного нагружения, поскольку оно обеспечивает более равномерное

распределение нагрузки между зубьями.

Расчет шлицевых (зубчатых) соединений

Критерием работоспособности соединений является сопротивление смятию боковых

поверхностей.

Расчет производится по наибольшему длительно действующему моменту. Основными

геометрическими параметрами прямобочных соединений являются число шлицов, внутренний

и наружный диаметры.

В зависимости от числа шлицов и их высоты стандарт предусматривает три серии

соединений: легкую, среднюю и тяжелую (табл. П35 Приложения).

Легкая серия рекомендуется для неподвижных соединений, средняя — для подвижных,

тяжелая — для передачи больших моментов.

Шлицевые эвольвентные соединения характеризуются числом зубьев, модулем и

наружным диаметром. При одинаковом наружном диаметре вала можно выбрать разное число

зубьев при соответствующем модуле (табл. П36 Приложения).

По внутреннему (расчетному) диаметру вала подбирают шлицевое соединение и

проверяют на прочность по напряжениям смятия на боковой поверхности зуба (см. табл. П35,

П36 Приложения).

Расчет

прямобочных

шлицевых

соединений

выполняют по формуле

где d

cp

— средний диаметр шлицов,

А

см

— площадь поверхности смятия,

; l — длина ступицы колеса; z — число

шлицов.

Окончательно

для

прямобочных

шлицевых

соединений

Расчет эвольвентных шлицевых соединений выполняют по формуле

129

где d — диаметр делительной окружности, d = mz:;

А

см

— площадь поверхности смятия, А

ш

= 0,8mlz; т — модуль зубьев эвольвентных шлицов.

В приведенных формулах предполагалось, что нагрузка распределена по боковой

поверхности равномерно.

При расчете шлицевых соединений обычно учитывают неравномерность распределения

нагрузки по зубьям коэффициентом K = 0,7...0,8.

Допускаемые напряжения смятия для неподвижных соединений [а

см

] = 30...70 МПа, для

подвижных соединений с закаленными поверхностями [а

см

] = 5...15 МПа.

Неразъемные соединения. Заклепочные соединения

Неразъемным

соединением

является

соединение,

которое

нельзя

разобрать

без

разрушения или повреждения.

Заклепочные (клепаные) соединения относятся к неразъемным соединениям.

Заклепочное соединение состоит из листов, соединенных с помощью заклепок,

вставленных в отверстия в деталях. Соединение образуется расклепыванием стержня,

формируется замыкающая головка. При расклепывании стержень заклепки осаждается и

полностью заполняет отверстие.

По назначению заклепочные соединения разделяют на

прочные

(для восприятия

внешних нагрузок) и прочно-плотные, обеспечивающие также герметичность соединения.

Оценка заклепочных соединений

Достоинства заклепочных соединений:



хорошо

работают

в

конструкциях,

подверженных

вибрациям

и

повторным

динамическим нагрузкам, где сварные соединения недостаточно надежны;



применяют

для

соединения

материалов,

не

поддающихся

сварке

или

трудносвариваемых, не допускающих нагрев при сварке, коробящихся или меняющих

механические характеристики.

Недостатки заклепочных соединений:



повышенная металлоемкость;



трудоемкость изготовления;



невысокая технологичность.

Высокая

металлоемкость

связана

с

ослаблением

сечения

листов

отверстиями,

необходимостью увеличить толщину листов и с большим весом заклепок, составляющим до 5

% веса конструкции.

Трудоемкость связана с большим числом подготовительных операций, а процесс клепки

сложнее сварки.

Материалы и конструкции заклепок

Материал заклепок зависит от материалов соединяемых деталей. При соединении деталей из

легких сплавов используют заклепки из

алюминиевых сплавов.

Иногда во избежание

образования

гальванических

пар

алюминиевые

заклепки

покрывают

антикоррозийным

покрытием.

Детали из сталей соединяют стальными заклепками соответствующих марок

Конструкции заклепок разнообразны. Наиболее часто применяют сплошные стержневые

заклепки с полукруговой головкой; в авиационной технике и в местах, где требуется

обтекаемость, используют заклепки с потайной и полупотайной головками. Соединения из

мягких материалов выполняют с пустотелыми заклепками. Заклепки с широкой головкой

применяют для соединения тонких листовых материалов (рис. 19.1).

130

Рис. 19.1. Основные типы заклепок: а — с полукруглой головкой; б — с потайной головкой; в — с полупотайной головкой; г — пустотелая; д — с широкой головкой; е — с плоской головкой

Рис. 19.2. Классификация заклепочных соединений

Классификация заклепочных соединений

Различают



нахлесточные заклепочные соединения,



соединения с одной и двумя накладками.

Используются



однорядные,



двухрядные и



многорядные соединения.

Заклепки могут устанавливаться в шахматном порядке для увеличения прочности и

облегчения установки заклепок. Увеличение рядов больше трех незначительно повышает

прочность, поэтому многорядные швы применяют редко. Виды заклепочных соединений

помещены в Приложении и на рис. 19.2.

Расчет на прочность элементов заклепочного шва

На основные размеры заклепочных соединений выработаны нормы, геометрические

размеры заклепок стандартизованы.

Диаметр заклепки назначают по рекомендации

где h — толщина соединяемых листов, и уточняют по стандарту.

Расстояние между рядами заклепок t = 2d + 8; расстояние от центра крайней заклепки до

края листа е = 2d (см. табл. ПЗО Приложения).

Обычно заклепочное соединение нагружено продольными силами, стремящимися

сдвинуть соединяемые детали относительно друг друга. Расчет заклепок сводится в этом случае

к

расчету на срез.

При центрально действующей силе считают, что внешняя сила

распределяется между заклепками соединения равномерно. Трение в стыке не учитывают.

1. Расчет односрезного соединения (рис. 19.3).

Нагрузка на одну заклепку

131

Рис. 19.3. Схема односрезного заклепочного соединения

Рис. 19.4. Схема двухсрезного заклепочного соединения

где F — нагрузка на соединение; z — число заклепок.

Условие прочности на срез (сдвиг)

где d

3

— диаметр заклепки; [т

с

] — допускаемое напряжение среза, [т

с

] = 0,2а

в

; а

в

— временное

сопротивление материала. Необходимое число заклепок из расчета на срез

Расчет двухсрезного соединения (рис. 19.4).

Площадь среза заклепки

Условие прочности на срез

где / — число площадок среза.

Необходимое число заклепок с одной стороны от

стыка

Расчет заклепок и листов на смятие (см. рис. 19.3). Площадь смятия

где δ

min

— минимальная толщина листа (толщина наиболее тонкого листа).

Условие прочности на смятие

где [а

см

] — допускаемое напряжение смятия;

а

в

— временное сопротивление материала детали.

Необходимое число заклепок из расчета на смятие соединяемых деталей

Расчет соединяемых листов на растяжение. Расчет проводится в сечении I — I, ослабленном

отверстиями под заклепки (см. рис. 19.3).

Условие прочности

где δ — меньшая из толщин листов; b — ширина листа; z' — число заклепок в ряду.

При расчетах использовать табл. ПЗО Приложения, там же помещены рекомендации по

определению шага заклепок t и расстояния от заклепки до края листа е.

Тема 3.2 Передачи

132

1.Трение, его виды, роль в технике. Общие сведения о передачах: виды передач, их

устройство. Назначение передач по принципу действия и принципу передачи движения.

Преимущества и недостатки. Условные обозначения на схемах. Основные кинематические

и силовые соотношения в передачах.

Трение, его виды, роль в технике

Трение

(фрикционное

взаимодействие)

-

процесс

взаимодействия

тел

при

их

относительном движении (смещении) либо при движении тела в газообразной или жидкой

среде.

Изучением процессов трения занимается раздел физики, который называется трибология

(механика фрикционного взаимодействия).

Трение принято разделять на:



сухое,

когда

взаимодействующие

твёрдые

тела

не

разделены

никакими

дополнительными

слоями

/

смазками

(в

том

числе

и

твёрдыми

смазочными

материалами)

-

очень

редко встречающийся на

практике

случай; характерная

отличительная черта сухого трения - наличие значительной силы трения покоя;



граничное, когда в области контакта могут содержаться слои и участки различной

природы (окисные плёнки, жидкость и так далее) - наиболее распространённый случай

при трении скольжения;



жидкостное

(вязкое), возникающее при взаимодействии тел, разделённых слоем

твёрдого тела (порошком графита), жидкости или газа (смазки) различной толщины - как

правило, встречается при трении качения, когда твёрдые тела погружены в жидкость,

величина вязкого трения характеризуется вязкостью среды;



смешанное, когда область контакта содержит участки сухого и жидкостного трения;



эластогидродинамическое (вязкоупругое), когда решающее значение имеет внутреннее

трение в смазывающем материале. Возникает при увеличении относительных скоростей

перемещения.

Сила трения – это сила, возникающая в месте соприкосновения тел и препятствующая их

относительному движению.

Причины возникновения силы трения:



шероховатость соприкасающихся поверхностей;



взаимное притяжение молекул этих поверхностей.

Трение скольжения

- сила, возникающая при поступательном перемещении одного из

контактирующих / взаимодействующих тел относительно другого и действующая на это тело в

направлении, противоположном направлению скольжения.

Трение качения - момент сил, возникающий при качении одного из двух контактирующих /

взаимодействующих тел относительно другого.

Трение

покоя

-

сила,

возникающая

между

двумя

контактирующими

телами

и

препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть

для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга.

Сила трения прямо пропорциональна силе нормальной реакции, то есть зависит от того,

насколько сильно тела прижаты друг к другу и от их материала, поэтому основной

характеристикой трения является коэффициент трения, который определяется материалами, из

которых изготовлены поверхности взаимодействующих тел.

Износ - изменение размеров, формы, массы или состояния поверхности изделия вследствие

разрушения (изнашивания) поверхностного слоя при трении.

Работа любой машины неизбежно сопровождается трением при относительном движении её

частей,

поэтому

полностью

устранить

износ

невозможно.

Величина

износа

при

непосредственном контакте поверхностей прямо пропорциональна работе сил трения.

Абразивный износ частично вызывается действием пыли и грязи, поэтому очень важно

содержать оборудование в чистоте, особенно её трущиеся части.

133

Для борьбы с износом и трением заменяют одни металлы другими, более устойчивыми,

применяют

термическую

и

химическую

обработку

трущихся

поверхностей,

точную

механическую обработку, а также заменяют металлы различными заменителями, изменяют

конструкцию, улучшают смазку (изменяют вид, вводят присадки) и т.д.

В машинах стремятся не допускать непосредственного трения скольжения твёрдых

поверхностей, для чего или разделяют их слоем смазки (жидкостное трение), или же вводят

между ними добавочные элементы качения (шариковые и роликовые подшипники).

Основное правило конструирования трущихся деталей машин состоит в том, что более

дорогой и трудно заменяемый элемент трущейся пары (вал) изготовляют из более твёрдого и

более износоустойчивого материала (твёрдая сталь), а более простые, дешёвые и легко

заменяемые части (вкладыши подшипников) изготовляют из сравнительно мягкого материала с

небольшим коэффициентом трения (бронза, баббит).

Большинство деталей машин выходят из строя именно вследствие износа, поэтому

уменьшение трения и износа даже на 5-10% даёт огромную экономию, что имеет

исключительное значение.

Назначение

передач

по

принципу

действия

и

принципу

передачи

движения.

Преимущества и недостатки.

Механическими передачами,

или

передачами,

называют механизмы, передающие

энергию от двигателя к рабочим органам машины с преобразованием скоростей, сил или

моментов, а иногда и характера движения.

Основные причины применения передач в машинах:



требуемые скорости рабочих органов машины часто не совпадают со скоростями

стандартных двигателей;



скорости рабочего органа машины часто необходимо регулировать (изменять) в

процессе работы;



большинство рабочих органов машин должны работать при малых скоростях и

обеспечивать

большие

вращающие

моменты,

а

высокооборотные

двигатели

экономичнее;



двигатели изготовляют для равномерного вращательного движения, а в машинах иногда

требуется прерывистое поступательное движение с изменяющимися скоростями.

Классификация передач:



по принципу передачи движения: передачи трением и передачи зацеплением; внутри

каждой группы существуют передачи непосредственным контактом и передачи гибкой

связью;



по

взаимному

расположению

валов:

передачи

с

параллельными

валами

(цилиндрические), передачи с пересекающимися осями валов (конические), передачи со

скрещивающими валами (червячные, цилиндрические с винтовым зубом, гипоидные);



по характеру передаточного

числа:

с постоянным передаточным числом и с

бесступенчатым изменением передаточного числа (вариаторы).

Фрикционные передачи (передачи трением) — передачи, в которых передача движения

осуществляется силами трения. Для создания трения в контакте катков применяют пружины и

специальные нажимные и натяжные устройства. На рис. 1.1 а, б изображены фрикционные пе-

редачи непосредственным контактом, на рис. 1.1, в вариатор — фрикционная передача с

бесступенчатым регулированием скорости за счет смещения ролика 1, на рис. 1.1, з передача

гибкой связью — ременная.

Передачи зацеплением «работают» за счет зацепления зубьев и шарниров цепи с зубьями

звездочки. Трение в данном случае вредно, и большинство передач работает со смазкой.

Основное достоинство передач зацеплением — высокий КПД, компактность и надежность.

На рис. 1.1, г, д изображены цилиндрическая и коническая зубчатые передачи, на рис. 1.1, е

— червячная (зубчато-винтовая передача), на рис. 1.1, ж — цепная передача.

134

Рис. 1.1. Кинематические схемы механических передач: а — цилиндрическая фрикционная передача; б — коническая фрикционная передача; в — фрикционный вариатор: 1 — ролик; 2 — ведомый диск; г — цилиндрическая зубчатая передача; д — коническая зубчатая передача; е — червячная передача; ж — цепная передача; з — ременная передача

Кинематические и силовые соотношения в передаточных механизмах

Кинематические соотношения в передаче можно рассмотреть по схеме цилиндрической

фрикционной передачи (см. рис. 1.1, а).

Окружная скорость ведущего шкива

При отсутствии проскальзывания скорость ведущего и ведомого шкивов должна быть

одинаковой:

Тогда

Отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого или

частоты вращения ведущего колеса к частоте вращения ведомого называется передаточным

отношением:

Для передач зацеплением можно использовать следующее выражение (поскольку

диаметр колеса пропорционален его числу зубьев):

Связь между мощностями на ведущем и ведомом звеньях можно получить из известных

формул механики:

135

Рис. 1.2. Схемы двухступенчатых приводов:

а — ременная передача и цилиндрический редуктор;

б — коническая передача и цилиндрический редуктор;

в — двухступенчатая цилиндрическая передача;

г — цилиндрический редуктор и цепная передача;

1, 3— ведущие звенья; 2, 4 — ведомые звенья

Известно, что Р = Тω, где Т — вращающий момент; ω — угловая скорость.

Тогда

В зависимости от величины передаточного отношения i передачи делятся на передачи с

постоянным передаточным отношением (I /> 1; ω

1

> ω

2

— редукторы, понижающие передачи; I

< 1; ω

1

< ω

2

— мультипликаторы, повышающие передачи) и передачи с бесступенчатым регу-

лированием скорости.

Параллельно

с

понятием

передаточного

отношения

i

используется

понятие

передаточного числа и\ для редукторов i = и.

В передачах с бесступенчатым регулированием скорости (вариаторы) передаточное

отношение i — величина переменная, и их характеристикой является диапазон регулирования

Если

в

механизме

необходимо

значительное

изменение

скорости,

применяют

многоступенчатые

передачи.

Ступенью

считают передачу одной

парой колес, одним ремнем или одной

цепью.

На

рис.

1.2

изображены

многоступенчатые (двухступенчатые)

передачи. Нумерация ступеней и колес

начинается от двигателя.

Для

многоступенчатой

передачи

общее передаточное число

где u

1

, и

2

, и

n

— передаточные числа

ступеней.

Общий КПД передачи

где η

1

, η

2

и т.д. — КПД ступеней.

Например,

для

привода,

изображенного на рис. 1.2, а, общий

КПД

где η

р

— КПД ременной передачи; η

ц

—

КПД

цилиндрической

зубчатой

передачи; η

подш

— КПД подшипников.

Для передачи, изображенной на рис.

1.3, можно записать

Скорости валов:

Мощности на валах: Р

2

= Р

1

η

1

; Р

3

=

Р

2

η

2

. Вращающие моменты на валах:

Т

2

= T

1

u

1

, Т

3

= Т

2

и

2

η

2

.

136

Рис. 2.1. Схема цилиндрической фрикционной передачи.

Фрикционные передачи и вариаторы

Фрикционная передача

— это передача, в

которой движение передается силами трения.

Простейшие фрикционные передачи (рис. 2.1) со-

стоят из двух колес (катков), которые прижимаются

друг к другу с силой, создающей

силу трения,

равную величине передаваемого окружного усилия.

Сила

прижатия

катков

может

создаваться

собственным

весом

конструкции,

рычагами,

пружинами или специальными устройствами.

Основные

характеристики

фрикционной

передачи

Передаточное число без учета проскальзывания

Сила трения в контакте

где f — коэффициент трения (табл. П12 Приложения); Q — сила прижатия.

Для случая, представленного на рис. 2.1, F

t

≤ F

f

. Создаваемый момент трения

Сила прижатия

где К — коэффициент запаса сцепления.

В ответственных случаях применяется автоматическое прижатие (самозатягивание),

которое пропорционально передаваемому моменту.

Скольжение в фрикционной передаче

Скольжение в фрикционной передаче связано с упругими деформациями поверхностных

слоев,

износом поверхностей,

возможным

ослаблением прижатия катков,

возможным

непостоянством коэффициента трения.

Скольжение во фрикционной передаче зависит от нагрузки. При перегрузке может

наступить

буксование,

при этом ведущий каток скользит по ведомому, ведомый каток

останавливается. Буксование приводит к интенсивному разрушению рабочих поверхностей.

Передаточное число фрикционной передачи с учетом скольжения

где ε — коэффициент скольжения:

где v

1

, v

2

— линейные скорости в точке контакта. Обычно в = 0,002...0,05.

Материалы

Основные требования к материалам:



износостойкость и контактная прочность;

137



высокий коэффициент трения;



высокий модуль упругости, чтобы не возникала значительная деформация площадки

контакта и не увеличивались потери на трение.

Сочетание закаленная сталь — закаленная сталь обеспечивает небольшие габаритные

размеры передачи и высокий КПД; используют шарикоподшипниковые стали с закалкой до 60

HRC.

Сочетание чугун — чугун или чугун — сталь позволяет работать со смазкой и без нее

(всухую).

Сочетание

сталь — текстолит

позволяет работать без смазки, коэффициент трения

специальных пластмасс достигает 0,5.

Применяют тела качения, покрытые кожей или резиной. Эти материалы обеспечивают

высокий коэффициент трения, но он зависит от влажности воздуха. Такие колеса обладают

малой контактной прочностью. Иногда используют покрытие из дерева.

Оценка фрикционных передач

Надежны передачи, у которых ведущий шкив выполнен из менее твердого материала.

Достоинства фрикционных передач:



простота конструкции;



бесшумность и плавность работы;



возможность бесступенчатого регулирования передаточного числа.

Недостатки фрикционных передач:



значительное давление на валы и опоры, ограничивающее величину передаваемой

мощности;



скольжение в передаче, вызывающее непостоянство передаточного числа даже при

тщательном изготовлении и монтаже передачи.

Виды разрушений и критерии работоспособности передачи:



усталостное выкрашивание рабочих поверхностей;



заедание в тяжелонагруженных быстроходных передачах, работающих со смазкой;



при

разрыве

масляной

пленки

образуются

приваренные

частицы,

задирающие

поверхность в направлении скольжения;



изнашивание поверхности, часто неравномерное.

Повышенное изнашивание наблюдается в открытых передачах.

Для

фрикционных

передач

с

металлическими

катками

основным

критерием

работоспособности является контактная прочность.

Прочность

и

долговечность

фрикционных

передач

оцениваются

по

контактным

напряжениям — напряжениям смятия поверхности на площадке

контакта.

Расчет на прочность фрикционной передачи

Схема для расчета цилиндрической фрикционной передачи

представлена на рис. 2.2.

Контактные напряжения передач с контактом по линии

определяют по формуле Герца

где q — нормальная нагрузка по длине контактной линии; Q —

сила прижатия катков;

К

— коэффициент запаса сцепления

138

(коэффициент нагрузки), К= 1,25...2; l — длина контактной линии; ρ

пр

— приведенный радиус

кривизны:

Е

пр

— приведенный модуль упругости,

μ — коэффициент поперечной деформации.

При μ = 0,3 получим условие прочности по контактным напряжениям:

где [σ

H

] — допускаемое контактное напряжение для менее прочного материала катков.

Вариаторы

Вариаторы служат для плавного (бесступенчатого) изменения скорости вращения

ведомого вала на ходу при постоянной скорости ведущего вала.

В зависимости от формы тел качения вариаторы делятся на



лобовые,



конусные,



торовые,



дисковые,



клиноременные.

Основная

характеристика

вариатора

—

диапазон регулирования

Лобовые вариаторы (рис. 2.3, а) просты, их

выполняют

реверсивными.

При

изменении

положения ролика 1 меняется радиус ведомого

звена.

Диапазон

регулирования

лобового

вариатора

Конусные

вариаторы

без

промежуточного

звена (рис. 2.3, б) по диапазону регулирования

аналогичны лобовым и могут обеспечить изме-

нение направления вращения.

Конусные вариаторы с параллельными валами

и промежуточным элементом (рис. 2.3,

е)

могут работать только на ускорение или замед-

ление.

Торовые

вариаторы

(рис.

2.3,

в)

состоят

из

торовых чашек и роликов.

Изменение

скорости

на

выходе достигается поворотом осей вращения роликов. Из всех типов

вариаторов торовые вариаторы наиболее совершенны, их недостаток —

сложность конструкции. Диапазон регулирования торового вариатора

139

Рис. 2.3. Схемы основных типов фрикционных вариаторов:

а — лобовые; б — конусные; в — торовые; г — дисковый;

д — клиноременные; е — двухконусный; 1 — ролик;

Б — быстроходный вал; Т — тихоходный вал

Многодисковые вариаторы (рис. 2.3, г) состоят из пакетов конических раздвинутых

дисков, прижимаемых пружинами. Регулирование

скорости производится смещением оси

ведущего вала относительно ведомого; изменяется величина радиуса контакта.

КПД вариатора 0,75...0,85.

Диапазон регулирования дискового вариатора

Вариаторы с раздвижными шкивами и широкими клиновыми ремнями (рис. 2.3, д)

просты и надежны. Их выпускают в виде самостоятельных агрегатов или встраивают в машину.

Скорость регулируется изменением расчетных диаметров шкивов с помощью осевого

перемещения дисков. Диапазон регулирования таких вариаторов

Вариаторы стандартизированы, КПД = 0,8...0,9.

Практически для одноступенчатых вариаторов диапазон регулирования Д = 3...8.

Зубчатые передачи.

В зубчатых передачах движение передается за счет зацепления пары зубчатых колес.

Меньшее колесо сцепляющейся пары называют шестерней, большее — колесом.

Классификация зубчатых передач

Зубчатые передачи применяют при любом расположении осей колес. При параллельном

расположении осей колес используют цилиндрическую передачу, при пересекающихся осях —

коническую передачу, при скрещивающихся осях валов — винтовые, гипоидные, спироидные

(рис. 3.1).

Зубчатые передачи выполняют в основном закрытыми — работающими в корпусе и со

смазкой.

Открытые передачи, работающие на воздухе без смазки, обычно отличаются крупными

размерами. Для них характерно ускоренное изнашивание.

В зависимости от расположения зубьев на колесе различают прямозубые, косозубые,

шевронные колеса и колеса с круговыми зубьями.

140

Рис. 3.1. Типы зубчатых передач: цилиндрические с внешним зацеплением (а — с прямозубыми колесами; б — с косозубыми колесами; в — с шевронными колесами); г — шестерня — рейка; д — цилиндрические с прямыми зубьями и внутренним зацеплением; е — цилиндрическая винтовая; конические передачи (ж — с коническими прямозубыми колесами; з — с коническими косозубыми колесами; и — с круговыми зубьями; к — гипоидная передача со скрещивающимися валами); с — расстояние между осями валов

Винтовые передачи

(зубчатые цилиндрические передачи с винтовым зубом) из-за

повышенного скольжения и низкой нагрузочной способности применяют ограниченно (рис. 3.1,

e).

Для преобразования вращательного движения в поступательное применяют передачу

шестерня — рейка (рис. 3.1, г).

В зависимости от формы профиля зубьев передачи делятся на передачи с эвольвентными

зубьями и зубьями очерченными дугами окружности (передача Новикова).

В зависимости от взаимного положения колес различают передачу с внешним (рис. 3.1,

а) и с внутренним (рис. 3.1, д) зацеплением.

Геометрия и кинематика зубчатых колес

Поверхности

взаимодействующих

зубьев

должны

обеспечить

постоянство

передаточного числа.

Профили зубьев должны подчиняться определенным требованиям,

вытекающим из

основной теоремы зацепления: общая нормаль, проведенная через точку

касания

профилей,

делит

расстояние

между

центрами

О

1

O

2

на

части,

обратно

пропорциональные угловым скоростям (рис. 3.2).

Практическое

применение

получило

эвольвентное

зацепление

благодаря

технологичности и достаточно высокой несущей способности. Рабочими профилями зубьев

141

Рис. 3.2. Геометрия цилиндрической передачи: П — полюс зацепления; А1А2 — линия зацепления; S1S2 — длина активной линии зацепления; α — угол зацепления; aw — межосевое расстояние; d1, d2 — диаметры делительных окружностей; ha, hf — высота головки и ножки зуба соответственно; dj1, df2 — диаметры окружностей впадин; da1, da2 — диаметры окружностей выступов

колес служит эвольвента. Каждое эвольвентное колесо нарезано так, что может сцепляться с

соответствующими колесами, имеющими любое число зубьев.

Все геометрические параметры зубчатых передач стандартизированы.

С кинематической точки зрения зацепление зубчатых колес эквивалентно качению без

скольжения двух окружностей с диаметрами O

2

П и О

1

П.

В качестве основного параметра зубчатых колес принят модуль.

Модуль

— расчетная величина, равная отношению окружного шага зубьев р

t

по

делительной окружности к числу п:

Шаг зацепления — расстояние между двумя одноименными профилями соседних зубьев

по делительной окружности. Шаги сцепляющих зубьев должны быть равны.

Делительная окружность делит зуб на две части: головку и ножку.

Геометрия

цилиндрических

колес

определяется

несколькими

концентрическими

окружностями.

Начальные окружности — это сопряженные окружности двух сцепляющихся колес. Их

радиусы равны О

1

П и П0

2

. Начальные окружности относятся только к зацеплению пары колес.

При изменении межосевого расстояния О

1

О

2

диаметры начальных окружностей также

меняются.

Делительная окружность принадлежит каждому отдельно взятому колесу. Делительная

окружность является начальной при зубонарезании, при зацеплении колеса с производящей

рейкой. У большинства зубчатых передач делительные окружности совпадают с начальными:

Основные параметры зубчатого колеса могут быть выражены через модуль т.



Диаметр делительной окружности d = mz, где z — число зубьев.



Диаметр окружности выступов d

a

= d + 2h

a

= m(z + 2).



Диаметр окружности впадин d

f

= d – 2h

f

= m(z – 2,5).



Высота головки зуба h

a

= т.



Высота ножки зуба h

f

= 1,25т.

142

Для

обеспечения

взаимозаменяемости

модули

зубьев

цилиндрических

колес

стандартизированы (см. табл. П1 Приложения).

При передаче движения зубья колес сцепляются на линии А

1

А

2

(линия зацепления). Линия

зацепления образует с касательной, проведенной в точке касания //(полюс зацепления), угол

зацепления α; для цилиндрических колес α = 20°.

Линия А

1

А

2

— общая нормаль к поверхностям зубьев в точке касания. Практически

зацепление происходит между точками пересечения линии зацепления с окружностями вершин

колес S

1

S

2

.

Основным геометрическим параметром цилиндрической передачи является межосевое

расстояние

Межосевые расстояния

и передаточные числа цилиндрических зубчатых колес

стандартизованы (см. табл. П4, П5 Приложения).

Непрерывность работы передачи обеспечена, если последующая пара зубьев входит в

зацепление до выхода предыдущей (перекрытие). Коэффициент торцового перекрытия ε

а

—

отношение длины активной линии зацепления к основному шагу, ε

а

> 1.

Основы расчета на контактную прочность и изгиб

Материалы

Основные требования к материалам:



прочность поверхностного слоя и высокое сопротивление истиранию;



достаточная прочность при изгибе;



обрабатываемость,

возможность

получения

достаточной

точности

и

чистоты

поверхности.

Основным материалом зубчатых колес является

сталь,

используют также

чугун

и

пластмассу.

Для уменьшения опасности повреждения поверхности зубьев применяют

термообработку. Твердость поверхности должна быть такой, чтобы получить колеса

необходимой точности. Наибольшее распространение получили углеродистые стали 35; 40; 50;

50Г.

Применяют

легированные

стали

40Х;

45ХН.

Углеродистые

стали

подвергают

нормализации и улучшению, твердость поверхности 300...320 НВ.

Легированные стали закаливают, иногда применяют поверхностную закалку, цементацию,

азотирование (НВ > 350).

Применение

высокотвердых материалов

уменьшает габаритные размеры передачи и

увеличивает ее долговечность. Однако колеса из таких материалов требуют повышенной

точности изготовления и монтажа, а обработку резанием производят до термообработки. Реко-

мендации по выбору материалов и термообработке приводятся в табл. П7 Приложения.

Крупные зубчатые колеса из пластмассы применяют для обеспечения бесшумной работы.

Шестерня из пластмассы работает с колесом из стали; нагрузочная способность таких

передач невысока.

Причины выхода из строя и критерии работоспособности передачи

Для зубчатых передач основными причинами выхода из строя являются повреждения

поверхности:

усталостное выкрашивание для закрытых передач, работающих в масле, и

износ поверхности для открытых передач.

В высоконагруженных и высокоскоростных передачах может возникнуть заедание —

сваривание частиц металла с последующим отрывом от менее прочной поверхности.

Образовавшиеся наросты задирают рабочие поверхности.

Все виды повреждений поверхности связаны с нормальными напряжениями в контакте

зубьев σ

Н

, называемыми контактными напряжениями.

143

Рис. 4.1. Силы в зацеплении прямозубого колеса

Рис. 4.2. Контактные напряжения в зацеплении зубьев при передаче вращающего момента

Основными критериями работоспособности зубьев являются контактная прочность и

прочность при изгибе.

Силы в зацеплении прямозубых колес

Распределенную нагрузку на площадке контакта

принято

представлять

в

виде

сосредоточенной

силы,

приложенной в точке зацепления и направленной по линии

зацепления (рис. 4.1).

Для расчетов силу F

n

раскладывают на составляющие:

где F

t

— окружная сила,

F

r

— радиальная сила,

Расчет на контактную прочность зубчатых передач

Расчет по контактной прочности сводится к проверке условия

σ

H

≤ [σ

H

].

Размеры зубчатой передачи

определяют из расчета (проектировочный расчет) по

контактным напряжениям (рис. 4.2). За основу принимают формулу Герца для контакта

цилиндрических поверхностей. После соответствующих преобразований и введения различных

коэффициентов, учитывающих особенности геометрии зуба и характер действующей нагрузки,

получают

формулу

для

определения

основного

геометрического

параметра

зубчатой цилиндрической передачи —

межосевого расстояния, мм:

где Т

2

— вращающий момент на ведомом

валу, Н • мм; и — передаточное число; К„

= 49,5 МПа

|/3

— для прямозубых колес;

Исследования показали, что предел контактной выносливости σ

HIimb

и базовое число

циклов нагружений

N

m

в основном зависят от твердости рабочей поверхности зубьев;

коэффициент

K

HL

учитывает

возможность

повышения

допускаемого

напряжения

при

кратковременной нагрузке; σ

HIimb

определяется для выбранного материала из таблицы; N

Σ

—

расчетное число циклов нагружений зубьев N

Σ

= 60nL

h

; L

h

— полный ресурс, ч. За расчетное

144

Рис. 4.3. Напряжения изгиба и сжатия в основании зуба при передаче нагрузки.

число циклов нагружений принимается меньшее из допускаемых значений для шестерни и

колеса.

Полученное значение межосевого расстояния сравнивают со стандартными значениями,

выбирая ближайшее. Для нестандартных редукторов полученное значение округляют по ряду

предпочтительных чисел (табл. П37 Приложения).

Определяют все геометрические параметры передачи. Полученную передачу проверяют на

прочность по формуле

где К

н

= К

щ

К

Ни

— коэффициент нагрузки; b

2

= ψ

ba

a

w

.

Поломка зуба. Расчет зубчатых колес на изгиб

Поломка зубьев связана с напряжением

изгиба.

Чаще наблюдается выламывание

углов

зубьев

вследствие

перегрузок

и

усталости

материала

от

длительно

действующих переменных нагрузок.

Расчет на изгиб сводится к проверке условия

a

F

< [o

f

].

При расчете на изгиб полагают, что в

зацеплении находится одна пара зубьев. Зуб

рассматривают как консольную балку с

силой F

n

, приложенной к его вершине (рис.

4.3). Под действием силы зуб сжимается и

изгибается.

При

расчете

учитывают

суммарное

напряжение на растянутой стороне. При

выводе формулы используют коэффициенты, учитывающие особенность формы зуба и

характер действующей нагрузки. Окончательная формула для проверочного расчета на изгиб

следующая:

где Y

F2

— коэффициент формы зуба, зависящий от числа зубьев (табл. П2 Приложения);

F

t

— окружная сила;

[σ

f

] — допускаемое напряжение изгиба,

, где

σ

Fiimb

—

предел выносливости зубьев при изгибе;

K

FC

— коэффициент, учитывающий двустороннее приложение нагрузки.

Зуб шестерни у основания тоньше, чем у колеса, поэтому для обеспечения одинаковой

прочности шестерню выполняют из более прочного материала, чем колесо. Для обеспечения

равной изгибочной прочности зубьев шестерни и колеса желательно, чтобы

Расчет ведут для того колеса, для которого

меньше.

145

Рис. 6.1. Силы в зацеплении конической передачи

Рекомендации по выбору пределов выносливости рабочих поверхностей зубьев, МПа:

Коэффициенты при расчете зубчатых колес на контактную прочность и изгиб

К

Н

, K

F

— коэффициенты нагрузки при расчете по контактным напряжениям и на изгиб.

К

Hβ

, К

Fβ

— коэффициенты неравномерности распределения нагрузки по длине контактной

линии.

K

Hv

, K

Fv

— коэффициенты, учитывающие внутреннюю динамику нагружения.

K

HL

, K

FL

— коэффициенты долговечности, учитывающие возможность повышения допускаемого

напряжения при кратковременной работе.

[s

H

], [s

f

], ~ допускаемые коэффициенты безопасности, [s

H

] = 1,1... 1,3; [s

F

] = 1,55...1,75.

При нереверсивной нагрузке K

FC

= 1; при двусторонней нагрузке K

FC

= 0,7...0,8.

Расчет открытых передач

Открытые передачи работают без корпуса и смазки, как правило, при малых скоростях,

подвержены интенсивному абразивному износу. Колеса выполняют прямозубыми узкими, из

материала с твердостью 250...280 НВ. Проектировочный расчет открытых передач проводится

по контактным напряжениям с проверкой на изгиб аналогично расчету закрытых передач.

Конические зубчатые передачи

Конические зубчатые передачи передают вращения между валами с пересекающимися

осями. Основное применение нашли передачи с осями валов, пересекающимися под углом 90°.

Передачи с межосевым углом, отличным от 90°, применяют редко из-за сложности

изготовления.

Зацепление конических колес можно рассматривать как качение делительных круговых

конусов шестерни и колеса. Диаметры основания делительных конусов шестерни и колеса и их

числа зубьев связаны соотношением и = z

1

/z

2

= sinδ

2

/sinδ

1

(рис. 6.1). При угле Σ = 90° tgδ

1

= z

1

/z

2

,

tgδ

2

= u.

Основные параметры конического

зубчатого колеса

Длину

отрезка

делительного конуса от вершины

до основания называют внешним

конусным расстоянием R

е

.

Ширина зубчатого венца b

определяется расстоянием между

внешним и внутренним торцами

по

образующей

делительного

конуса,

Размеры

конических

зубчатых

колес определяют по внешнему торцовому сечению с диаметрами d

e1

и d

e2

.

Основной геометрический параметр конического колеса — внешний окружной модуль

146

Рис. 6.2. Геометрические параметры конического

колеса

Рис. 6.3. Осевая форма зуба конического зубчатого колеса

Рис. 6.4. Конические колеса с прямыми (а) и круговыми (б) зубьями

Расчеты конических колес на

прочность

производят

по

среднему

делительному

диаметру d

m

= d

Средний модуль зуба

Средние

делительные

диаметры

Внешний

окружной

модуль

можно

не

округлять

до

стандартного значения.

Зубья

конических

колес

в

зависимости

от

изменения

сечения по длине делятся на

три формы (рис. 6.3).

Форма I применяется в основ-

ном

для

колес

с

прямыми

зубьями.

Форма

II

обеспечивает

оптимальную

прочность

на

изгиб,

технологична,

используется

для

колес

с

круговыми зубьями.

Форма

III

применяется

для

плоских колес в специальных

случаях.

Конические колеса выпускают с прямыми, косыми и круговыми зубьями (рис. 6.4). Конические

колеса с круговыми зубьями по сравнению с прямозубыми обладают большей несущей

способностью, работают с меньшим шумом. Зубья нарезают резцовыми головками методом

обкатки.

Угол

наклона

зуба

в

среднем

сечении

35°,

сопряженные

колеса

имеют

противоположное направление линии зубьев. Шестерни выполняют с правым зубом, колеса —

с левым.

Общая характеристика конических передач

Конические передачи сложнее цилиндрических, требуют периодической регулировки.

Для нарезания зубчатых конических колес необходим специальный инструмент. Шестерня

закрепляется консолью, при этом увеличивается неравномерность распределения нагрузки. В

зацеплении действуют осевые силы. Все это снижает нагрузочную способность по сравнению с

цилиндрическими передачами. Однако конические колеса широко применяют в технике, где по

условиям компоновки необходимо располагать валы под углом друг к другу.

Силы в зацеплении прямозубой конической передачи

Нормальную силу в зацеплении конической передачи раскладывают на окружную и

перпендикулярную к ней:

147

В свою очередь силу F'

r

раскладывают на осевую и радиальную силы (см. рис. 6.1):

В результате

где

Для колеса направление действующих сил противоположное.

В прямозубой передаче осевая сила всегда направлена к большему торцу, радиальная —

к центру колеса (см. рис. 6.1).

Основы расчета на контактную прочность и изгиб конической передачи

Проектировочный расчет по контактным напряжениям

В конических колесах нагрузка по длине зуба распределена неравномерно. Для простоты

расчет конических колес на изгиб ведут по среднему сечению зуба. Расчет основан на

допущении, что нагрузочная способность конической передачи равна нагрузочной способности

эквивалентной цилиндрической передачи при ширине колеса, равной ширине конических

колес. Модуль цилиндрического колеса равен торцовому модулю конического колеса.

Диаметр эквивалентного колеса

Число зубьев

При проектировочном расчете определяют внешний делительный диаметр колеса.

Считают, что

нагрузочная способность конического колеса составляет 0,85 нагрузочной

способности цилиндрического.

где К

н

— коэффициент нагрузки.

Допускаемое напряжение определяют по формулам для цилиндрических колес.

Проверка на изгиб. Для открытых передач и передач с высокой твердостью поверхности

(HRC > 50) геометрические параметры колес определяют из расчета на изгиб, при этом

рассчитывают средний модуль. Для закрытых передач расчет на изгиб является проверочным.

Для проверочного расчета

где K

F

— коэффициент нагрузки; Y

f

— коэффициент формы зуба, выбирается по числу зубьев

z

0

, F

t

— окружная сила; b — ширина зубчатого венца; т — модуль зуба в среднем сечении.

Допускаемые напряжения рассчитываются так же, как для цилиндрических колес.

Передача винт — гайка

Передача винт — гайка используется для преобразования враща-

тельного

движения

одного

из

звеньев

в

поступательное

движение другого (рис. 7.1).

Винты в передаче делятся на

грузовые и

148

Рис. 7.1. Схема передачи

винт — гайка

Рис. 7.2. Передача винт — гайка: а — скольжения; б — качения

Рис. 7.3. Развертка витка: R — давление между витками; Ff — сила трения в резьбе

ходовые.

Грузовые винты используют в домкратах, винтовых прессах и нажимных устройствах.

Ходовые винты применяют в станках и измерительных приборах для установочных, рабочих и

холостых перемещений.

Основное требование к передаче — износостойкость и длительное сохранение точности.

В зависимости от вида трения в резьбе передачи делятся на



передачи скольжения и



передачи качения (рис. 7.2).

В домкратах и винтовых прессах применяют упорную резьбу, в винтовых передачах обычно

используют трапецеидальную резьбу.

Передаточное отношение передачи винт — гайка

где D — диаметр маховика; p

h

— ход винта (см. рис. 7.1): p

h

= pz, где р — шаг резьбы; z —

число заходов резьбы.

Ведущим звеном может быть как винт, так и гайка.

Скорость

поступательного

движения,

мм/с,

в

зависимости от угловой скорости ω, рад/с, винта

Оценка передачи винт — гайка

Достоинства передачи винт — гайка:

простота конструкции;

малые габаритные размеры при большой несущей

способности;

большое передаточное число;

возможность изготовления с большой точностью;

возможность

получения

самоторможения

в

передаче. Основной недостаток передачи винт — гайка — низкий КПД. При использовании

передачи качения КПД увеличивается, но такие передачи сложны и их стоимость выше.

Материалы

Винты изготовляют из стали 45 или 50, а гайки из оловянных бронз БрО10Ф0,5 и Бр06Ц6СЗ.

Тяжелонагруженные передачи качения изготовляют из хромистых сталей, закаленных до

твердости 61 HRC (ХВГ, 8ХВ и др.).

Силовое соотношение в передаче винт — гайка

Окружная сила на маховике (см. рис. 7.1)

где F

a

— осевая сила на гайке (винте); i — передаточное отношение передачи; η — КПД

передачи:

где ψ — угол подъема винтовой линии (рис. 7.3); f = tgψ' — коэффициент трения; ψ' = arctgf —

приведенный угол трения.

Критерии работоспособности и расчет

передачи винт — гайка

Основным

критерием

работоспособности

является

износостойкость

резьбы.

Для

уменьшения

износа

применяют

антифрикционные

пары

материалов

149

Рис. 8.1. Схема червячной передачи

(сталь — бронза, сталь — чугун), смазку поверхностей, малые допускаемые напряжения

смятия.

Резьбу проверяют на смятие. Рассчитывают среднее давление на поверхности витков из

условия невыдавливания смазочного материала. Прочность тела гайки рассчитывают из

условия прочности на растяжение. Винты проверяют на сжатие и устойчивость.

Расчет на износостойкость резьбы проводят по допускаемому давлению [р]

изн

с последующей

проверкой болта на прочность

где d

2

— средний диаметр резьбы; Н

1

— рабочая высота профиля резьбы; Z

B

— число витков

гайки.

Для проектировочного расчета передачи

где

— коэффициент высоты гайки; ψ

h

— коэффициент рабочей высоты

профиля резьбы; ψ

Н

= 0,5 (трапецеидальная резьба); ψ

н

= 0,75 (упорная резьба). Наружный

диаметр гайки

где d — наружный диаметр резьбы.

7. Червячная передача

Знать принцип работы, особенности рабочего процесса; причины выхода из строя и критерии

работоспособности червячных передач; геометрические и силовые соотношения в червячных

передачах; формулы для расчета на прочность.

Червячная

передача

—

передача

зацеплением

со

скрещивающимися

осями

валов.

Передача

движения

происходит от червяка (однозаходного или многозаходного

винта)

к

зубчатому

колесу

специальной

формы

и

осуществляется по принципу винтовой пары (рис. 8.1).

В передаче возникает значительное взаимное

скольжение

витков червяка по зубьям колеса, что вызывает повышенный

износ и значительное выделение теплоты. Для уменьшения

трения

венцы

червячных

колес

изготовляют

из

антифрикционных материалов (бронзы, реже чугуна).

Проводится

тепловой расчет

и определяются способы

охлаждения. Зацепление требует периодических регулировок.

Оценка червячных передач

К достоинствам червячных передач необходимо отнести

большое передаточное число,

компактность,

небольшую массу,

плавность и бесшумность работы,

возможность получения самоторможения.

Самоторможение — возможность передачи движения только от червяка к колесу; можно

использовать механизм без тормозных устройств, препятствующих обратному движению

колеса.

Основные параметры червячной передачи

150

Рис. 8.2. Геометрические параметры червячной передачи

Рис. 8.3. Скольжение в передаче:

vк — линейная скорость витка колеса;

vr — линейная скорость витка червяка;

vs — скорость взаимного скольжения

Рассматривается передача без смещения (рис. 8.2). Основным расчетным параметром червяка

является осевой модуль т = Р/π , где р — осевой шаг червяка.

Делительный диаметр червяка d

1

= qm, где q — коэффициент диаметра червяка. Значения т и q

стандартизированы (см. табл. ПЗ Приложения).

Число заходов червяка z

1

= 1; 2; 4.

Делительный угол подъема витка червяка γ, tgγ = z

1

/q (рис. 8.3). Некоторые значения угла

подъема витка червяка приведены в Приложении.

Осевой модуль червяка равен торцовому модулю червячного колеса.

Диаметр делительной окружности колеса d

2

= mz

2

.

Диаметр вершин зубьев в среднем сечении d

a2

= d

2

+ 2т.

Диаметр впадин червячных колес в среднем сечении d

f2

= d

2

- 2,4т.

Наибольший диаметр червячного колеса

Зубья колес имеют вогнутую форму и охватывают червяк по дуге с углом 2δ.

Ширина венца b.

Межосевое расстояние передачи

Число зубьев червячного колеса z

2

.

Передаточное число червячной передачи

КПД червячной передачи

КПД червячной передачи учитывает потери в зубчато-винтовой паре, в подшипниках и потери

на размешивание и разбрызгивание масла. КПД червячной передачи можно определить по

формуле

151

Рис. 8.4. Силы в червячной передаче

где φ' — приведенный угол трения; γ — угол подъема линии витка. КПД червячной передачи в

зависимости от числа заходов червяка:

Силы в зацеплении червячной передачи

Силу взаимодействия витка червяка с зубом колеса раскладывают на три составляющие (рис.

8.4): F

t

, F

r

, F

a

.

Окружная сила на червяке равна осевой силе на

колесе:

Осевая сила на червяке равна окружной силе на

колесе:

Радиальные силы равны друг другу:

Вращающий момент на колесе

Виды разрушений зубьев червячных колес

В червячной паре слабым звеном является зуб червячного колеса. Могут происходить

поверхностные повреждения:

усталостное выкрашивание,

износ поверхности,

заедание.

Крайне редко возникает поломка зуба. Зубчатые венцы чаще всего изготовляют из бронзы,

выбор марки зависит от скорости скольжения в передаче (см. рис. 8.3, табл. П8 Приложения).

В передачах с венцами колес из оловянных бронз наиболее опасно выкрашивание рабочих

поверхностей, в колесах из безоловянных (алюминиево-железистых) бронз и чугунов чаще

происходит заедание, переходящее в задир с изнашиванием поверхности.

Расчет на прочность червячной передачи

Расчет по контактным напряжениям является основным (проектировочным), а по

напряжениям изгиба — проверочным.

В основу расчета по контактным напряжениям положена формула Герца. После подстановки

параметров

червячного

колеса,

коэффициентов,

учитывающих

характер

нагрузки,

и

соответствующих преобразований получена формула для проверочного расчета передачи:

где К

Н

— коэффициент нагрузки, для червячных передач К

Н

= 1...1,5.

Выразив

из

полученной

формулы

межосевое

расстояние,

получим

формулу

для

проектировочного расчета червячной передачи:

152

При расчете задаются ориентировочными значениями КПД редуктора, скорости скольжения в

передаче, определяют вращающие моменты. По принятой величине скорости скольжения

выбирают материал венца колеса и определяют допускаемое напряжение. По заданному пе-

редаточному числу определяют число заходов червяка и число зубьев колеса: и = z

2

/z

1

..

Полученное при расчете a

w

округляют (см. табл. П5 Приложения).

По рассчитанному межосевому расстоянию определяют геометрические параметры передачи и

уточняют их по стандартам.

Определяют усилия в зацеплении. Проводят проверку полученной передачи на изгиб.

Формула для проверочного расчета передачи на изгиб

где K

F

— коэффициент нагрузки; Y

F

— коэффициент формы зуба, выбирается по приведенному

числу зубьев

(табл. П2 Приложения).

Скорость скольжения в передаче (см. рис. 8.3)

Рекомендации по расчету на прочность червячной передачи

После расчета межосевого расстояния модуль передачи определяют по формуле

Минимальное значение q из условия жесткости червяка q

min

= 0,212z

2

. Полученное значение

уточняют по стандарту (табл. ПЗ Приложения), при этом можно изменить z

2

, увеличив или

уменьшив на 1—2 зуба.

Ширина венца червячного колеса зависит от числа витков червяка:

Допускаемые напряжения для материалов венца колеса зависят от способа отливки и марки

бронзы или чугуна, от твердости рабочей поверхности червяка, долговечности передачи.

Тепловой расчет червячной передачи

Вследствие невысокого КПД в червячных передачах выделяется большое количество теплоты.

Масло, детали передачи и стенки корпуса нагреваются.

Если отвод теплоты недостаточен, передача перегревается, резко уменьшается вязкость масла,

возникает опасность выдавливания смазочного материала и заедания.

Тепловой расчет передачи проводят из условия теплового баланса: тепловыделение должно

равняться теплоотдаче.

Ременные передачи

Ременная передача — фрикционная передача

(нагрузка

передается

силами

трения)

с

помощью гибкой связи (упругого ремня).

153

Рис. 9.1. Схема для расчета ременной передачи

Рис. 9.2. Типы ременных передач: а — плоскоременная; б — клиноременная; в — поликлиновая;

г — с круглым ремнем

Ременная передача применяется для соединения валов, расположенных на значительном

расстоянии друг от друга (рис. 9.1).

Классификация ременных передач

В зависимости от формы поперечного сечения ремня передачи делятся на

плоскоременные (рис. 9.2, а),

клиноременные (рис. 9.2, б),

поликлиновые (рис. 9.2, в) и

с круглым ремнем (рис. 9.2, г).

По расположению валов в пространстве различают

передачи с параллельными валами: открытые (рис. 9.3, а), перекрестные (рис. 9.3, б);

передачи со скрещивающимися валами — полуперекрестные (рис. 9.3, в);

передачи с пересекающимися осями валов — угловые (рис. 9.3, г).

Клиноременную передачу в основном применяют как открытую (см. рис. 9.3, а).

Предварительное натяжение ремня необходимо для нормальной работы передачи. Натяжение

ремня может создаться за счет перемещения одного из шкивов, за счет натяжных роликов (рис.

9.3, д) или установки двигателя на качающейся плите.

Клиноременная передача обладает большей тяговой способностью, требует меньшего

натяжения, меньше нагружает опоры валов, допускает меньшие углы обхвата, применима при

больших

передаточных

отношениях

и

меньших

межосевых

расстояниях

(табл.

П10

Приложения).

Клиновые и поликлиновые ремни выполняют бесконечными и прорезиненными. Нагрузку

несет корд или сложенная в несколько слоев ткань.

Клиновые ремни выпускают трех видов: нормального сечения, узкие и широкие. Широкие

ремни предназначены для вариаторов.

Поликлиновые ремни — плоские ремни с высокопрочным кордом и внутренними продольными

клиньями, входящими в канавки на шкивах. Они более гибкие, чем клиновые, обеспечивают

большее постоянство передаточного числа.

Размеры поликлиновых ремней см. в табл. П11 Приложения.

154

Рис. 9.3. Ременные передачи: а — открытая; б — перекрестная; в — полуперекрестная; г — угловая;

д — открытая с натяжным устройством

Рис. 9.4. Силы натяжения

Геометрические и кинематические зависимости ременной передачи

Рассмотрим открытую передачу (см. рис. 9.1).

Межосевое расстояние передачи плоским ремнем а ≥ 1,5 (D

1

+ D

2

).

Межосевое расстояние передачи клиновым ремнем

где h — высота ремня.

Расчетная длина ремня

Межосевое расстояние в зависимости от длины ремня и диаметра шкивов

Угол обхвата на малом шкиве

Передаточное отношение

где ε — коэффициент скольжения в передаче, при нормальной работе ε = 0,01...0,02.

Приближенно можно принимать

Силы натяжения в ремне

Сила натяжения ведущей ветви ремня (рис. 9.4) при передаче нагрузки

Сила натяжения ведомой ветви

где F

t

— передаваемая окружная сила.

Предварительное натяжение, создающее необходимые силы трения

между шкивом и ремнем:

где σ

0

— напряжение от предварительного натяжения; для плоских ре-

зинотканевых ремней σ

0

= 1,8 МПа, для стандартных клиновых σ

0

=

1,2...1,5 МПа.

При движении в ремне дополнительно возникает сила натяжения от

центробежных сил F

v

= pAv (существенно влияет при скорости 20 м/с), где р — плотность

материала ремня; А — площадь поперечного сечения ремня.

Таким образом, натяжения в ветвях ремня разные:

Напряжения в ремне

При работе на холостом ходу (без передачи нагрузки) обе ветви ремня натянуты одинаково.

При передаче полезной нагрузки натяжения ветвей ремня меняются. Напряжение от

предварительного натяжения σ

0

= F

0

/А.

155

Рис. 9.5. Напряжения в ремне при передаче полезной нагрузки

Рис. 9.6. Кривая скольжения

Полезное напряжение в ремне

к

= F

t

/A

определяется по передаваемой окружной силе.

Значением к оценивают тяговую способность передачи.

Напряжения в ведущей и ведомой ветвях при передаче нагрузки

При огибании ремнем шкивов в ремне возникают напряжения изгиба, зависящие от диаметров

шкивов передачи.

На практике значение напряжения изгиба на малом шкиве ограничивается заданием

минимального диаметра шкива

При круговом движении ремня на каждый его элемент действуют элементарные центробежные

силы, дополнительно растягивающие ремень; возникают напряжения σ

0

.

Таким образом, при движении ремня напряжение в элементах ремня меняется (рис. 9.5).

Наибольшее значение напряжение имеет в момент набегания ремня на малый шкив, наименьшее

— в момент набегания на больший шкив; это явление вызывает упругое скольжение ремня на

шкивах.

При движении на ведущем шкиве ремень укорачивается, а на ведомом удлиняется, ремень

скользит на шкиве.

Необходимо отличать упругое скольжение и буксование. Упругое скольжение имеет место при

любой нагрузке, буксование — только при перегрузке.

Кривые скольжения ремня

Кривая скольжения (рис. 9.6) устанавливает связь

между

полезной

нагрузкой

и

относительным

скольжением ε

в передаче,

φ

— коэффициент тяги

(относительная

нагрузка).

При

повышении

коэффициента тяги от нуля до критического значения φ

0

в передаче происходит только упругое скольжение,

одновременно с увеличением φ возрастает и КПД η. При

дальнейшем увеличении коэффициента тяги работа

становится

неустойчивой

(частичное

буксование).

Значения φ установлены для каждого типа ремня.

Рабочую нагрузку рекомендуется выбирать вблизи

критического значения.

Расчет ремня по тяговой способности

Расчет

плоскоременной

передачи

сводится

к

определению требуемой площади поперечного сечения ремня.

156

Рис. 9.7. К расчету клинового ремня: а — кривая скольжения; б — обозначение ремней

Приведенное полезное напряжение

Условия эксплуатации ремня учитываются введением коэффициентов.

Допускаемое полезное напряжение

где С

а

— коэффициент, учитывающий влияние угла обхвата на малом шкиве; C

v

— скоростной

коэффициент, учитывающий влияние центробежных сил; С

е

— коэффициент расположения

передачи в пространстве; С

р

— коэффициент режима нагрузки.

Окончательно определяем

Для передач клиновыми и поликлиновыми ремнями следует выбрать соответствующий ремень

по таблицам или с помощью графиков и определить число ремней клиноременной передачи

(табл. П10 и П11 Приложения).

Сечение ремня выбирают по вращающему моменту на быстроходном валу или мощности (рис.

9.7, а). Минимальные диаметры шкивов выбирают по табл. П10 Приложения. При возможности

следует избегать минимальных значений диаметров шкивов и минимальных значений

межосевых расстояний, так как это уменьшает долговечность ремня.

Для выбранного ремня определяют номинальную мощность, передаваемую одним ремнем.

Определяют расчетные коэффициенты, учитывающие условия эксплуатации ремня.

Определяют число ремней в комплекте для передачи заданной мощности:

где C

L

— коэффициент длины ремня; Р

0

— номинальная мощность, передаваемая одним

ремнем;

Р

р

—

мощность, передаваемая одним ремнем в условиях эксплуатации; С

2

—

коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки между ремнями, C

z

=

1 ...0,85.

В последнее время обозначения ремней изменились (рис. 9.7, б):

О = Z;

Б = В;

В = С;

Д = Е;

Е = ЕО.

Оценка ременных передач

Достоинства ременных передач:



ременная передача смягчает толчки и удары — может демпфировать колебания;

157



ременная передача может служить предохранительным звеном при перегрузках;



ременная передача может использоваться для бесступенчатой регулировки скорости (см.

рис. 2.3, д);



возможность передачи движения на значительные расстояния (до 15 м и более).

Недостатки ременных передач:



большие габаритные размеры;



невозможно обеспечить постоянство передаточного отношения;



долговечность ремня недостаточна;



значительные нагрузки на опоры, особенно у плоскоременных передач.

В высоконагруженных передачах применяют передачи с зубчатым ремнем — плоским

ремнем с зубьями на внутренней поверхности. Передача работает по принципу зацепления

ремня со шкивом. Предварительное натяжение не требуется, скольжение отсутствует.

Цепная передача

Цепная передача —

передача зацеплением гибкой связью. Гибкую связь образует

шарнирная цепь, охватывающая зубчатые звездочки (рис. 10.1).

Традиционно

цепные

передачи

применяют

в

сельскохозяйственных

и

строительно-дорожных

машинах,

в

химическом

машиностроении,

станкостроении

и

подъемно-транспортных

устройствах.

Оценка цепных передач

Достоинства цепных передач:



передача движения зацеплением, а не трением

позволяет передавать большие мощности, чем с

помощью ремня;



практически не требуется натяжение цепи,

следовательно, уменьшается нагрузка на валы и опоры;



отсутствие скольжения и буксования обеспечивает постоянство среднего передаточного

отношения;



цепи могут устойчиво работать при меньших межосевых расстояниях и обеспечивать

большее передаточное отношение, чем ременная передача;



цепные передачи хорошо работают в условиях частых пусков и торможений;



цепные передачи имеют высокий КПД.

Недостатки цепных передач:



износ цепи при недостаточной смазке и плохой защите от грязи;



сложный уход за передачей;



повышенная вибрация и шум;



по сравнению с зубчатыми передачами повышенная неравномерность движения;



удлинение цепи в результате износа шарниров и сход цепи со звездочек.

Классификация цепных передач

В настоящее время применяют шарнирные



роликовые,



втулочные (рис. 10.3, а) и



зубчатые (рис. 10.3, б) цепи.

В роликовых цепях зацепление цепи со звездочкой осуществляется через ролик: долговечность

цепи возрастает, но возрастает масса и стоимость цепи.

Цепи бывают однорядными и многорядными.

158

Рис. 10.2. Типы звездочек для цепных передач: а — для втулочной и роликовой цепи;

б — для зубчатой цепи

Рис. 10.3. Типы цепей: а — втулочные; б — зубчатые

Зубчатые цепи набирают из пластин; большое значение имеет конструкция шарнира. В

конструкцию входит направляющая пластина, предотвращающая сползание цепи со звездочки.

По сравнению с втулочными зубчатые цепи работают более плавно, обеспечивают

большую кинематическую точность, могут передавать большую мощность, имеют высокий

КПД, но их масса и стоимость значительно выше.

Форма профиля зуба звездочки зависит от конструкции и размеров цепи. Звездочка для

втулочной и роликовой цепи представлена на рис. 10.2, а, звездочка для зубчатой цепи — на

рис. 10.2, б.

Геометрические и кинематические параметры цепной передачи

Основной геометрический параметр цепи — шаг t, мм (см. рис. 10.3).

Оптимальное

межосевое

расстояние а = (30...50)t.

Длина цепи в шагах

где z

1

и z

2

— число зубьев звездочек.

Число зубьев малой звездочки выбирают из соотношения

Тогда z

2

= z

x

u.

Окончательное значение межосевого расстояния

Диаметр делительной окружности звездочки

Передаточное число

159

Передаточное отношение передачи нельзя определять как отношение диаметров делительных

окружностей звездочек. В пределах одного оборота звездочки передаточное отношение не

остается постоянным, поэтому говорят о средней скорости цепи, м/с:

где ω, z — угловая скорость и число зубьев звездочки.

Критерии работоспособности и расчет цепной передачи

При проектировочном расчете предварительно определяют шаг цепи по формуле

где К

э

— коэффициент эксплуатации,

К

Д

— коэффициент динамичности; К

с

— коэффициент способа смазывания передачи; K

Q

—

коэффициент наклона передачи к горизонту; К

рег

— коэффициент способа регулирования; К

р

—

коэффициент режима нагрузки; Т

1

—

вращающий момент на ведущей звездочке; [р

ц

] —

допускаемое среднее давление в шарнире; т — число рядов цепи; z

1

= 29 - 2и — минимальное

число зубьев ведущей звездочки роликовой цепи.

После подбора цепи по стандарту (табл. П13 Приложения) выбранная передача проверяется на

износостойкость по формуле

где F

t

окружная сила,

А — площадь проекции опорной поверхности шарнира,

— диаметр оси; В — длина

втулки (см. рис. 10.3, а).

Силы в цепной передаче

В цепной передаче ведущая и ведомая ветви натянуты по-разному. Натяжение ведущей

ветви работающей передачи

где F

t

— окружная сила, передаваемая цепью; F

0

— предварительное натяжение от провисания

ведомой ветви цепи; F

v

— натяжение от центробежных сил.

Предварительное натяжение незначительное и составляет несколько процентов от F

t

; в

тихоходных передачах можно пренебречь и натяжением от центробежных сил. Допускаемое

среднее давление в шарнире, гарантирующее нормальную работу в течение принятого срока

службы, определяется по табл. 10.1.

Таблица.1. Допускаемое среднее давление

160

Обозначение роликовых цепей: первая цифра — число рядов; вторая цифра — шаг, мм;

третья — разрушающая нагрузка, пропорциональная 10 Н; четвертая — исполнение по ширине.

Например, ПР-12,7-1820-1: приводная роликовая цепь, однорядная, шаг 12,7 мм, разрушающая

нагрузка 18 200 Н, первое исполнение по ширине.

161

1.

Контрольные вопросы

2.

Что такое трение?

3.

Какие существуют разновидности трения?

4.

Что приводит к возникновению силы трения?

5.

Как классифицируют трение в зависимости от действующих сил?

6.

Что такое износ и как с ним борются?

7.

Какие бывают схемы соединений по конструктивному исполнению в зависимости от

способа соединения колес?

8.

Какие элементы составляют простейший трехзвенный планетарный механизм?

9.

В каком случае планетарные механизмы позволяют получить большие величины

передаточного отношения?

10. Что называют зубчатой передачей?

11. Какие элементы составляют зубчатую передачу?

12. Для чего применяют зубчатую передачу?

13. Какими достоинствами и недостатками обладают зубчатые передачи?

14. Какие различают передачи по виду зацепления зубьев?

15. Какие бывают передачи по взаимному расположению осей?

16. Какой параметр используют для определения потери мощности на выходе передачи?

17. По каким параметрам определяют форму и размеры зубчатого колеса?

18. Какие конструктивные элементы составляют зубчатое колесо?

19. Какие материалы применяют для изготовления зубчатых колес?

20. Какова методика определения допускаемых напряжений для зубчатых колес,

выполняемых из стали?

21. В результате чего в зубчатой передаче происходит передача нагрузки?

22. Каким параметром определяется работоспособность зубчатой передачи?

23. Какие причины вызывают усталостное выкрашивание рабочих поверхностей зубьев?

24. Что вызывает поломку зубьев?

25. Какие условия используют при оценке работоспособности зубчатых передач?

26. Какой вид деформации является главным при объемном нагружении зубьев?

27. Как определяют расчетные удельные нагрузки?

28. Какие особенности имеются при расчете шевронных и косозубых цилиндрических

передач?

29. Для чего предназначены конические зубчатые передачи?

30. Какие бывают разновидности конических передач?

31. Какие достоинства и недостатки имеют конические передачи?

32. Как подразделяют конические передачи в зависимости от формы линии зуба?

33. Какие параметры являются основными характеристиками конических передач?

34. Какие формы имеют зубья конических колес?

35. Что относят к геометрическим соотношениям конических зубчатых передач?

36. Какие усилия действуют в зацеплении конических передач?

37. На чем основан прочностной расчет конической передачи?

38. В чем состоит условие работоспособности по контактной и изгибной прочности?

39. Из каких элементов состоит червячная передача?

40. Какие бывают виды червяков?

41. Какие выделяют факторы повышения работоспособности?

42. Как подразделяются червяки в зависимости от формы-профиля боковой поверхности

витков?

43. Какие параметры относят к основным геометрическим параметрам червячной передачи?

44. Чем характеризуется условие торможения?

45. Какие факторы влияют на условие торможения?

46. На какие составляющие раскладывают нормальное к поверхности зуба давление при

рассмотрении усилий в червячной передаче?

162

47. Какие факторы обеспечивают условие работоспособности червячной передачи?

48. Чем характеризуется условие теплового расчета?

49. Достоинства и недостатки ременных передач.

50. Основные разновидности ременных передач.

51. Классификация ременных передач по профилю.

52. Отношения каких характеристик клиноременных передач определяют три вида сечений?

53. Какие значения принимает коэффициент относительного скольжения?

54. Необходимый угол обхвата для плоских и клиновых ремней.

55. Основные критерии расчета ременных передач.

56. Чем отличается клиноременная передача от зубчатого ремня?

57. Из каких материалов изготавливают ремни?

58. Связь между усилиями в ведущей и ведомой ветвях и начальным натяжением ремня.

59. Какие действительные условия работы плоскоременной передачи учитываются?

60. Достоинства и недостатки ременных передач по сравнению с цепными.

61. Чем ограничивается количество ремней клиноременных передач?

62. Способы натяжения ремней.

63. Основные типы внешних поверхностей обода плоских ремней.

64. Каковы достоинства и недостатки цепных передач по сравнению с ременными?

65. Где применяют цепные передачи?

66. Охарактеризуйте конструкции роликовой и втулочной цепей?

67. В каких случаях применяют многорядные роликовые цепи?

68. Почему при высоких скоростях рекомендуют применять цепи с малым шагом?

69. Чем вызвана неравномерность движения приводных цепей и почему она возрастает с

увеличением шага?

70. Чем обусловлены ограничения минимального числа зубьев малой звездочки и

максимального числа зубьев большой звездочки?

71. Почему при определении длины цепи рекомендуют принимать четное число звеньев

цепи?

72. Что является основным критерием работоспособности цепных передач? Как выполняют

проверку цепи по этому критерию?

73. Что такое коэффициент эксплуатации, от чего он зависит?

74. Чем вызвана необходимость в применении натяжных устройств в цепных передачах?

Каковы способы натяжения цепи?

75. Какие способы смазывания применяют в цепных передачах?

163

Рис. 11.1. Валы и оси: а — вал; б — вращающаяся ось;

в — неподвижная ось; 1 — цапфа; 2 — шейка

Тема 3.3 Валы и оси

1.Валы и оси, назначение и классификация. Материалы. Расчет

Валы и оси

Валы

предназначены

для

передачи вращающего момента

и поддержания расположенных

на них деталей (рис. 11.1, а);

Оси,

поддерживая

расположенные на них детали,

вращающего

момента

не

передают.

Оси

бывают

вращающимися

(рис. 11.1, б) и неподвижными

(рис. 11.1, в).

Исходя из расчета на прочность

и

для

удобства

установки

деталей

валы

выполняют

ступенчатыми.

Переходные

участки

вала

выполняют

цилиндрическими или кониче-

скими

с

галтелями

разной

формы и фасками (рис. 11.2).

Материалы

Для валов и осей применяют

качественные

углеродистые

и

легированные стали. Для валов и

осей неответственных передач

применяют

стали

обыкновенного

качества

(без

термообработки).

Валы и оси обрабатывают на

токарных станках, посадочные

поверхности

могут

шлифоваться.

Критерии работоспособности и

виды разрушений валов и осей

Валы и вращающиеся оси при

работе испытывают циклически

изменяющиеся напряжения (рис.

11.3) и чаще всего выходят из

строя в результате усталостных

разрушений.

Основными

расчетными

нагрузками являются крутящий

момент (для валов) и изгибающий момент.

Основными критериями работоспособности являются прочность и жесткость.

164

Расчет валов

Расчет валов проводится в два этапа: проектировочный только под действием крутящего

момента и проверочный расчет с учетом крутящего и изгибающего моментов.

Проектировочный (предварительный) расчет вала проводят по формуле

где М

к

— крутящий момент, М

к

= Т; Т — вращающий момент на валу; d — диаметр вала; [т

к

] —

допускаемое напряжение при кручении, [т

к

] = 20...30 МПа.

Полученное значение диаметра вала округляют до ближайшего большего размера из

ряда чисел R40 по ГОСТ «Нормальные линейные размеры» (см. табл. П37 Приложения). Форму

и размеры вала уточняют при эскизной проработке вала после определения размеров колес,

муфт и подшипников, по которым определяют длину шеек и цапф вала.

Проверочный расчет спроектированного вала проводят по сопротивлению усталости и на

жесткость.

Предварительно определяют все конструктивные элементы вала, обработку и качество

поверхности отдельных участков. Составляется расчетная схема вала и наносятся действующие

нагрузки.

Проверочный уточненный расчет на сопротивление усталости

заключается в

определении расчетных коэффициентов запаса прочности в опасных сечениях, выявленных по

эпюрам моментов с учетом концентрации напряжений.

Принимают, что напряжение изгиба меняется по симметричному циклу (см. рис. 11.3, а), а

напряжение кручения — по отнулевому (см. рис. 11.3, б).

Амплитуда цикла изменения напряжений изгиба вала

где М

ж

— изгибающий момент;

амплитуда отнулевого цикла изменения напряжений кручения

где W

ос

, W

p

— момент сопротивления изгибу и кручению сечений вала соответственно.

Запас прочности вала:

по нормальным напряжениям

по касательным напряжениям

где σ

-1

— предел выносливости при расчете на изгиб; τ

-1

— предел выносливости при расчете на

кручение; K

σD

, K

τD

— общий коэффициент концентрации напряжений при изгибе и кручении

соответственно:

где К

σ

, К

τ

, — коэффициенты снижения предела выносливости за счет местных концентраторов

— галтелей, выточек, поперечных отверстий, шпоночных пазов (эффективный коэффициент

концентрации напряжений); K

d

— коэффициент влияния абсолютных размеров; K

F

— коэф-

165

фициент влияния обработки поверхности;

K

v

— коэффициент упрочнения поверхности;

значения перечисленных коэффициентов приведены в специальной литературе.

Расчетный коэффициент запаса выносливости в сечении при совместном действии

изгиба и кручения

Минимально допустимое значение коэффициента запаса прочности 1,6...2,5.

Расчет осей ведут только на изгиб: при расчете неподвижных осей принимают

изменения напряжений по отнулевому циклу, при расчете подвижных — по симметричному.

Упрощенный проверочный расчет на усталость

проводят в предположении, что

нормальные напряжения (изгиба) и касательные напряжения (кручения) меняются по

симметричному циклу. Одновременное действие крутящего и изгибающего моментов

рассчитывается по гипотезе наибольших касательных напряжений

где М

п

— суммарный изгибающий момент, геометрическая сумма изгибающих моментов в

вертикальной и горизонтальной плоскостях:

Условие сопротивления усталости

где σ

экв

— эквивалентные напряжения в сечении; М

экв

— эквивалентный момент в сечении; d —

диаметр вала в сечении; [σ

-1и

] — допускаемое напряжение изгиба при симметричном цикле

изменения напряжений.

В большинстве случаев ограничиваются упрощенным проверочным расчетом. В

специальных случаях используют коленчатые (непрямые) валы и валы с изменяемой формой

геометрической оси (гибкие). Используют сплошные и полые (с осевым отверстием) валы.

Тема 3.4 Подшипники. Муфты

1.Общие сведения: назначение и классификация. Подшипники скольжения и

качения. Подбор. Муфты, их назначение и классификация.

Подшипники скольжения. Подшипники качения

Подшипники обеспечивают валам заданное положение и возможность вращения в

заданном направлении, с заданной скоростью и нагрузкой при минимальных потерях на трение.

Классификация подшипников скольжения

По конструкции подшипники скольжения подразделяют на



разъемные и



неразъемные (рис. 12.1, а, б).

По направлению воспринимаемых нагрузок подшипники скольжения разделяют на



радиальные, воспринимающие нагрузки, перпендикулярные оси вала (рис. 12.1, а — в) и



упорные — для восприятия нагрузок вдоль оси вала (подпятник, рис. 12.1, г);



иногда подшипники могут воспринимать сочетание радиальной и осевой нагрузок.

Подшипники скольжения состоят из корпуса 1 (см. рис. 12.1), вкладышей 2 и смазывающих

устройств 3.

Основным элементом подшипника является вкладыш.

166

Рис. 12.1. Типы подшипников скольжения: а — в — радиальные; г — упорный; 1 — корпус; 2 — вкладыш; 3 — смазывающее устройство; 4 — отверстие для подвода смазывающего материала

Оценка подшипников скольжения

Достоинства подшипников скольжения:



высокая надежность при переменных и динамических нагрузках;



нормальная работа при высоких скоростях вращения;



бесшумная работа;



сравнительно малые радиальные размеры;



разъемные подшипники облегчают монтаж, допускают установку на шейки коленчатых

(непрямых) валов.

Недостатки подшипников скольжения:



высокие требования к наличию смазочного материала, большой расход смазочного

материала;



сравнительно большие осевые размеры;



значительные потери на трение, низкий КПД.

Материалы

Материалы вкладышей должны иметь



низкий коэффициент трения,



высокую теплопроводность,



достаточную износостойкость и сопротивляемость заеданию,



высокую сопротивляемость хрупкому и усталостному разрушениям.

167

Металлические вкладыши изготовляют из



бронз,



баббитов,



алюминиевых сплавов и



антифрикционных чугунов.

Применяют

металлокерамические

вкладыши, пористые, насыщаемые парами масла и

способные долго работать без подвода смазочного материала.

Виды смазки. Смазывание подшипников

Для нормальной работы важно создать надежное смазывание подшипников.

При неподвижном вале на поверхности цапфы (см. рис. 11.1, а) и вкладыша должна

сохраняться пленка смазочного материала; работа подшипника в этот момент происходит в

условиях граничной смазки.

Вращающийся вал втягивает смазочный материал между цапфой и вкладышем и создает

гидродинамическую подъемную силу, вал всплывает с увеличением скорости. Толщина

масляной пленки увеличивается, условия смазывания улучшаются. Работа подшипника в этом

случае происходит в режиме полужидкой смазки.

Граничная и полужидкая смазка — несовершенная смазка.

При дальнейшем возрастании скорости слой масла увеличивается и полностью перекрывает

неровности поверхностей трения — возникает жидкостная смазка. Трение в этом случае

минимальное, а изнашивание и заедание отсутствуют. Такой вид смазывания называют

гидродинамическим.

Смазочные материалы бывают жидкими, пластичными, твердыми.

Для подвода смазочного материала к поверхностям скольжения во втулках и вкладышах

выполняют отверстия 4 (см. рис. 12.1), связанные с осевыми и кольцевыми канавками.

Смазочный материал может подводиться в подшипник принудительно (под давлением),

самотеком и с помощью специальных приспособлений.

КПД одной пары подшипников скольжения 0,96...0,98.

Виды разрушений и критерии работоспособности подшипников скольжения

Критерием работоспособности подшипников скольжения является износостойкость —

сопротивление изнашиванию и заеданию.

Заедание возникает при перегреве подшипника: снижается вязкость масла; масляная

пленка

местами

разрывается;

возникает

металлический

контакт;

образуются

мостики

микросварки; вырываются частицы материала.

Условный расчет подшипников скольжения

Условный расчет подшипников скольжения проводят по двум показателям: среднему

давлению между трущимися поверхностями р и произведению pv.

Расчет по среднему давлению обеспечивает износостойкость:

где R — реакция в опоре; d — диаметр цапфы; l — длина цапфы (см. рис. 12.1, б); [р] —

допускаемое давление на поверхности трения.

Расчет на нагрев и отсутствие заедания

где v — окружная скорость шейки вала или оси.

168

Применение подшипников скольжения



для валов больших диаметров;



для высокоскоростных валов;



для валов, работающих в условиях ударов и вибраций, в агрессивных средах;



для коленчатых валов;



в бытовой технике

Подшипники качения

Подшипники качения состоят из внутренних и наружных колец, тел качения и сепаратов,

отделяющих тела качения друг от друга.

Классификация подшипников качения

Подшипники качения классифицируют



по форме тел качения (шариковые и роликовые);



по числу рядов тел качения (однорядные и двухрядные);



по направлению воспринимаемой нагрузки (радиальные, радиально-упорные, упорные);



по конструктивным особенностям (с канавками на наружном кольце, с одной или двумя

защитными шайбами и другими особенностями).

Оценка подшипников качения

Достоинства подшипников качения:



по сравнению с подшипниками скольжения в подшипниках качения трение значительно

меньше, КПД подшипников выше;



выше несущая способность;



простота обслуживания;



малый расход цветных металлов;



малый расход смазочных материалов;



малые осевые размеры;



высокая степень взаимозаменяемости. Недостатки подшипников качения:



чувствительность к ударам и вибрациям;



большие габаритные размеры в радиальном направлении;



малая долговечность и надежность при высоких скоростях.

Шариковые подшипники

Шариковые радиальные подшипники (рис. 13.1,

а)

могут воспринимать значительную

радиальную нагрузку и небольшую осевую нагрузку в обоих направлениях. Они наиболее

дешевы и широко распространены.

169

Рис. 13.1. Типы и обозначения радиальных (а—е), радиально-упорных (ж—з) и упорных {и—к) подшипников качения:

а — шариковый радиальный, обозначение 0000; б — шариковый радиальный сферический, обозначение 1000; в — роликовый радиальный, обозначение 2000; г — роликовый радиальный сферический, обозначение 3000; д — роликовый радиальный игольчатый, обозначение 4000;

е — роликовый радиальный с витым роликом, обозначение 5000; ж — шариковый радиально-упорный, обозначение 36 000, 46 000, 66 000 в зависимости от угла контакта;

з — роликовый конический, обозначение 7000; и — шариковый упорный, обозначение 8000;

к — роликовый упорный, обозначение 9000.

Шариковые радиальные сферические подшипники

(рис. 13.1,

б) предназначены для

восприятия

радиальных

нагрузок,

допускают

значительные

перекосы

(до

4°)

колец,

применяются в конструкции с нежесткими валами или где невозможно обеспечить соосность

отверстий в корпусах.

Шариковые

радиально-упорные

подшипники

(рис.

13.1,

ж)

отличаются

большей

грузоподъемностью, предназначены для восприятия комбинированных радиальных и осевых

нагрузок только одного направления. Работать только при радиальной нагрузке они не могут,

под действием радиальных нагрузок из-за наклона контактных линий возникают внутренние

осевые силы.

Шариковые упорные подшипники (рис. 13.1, и) воспринимают только осевые нагрузки,

лучше работают на вертикальных валах.

170

Роликовые подшипники

Роликовые радиальные подшипники (рис. 13.1, в) выпускают



с коротким цилиндрическим роликом,



с длинным цилиндрическим роликом (рис. 13.1, д, игольчатый подшипник).

Такие подшипники не воспринимают осевые нагрузки, допускают раздельный монтаж

колец.

Роликовые подшипники обладают большой радиальной грузоподъемностью,

допускают только осевое смещение колец.

Кроме перечисленных выпускают подшипники с витыми цилиндрическими роликами (рис.

13.1, ё).

Роликовые радиальные сферические подшипники

(рис. 13.1,

г)

обладают большей

грузоподъемностью, чем шариковые, но они сложнее и дороже.

Роликовые конические подшипники (рис. 13.1, з) необходимо регулировать при сборке.

Подшипники этого типа допускают раздельный монтаж наружного кольца, воспринимают

радиальную и осевую нагрузку, обладают большой нагрузочной способностью.

Упорные подшипники

могут быть и роликовыми. Они обладают большой несущей

способностью, практически не допускают перекоса колец (рис. 13.1, к).

Роликовые подшипники выполняют с роликами различной формы. Иногда для уменьшения

габаритных размеров дорожки качения выполняют прямо на валу или в корпусе машины, а

подшипник изготовляют без внутреннего кольца. Некоторые подшипники изготовляют без

сепараторов.

Серии подшипников

Для одного и того же диаметра выпускают

подшипники

разных

серий

(рис.

13.2),

отличающиеся

по

габаритным

размерам

и

грузоподъемности.

Серии диаметров и ширин: особо легкая ...

100; легкая ... 200; легкая широкая ... 500;

средняя ... 300; средняя широкая ... 600; тяжелая ...

400.

Условное обозначение подшипников качения

Например:

415 — шариковый радиальный, тяжелая серия, диаметр вала (внутренний диаметр подшипника)

75 мм; две последние цифры при умножении на 5 дают величину диаметра вала (15 х 5 = 75);

2206 — роликовый радиальный с коротким цилиндрическим роликом, легкая серия, диаметр

вала 30 мм (06 х 5 = 30);

36318 — шариковый радиально-упорный, средняя серия, диаметр вала 90 мм (18x5 = 90).

171

Виды разрушений и критерии работоспособности подшипников качения

Элементы подшипников (шарики, ролики и дорожки колец) работают при циклически

меняющейся нагрузке.

Основными видами разрушений являются

усталостное выкрашивание рабочих поверхностей,

смятие рабочих поверхностей дорожек,

задиры и абразивное изнашивание из-за попадания пыли и грязи,

разрушение сепараторов и колец.

При нарушении работоспособности подшипников появляется шум.

Основными критериями работоспособности подшипников качения являются

долговечность по усталостному выкрашиванию и

статическая грузоподъемность для неподвижных подшипников и при частоте вращения п ≤ 10

мин

-1

.

Основные понятия. Гипотезы и допущения. Методы расчета

Гипотезы прочности

При

растяжении

прочность

пластичных

материалов

характеризуется

пределом

текучести, а хрупких – пределом прочности; эти напряжения считаются предельными, в

зависимости от них вычисляют допускаемые напряжения.

Гипотезы прочности – это научные предположения об основной причине достижения

материалом предельного напряжённого состояния при сочетании основных деформаций.

Напряжённые состояния при сочетании основных деформаций и одноосном растяжении

называются равноопасными, или эквивалентными, если их главные напряжения отличаются от

предельного для данного материала в одинаковое число раз, иначе говоря, коэффициенты

запаса прочности для эквивалентных напряженных состояний одинаковы.

Эквивалентным напряжением называется такое условное напряжение при одноосном

растяжении, которое равноопасно заданному случаю сочетания основных деформаций.

На основании гипотез прочности выводят формулы для вычисления эквивалентного

напряжения, которое затем сопоставляют с допускаемым напряжением на растяжение. Условие

прочности при сочетании основных деформаций, когда в поперечных сечениях действуют и

нормальные, и касательные напряжения, имеет вид: σ

экв

≤ [σ

р

].

Как показывают экспериментальные исследования, прочность материалов существенно

зависит от вида напряженного состояния. В общем случае нагруженного тела напряженное

состояние в какой



либо точке вполне может быть определено величиной напряжений в трех

координатных плоскостях, проходящих через эту точку. При произвольном выборе положения

координатных плоскостей, в каждой из них, вообще говоря, имеются и нормальные, и

касательные напряжения. Для них вводятся соответствующие обозначения в плоскости xy:



zz

,



zx

,



zy

; в плоскости xz:



yy

,



yx

,



yz

; в плоскости yz:



xx

,



xy

,



xz

. Здесь первый индекс показывает

ориентацию площадки, в которой действует напряжение, т.е. какой из координатных осей она

перпендикулярна. Второй индекс указывает направление напряжения по координатной оси.

В каждой точке тела существуют три взаимно перпендикулярные плоскости, свободные от

касательных напряжений, носящие название главных площадок. Нормальные напряжения в этих

площадках называются главными напряжениями и обозначаются



1

,



2

,



3

. При этом всегда



1

>



2

>



3

. Заметим, что более подробно вопросы теории напряженного состояния в точке

обсуждены в десятом разделе настоящей книги, и по данному вопросу имеется обширная

литература.

172

Напряженные состояния разделяются на три группы. Напряженное состояние называется: а)

о б ъ е м н ы м или т р е х о с н ы м , если все главные напряжения



1

,



2

,



3

не равны нулю; б)

п л о с к и м

или д в у х о с н ы м , если одно из трех главных напряжений равно нулю;

в) о д н о м е р н ы м или о д н о о с н ы м , если два из трех главных напряжений равны нулю.

Основной задачей теории прочности является установление критерия прочности, позволяющего

сравнить между собой опасность различных напряженных состояний материала.

Выбранный критерий прочности должен быть обоснован на основе экспериментальных данных

путем проведения испытаний различных материалов в зависимости от вида напряженного сос-

тояния, как функция от соотношений между значениями главных напряжений.

Как отмечалось в п. 2.8, наиболее распространенным и наглядным критерием проверки

конструкций

на

прочность,

при

простейших

случаях

напряженного

состояния

(сжатие



растяжение, кручение, чистый изгиб), является выполнение условия:



max





,

(5.38)

где



max



максимальное расчетное значение напряжения, возникающее в наиболее опасной

точке конструкции;





допускаемое значение напряжения для материала конструкции.

Сформулируем гипотезы прочности и приведём соответствующие формулы для вычисления

эквивалентных напряжений.

Согласно

п е р в о й

т е о р и и

критерием

прочности

является

ограничение

главного

максимального напряжения:



max

=



1





,

(5.39)

где





предельное напряжение, полученное из опытов на одноосное растяжение.

Основным недостатком этой теории является не учет двух других главных напряжений.

В основу вт орой т еории прочн ост и заложена гипотеза о том, что критерием оценки

работы конструкции является ограничение наибольшего удлинения. В формулировке данного

положения через главные напряжения (



1

и



2

) это условие для плоского напряженного

состояния записывается следующим образом:



1







2





,

где





напряжение, при котором было вызвано предельное удлинение образца в опытах на

одноосное растяжение;





коэффициент бокового расширения.

При объемном напряженном состоянии вторая теория прочности записывается в виде:



1





(



2



3

)





,

(5.40)

Экспериментальная проверка не всегда подтверждает правильность теории прочности

наибольших линейных деформаций при простых нагружениях, т.е. при чистом растяжении или

чистом сдвиге. Однако до настоящего времени эта теория имела широкое применение при

выполнении инженерных расчетов..

В основу т р е т ь е й

т е о р и и

п р о ч н о с т и

заложена гипотеза о том, что причиной

разрушения материалов являются сдвиговые деформации, происходящие на площадках

максимальных касательных напряжений, т.е.



max

<



,

(5.41)

где



max



расчетное максимальное касательное напряжение, возникающее в опасной точке

нагруженного тела;





предельное значение касательного напряжения, полученное из опытов.

Для плоского напряженного состояния по третьей теории условие прочности записывается в

виде:



1





2

<



.

(5.42)

В случае поперечного изгиба балки (



2

= 0), если выразить главные напряжения



1

и



3

через



и



, то условие прочности (5.42) преобразуется в виде:

,

(5.43)

где R



расчетное сопротивление материала балки при изгибе.

Гипотеза наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами, в

особенности для пластичных материалов.

173

Гипотеза Мора (четвёртая гипотеза прочности).

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала наступает тогда, когда на

некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и

касательного напряжений.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений имеет вид:

σ

экв

= (1-κ)/2* σ + (1+κ)/2√σ

2

+ 4τ

2

, где κ = [σ

р

] / [σ

с

].

Эта формула одинаково пригодна как для хрупких, так и для пластичных материалов,

при κ = 1 она тождественна формуле третьей теории прочности.

Энергетическая гипотеза (пятая, или энергетическая теория прочности ).

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала в данной точке наступает тогда,

когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной

величины.

Во всех приведённых выше формулах σ и τ – нормальные и касательные напряжения на

площадке поперечного сечения, проходящего через опасную или предположительно опасную

точку.

Сочетание основных деформаций

Изгиб и растяжение или сжатие

Рассмотрим

брус

длиной

l

постоянного

поперечного

сечения

площадью

А,

защемлённый одним концом и нагруженный на свободном конце произвольно направленной

силой F, приложенной в центре тяжести сечения.

Разложим силу F на составляющие Fx, Fy и Fz. В результате действия этих

составляющих получаем сочетание деформаций растяжения и поперечного изгиба в двух

взаимно-перпендикулярных плоскостях, причём касательными напряжениями изгиба будем в

дальнейшем пренебрегать.

Определим максимальные нормальные напряжения в опасном сечении (заделке):

σ

p

= F

z

/ А; σ

1и

= F

y

l / W

x

; σ

2и

= F

x

l / W

y

.

Максимальные суммарные напряжения возникнут в точке Е и будут напряжениями растяжения:

σ

max

= σ

Е

= F

z

/ А + F

y

l / W

x

+ F

x

l / W

y

.

Деформации растяжения и изгиба сочетаются, например, у крюков, винтов с отогнутой

головкой, винтов слесарных тисков и т.д.

Вид деформации, когда сжимающая сила параллельна оси бруса, но точка её приложения

не совпадает с ц.т. сечения называется внецентренным сжатием (ранее изученную нами

деформацию можно назвать центральным сжатием).

Рассмотрим брус прямоугольного сечения площадью А = bh, к которому на расстоянии

е от оси приложена параллельная ей сила F.

В центре тяжести сечения вдоль оси приложим две противоположно направленные силы,

равные по модулю силе F. Полученную систему трёх сил будем рассматривать как силу F,

приложенную в центре тяжести, и пару сил с моментом m = Fe. Пользуясь принципом

независимости действия сил, внецентренное сжатие будем рассматривать как сочетание

центрального сжатия и чистого изгиба, причём соответствующие нормальные напряжения

будем определять по формулам: σ

с

= - F / А; σ

и

= ± М

и

/ W, а суммарные напряжения – по

формуле: σ = σ

с

+ σ

и

= - F/А ± М

и

/ W. Максимальные суммарные напряжения будут

напряжениями сжатия: σ

max

= - F / А – Fe / W.

Чтобы в брусе не возникали напряжения растяжения, должно выполняться неравенство:

σ

с

≥ σ

и

или F / А ≥ Fe / W, откуда e ≤ W / А.

Для бруса прямоугольного сечения предельное значение эксцентриситета будет равно

e = W / А = ((bh

2

) / 6) / bh = h / 6.

Для бруса круглого сечения диаметром d предельное значение эксцентриситета будет равно

e = W / А = (πd

3

/ 32) / (πd

2

/ 4) = d / 8.

174

Ввиду полярной симметрии круга геометрическое место предельных положений точек

приложения сжимающей силы F будет представлять собой окружность диаметром d/4. Круг,

расположенный внутри этой окружности называется ядром сечения. Для прямоугольного бруса

сечением b*h ядро сечения представляет собой ромб с диагоналями h/3 и b/3.

Изгиб и кручение

Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывают большинство валов, которые

обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения.

При расчёте валов будем учитывать только крутящий или изгибающий моменты,

действующие в опасном поперечном сечении и не будем принимать во внимание поперечные

силы, т.к. соответствующие им касательные напряжения относительно невелики.

Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по

формулам: σ = М

и

/ W, τ = М

к

/ W

р

, причём для круглых валов W

р

= 2W.

При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки опасного поперечного сечения

вала, наиболее удалённые от нейтральной оси. Применив третью теорию прочности получим:

σ

экв

= √σ

2

+ 4τ

2

= √(М

и

/W)

2

+ 4(М

к

/W

р

)

2

= √(М

и

/W)

2

+ 4[М

и

/ (2 W)]

2

=

= √(М

и

2

+ М

к

2

) / W.

Выражение, стоящее в числителе, назовём эквивалентным моментом:

М

экв

= √М

и

2

+ М

к

2

;

тогда расчётная формула для круглых валов примет вид

σ

экв

= М

экв

/ W ≤ [σ]

(валы обычно изготавливают из материала, у которого [σ

р

] = [σ

с

] = [σ]).

По этой формуле расчёт круглых валов ведут, как на изгиб, но не по изгибающему моменту, а

по эквивалентному моменту.

Применив энергетическую теорию прочности, получим

σ

экв

= √σ

2

+ 3τ

2

= √(М

и

/W)

2

+ 3[М

к

/ (2W)]

2

= √М

и

2

+ 0,75М

к

2

/ W,

т.е. по энергетической теории прочности М

экв

= √ М

и

2

+ 0,75М

к

2

.

Для расчётов деталей на сочетание деформаций поперечного изгиба и кручения

необходимо составить расчётную схему конструкции и построить эпюры изгибающих и

крутящих моментов, определить предположительно опасные сечения, после чего произвести

необходимые расчёты.

Кручение и растяжение или сжатие

Сочетание деформаций кручения и растяжения испытывают, например, болты и

крепёжные винты, а сочетание деформаций кручения и сжатия – винты домкратов и винтовых

прессов, свёрла и шпиндели сверлильных станков. Эти детали обычно изготовляют из

материалов, у которых [σ

р

] = [σ

сж

] = [σ].

Нормальные и максимальные касательные напряжения в этих случаях определяют по

формулам σ = N/А; τ = М

к

/W

р

.

Применив третью теорию прочности, получим расчётную формулу

σ

экв

= √(N/А) +(М

к

/ W

р

) ≤ [σ].

Применив энергетическую теорию прочности, получим

σ

экв

= √(N/А) + (М

к

/W

р

) ≤ [σ].

П р и м е р р а с ч е т а

Дан пространственный консольный брус с ломаным очертанием осевой линии, нагруженный

сосредоточенной силой Р = 1 кН и равномерно распределенной нагрузкой q = 2 кН/м. На

рис. 5.34, а

этот брус показан в аксонометрии в соответствии с прямоугольной системой

координат xyz

. Вертикальный элемент бруса имеет поперечное сечение в виде круга диаметром

d = 0,06 м (рис. 5.34, в), горизонтальные элементы бруса имеют поперечные сечения в виде

прямоугольника

(рис. 5.34, б).

Ширина

сечения

b = d = 0,06 м,

а

высота

сечения

175

c = 0,5 d = 0,03 м. Ориентация главных осей поперечных сечений на каждом участке показана

на рис. 5.34, г.

Т р е б у е т с я :

1. Построить в аксонометрии эпюры M

x

, M

y

, M

z

, N

z

, Q

x

, Q

y

;

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса;

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних

усилий N

z

, M

x

, M

y

и M

z

(касательными напряжениями от Q

x

и Q

y

можно пренебречь);

4. Проверить прочность при расчетном сопротивлении R = = 180 МПа.

Р е ш е н и е

П о с т р о и т ь в а к с о н о м е т р и и э пю р ы M

x

, M

y

, M

z

, N

z

, Q

x

, Q

y

. Заметим, что так как

заданная система пространственная, при произвольном характере нагружения, в опорном

сечении, где установлена заделка, возникает шесть опорных реакций (три опорные силы и три

момента). Для определения опорных реакций, в данном случае, можем применить шесть

уравнений равновесия статики. Так как число независимых уравнений равновесия равно числу

опорных реакций, то можно сделать вывод, что рассматриваемая система в виде ломаного

бруса,

с

заделанным

одним

концом,

является

статически

определимой.

Поэтому

рассматриваемая система разрешима по методу сечений. Далее, учитывая особенности конст-

рукции, определение величин внутренних усилий можно осуществить без предварительного

вычисления величин опорных реакций.

Брус имеет три участка АВ, ВС и СD (рис. 5.34, г). При этом, после рассечения бруса на две

части будем рассматривать равновесие оставшейся части, не связанной с заделкой (чтобы

избежать предварительного определения опорных реакций в заделке бруса). Внутренние

силовые факторы можно рассматривать как реакции, действующие в сечении на оставшуюся

часть со стороны отброшенной части, поэтому процесс определения шести величин M

x

, M

y

, M

z

,

N

z

, Q

x

, Q

y

может быть сведен к известному процессу определения опорных реакций.

Следует отметить, что при определении опорных реакций их направление можно указать

произвольно, а затем из решения уравнения равновесия будет ясно, как в действительности

действует реакция: если результат положительный, то реакция действует именно так, как мы

предварительно указали, если отрицательный



то наоборот.

176

При построении эпюр будем руководствоваться следующими правилами:



нормальная сила N

z

считается положительной, если она вызывает растяжение бруса;



крутящий момент M

z

считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны

внешней нормали он виден вращающим брус по ходу часовой стрелки;



поперечная сила Q

x

считается положительной, если при взгляде со стороны положительного

направления оси y она стремится вращать оставшуюся часть бруса по ходу часовой стрелки от-

носительно ближайшей точки на оси бруса (для поперечной силы Q

y



то же, по отношению к

x);



ординаты эпюр Q

x

и Q

y

следует откладывать перпендикулярно оси бруса в плоскости

действия этих сил и указывать знак;



ординаты эпюр М

x

и М

y

будем откладывать перпендикулярно оси бруса со стороны

растянутого волокна.

Участок

АВ

(0



z

1



a

).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, д. В центре сечения помещаем систему координат.

Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г.

Координата z

1

увеличивается от точки А

к точке В. Для определения N

покажем ее в

направлении от сечения, т.е. растягивающей, и составим уравнения равновесия:



z = 0; N

z

= 0.

Из



М

x

= 0 следует М

x

= 0 (рис. 5.35, а).

Для определения М

z

покажем его так, чтобы при взгляде на сечение он был виден вращающим

брус по часовой стрелке, и составим уравнения равновесия (рис. 5.35,б):



m

z

= 0; М

z

= 0.

Для определения Q

x

и Q

y

покажем их положительными в соответствии с выбранным правилом

знаков и составим уравнения равновесия:



x = 0,

Q

x



P = 0,

Q

x

= P = 1 кН;



y = 0,

Q

y

= 0.

177

Эпюра Q

x

представляет собой прямоугольник (рис. 5.35, в) с ординатой, равной 1, лежащей в

плоскости действия этого силового фактора. Составляем уравнение равновесия:



M

y

= 0,

М

y

+ Р



z = 0,

М

y

=



P



z.

Ординаты эпюры M

y

линейно зависят от z:

z = 0, M

y

= 0; z = a, M

y

=



P



a =



1



0,3 =



0,3 кН



м.

Знак минус указывает на то, что в действительности изгибающий момент M

y

вызывает

растягивающее напряжение в правой части поперечного сечения, поэтому ординаты эпюры M

y

откладываются в правую сторону.

Участок

ВC

(0



z

2



b

).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, e. В центре сечения помещаем систему координат.

Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г.

Координата z

2

увеличивается от точки В к точке С. Процесс определения внутренних силовых

факторов на этом участке такой же, как и на предыдущем. Важно отметить, что на оставшейся

части соответствующий внутренний силовой фактор удобно показывать непосредственно перед

его определением



для того, чтобы не затемнить чертеж. При этом N

z

, M

z

, Q

x

, Q

y

показывают в

положительном направлении в соответствии с принятым правилом знаков, а изгибающие

моменты M

x

и M

y



наугад из двух возможных направлений (рис. 5.34, e):



z = 0, N

z

= 0;



M

z

= 0, M

z

+ P



a = 0, M

z

=



P



a =



0,3 кН



м.

Плоскость прямоугольной эпюры произвольна (рис. 5.35, б).



x = 0, Q

x



P = 0, Q

x

= P = 1 кН.

Эпюра Q

x

в виде прямоугольника показана на рис. 5.35, в.



y = 0,

Q

y



q

z = 0; Q

y

= q

z ;

z = 0, Q

y

= 0;

z = 0,6 м, Q

y

= 2



0,6 = 1,2 кН.

Эпюра Q

y

в виде треугольника показана на рис. 5.35 е.

Ординаты M

x

изменяются по закону квадратной параболы.

z = 0, M

x

= 0;

z = 0,6 м, M

x

=



0,36 кН



м;

=

2

z

=

0; z

=

0



точка экстремума в эпюре M

x

в сечении z =

0.

Знак минус указывает, что растягивающие напряжения возникают не в ближней части сечения,

а в дальней. При этом наблюдатель ориентирован относительно глобальной системы координат

xy, показанной на рис. 5.34, а следующим образом: ось x направлена к наблюдателю, поэтому

ординаты M

x

откладываем в дальнюю сторону (рис. 5.35, а).



M

y

= 0, M

y

+ P

z = 0, M

y

=



P

z;

z = 0, M

y

= 0;

z = 0,6 м, M

y

=



0,6 кН



м.

Эпюра M

y



треугольная.

Растягивающие напряжения возникают в правой части сечения



ординаты откладываем

вправо.

178

Рис. 5.35

Участок

CD

(0



z

3



c

1

).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, ж. В центре сечения помещаем систему координат.

Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г.

Координаты z

3

увеличиваются от точки С к точке D. Повторяя все рассуждения, проведенные

на предыдущих участках, будем иметь следующее (рис. 5.34, д):



z = 0, N



P = 0, N = P = 1 кН;



M

z

= 0,

кН



м.

Эпюра M

z



в виде прямоугольника. Плоскость изображения произвольная:



x = 0, Q

x

+ q

b

1

= 0, Q

x

=



q

b

1

=



2



0,6=



1,2 кН.

Эпюра Q

x



в виде прямоугольника в плоскости действия Q

x

.



y = 0, Q

y

= 0;



M

x

= 0, M

x

+ P

b

1

= 0, M

x

=



P

b

1

=



0,6 кН



м.

Эпюра M

x



в виде прямоугольника. Растягивающие напряжения при изгибе возникают в

нижней части поперечного сечения



ординаты эпюры откладываем вниз.



M

y

= 0, M

y

+ P

a



q

b

1

z

3

= 0, M

y

= q

b

1

z

3



P

a = 1,2

z

3



0,3.

Величина M

y

определяется как линейная функция от z

3

. При z

3

= 0; M

y

=



0,3 кН



м. В этом

сечении

растягивающие

напряжения

возникают

не

в

дальней

части

сечений,

а

в

ближней



ординату откладываем к наблюдателю.

При z

3

= 0,5м M

y

= 1,2



0,5



0,3 = 0,6



0,3 = 0,3 кН



м.

В этом сечении M

y

откладываем от наблюдателя (рис. 5.35, г).

2. У с т а н о в и т ь в и д с о п р о т и в л е н и я д л я к а ж д о г о у ч а с т к а б р у с а . По эпюрам

устанавливаем вид сопротивления на каждом участке бруса. На участке АВ

возникают

изгибающий момент M

y

и поперечная сила Q

x

, что свидетельствует о наличии поперечного

изгиба. На участке ВС возникают изгибающие моменты M

x

, M

y

, поперечные силы Q

x

, Q

y

и

крутящий момент M

x

, что свидетельствует о наличии косого изгиба и кручения. На участке СD

действуют изгибающие моменты M

x

и M

y

, поперечная сила Q

x

, растягивающая сила N и

крутящий момент M

z

, что свидетельствует о наличии косого изгиба с растяжением и

кручением.

179

3. О пред елит ь

м аксим альн ые

н апря ж ен ия

в

опасн ом

сечен ии

к а ж д о г о

участ ка от вн ут ренн их усилий N, M

x

, M

y

и M

z

( касат ель н ым и напря ж ен ия м и

от Q

x

и Q

y

можн о прен ебречь ) . У ч а с т о к А В . Наибольшая величина изгибающего

момента M

y

, судя по эпюре (рис. 5.35, г) возникает в сечении, бесконечно близком к точке В.

Максимальные нормальные напряжения при изгибе определяются по формуле:

16,7



10

3

кН/м

2

,

где момент сопротивления W

y

=

=1,8



10

-5

м

3

.

Участок ВС . По эпюрам M

x

и M

y

устанавливаем, что опасным является сечение, бесконечно

близкое к точке С. Для круглого сечения суммарный изгибающий момент:

кН



м,

а наибольшие нормальные напряжения равны:

кН/м

2

=33,32 МПа,

где момент сопротивления круглого сечения при изгибе:

м

3

.

При кручении круглого сечения возникают касательные напряжения, максимальные значения

которых определяются по формуле:

,

где W

p



момент сопротивления при кручении. Известно, что

W

p

= 2 W

И

= 2



2,1



10

5

м

3

= 4,2



10

5

м

3

,

тогда

кПа=7,143 МПа.

У ч а с т о к С D . По эпюрам M

x

и M

y

видим, что равными по опасности будут сечения,

бесконечно близкие к точкам С и D. При действии растягивающей силы N во всех точках

поперечного сечения возникают одинаковые нормальные напряжения:

кН/м

2

= 0,555 МПа,

где F = b



c = 0,06



0,03=0,0018 м

2



площадь поперечного сечения;

66666 кН/м

2

= 66,67 МПа,

где

м

3

.

При действии изгибающего момента M

y

наибольшие нормальные напряжения будут равны:

кН/м

2

= 16,67 МПа.

При

кручении

бруса

прямоугольного

сечения

возникают

касательные

напряжения,

максимальные значения которых определятся по формуле:

кН/м

2

= 27,07 МПа,

180

где W

K

=



c

3

= 0,493



0,03

3

= 13,3



10

-6

м

3



геометрическая величина, играющая роль момента

сопротивления при кручении стержней прямоугольного сечения. Здесь





коэффициент,

зависящий от отношения большей стороны прямоугольника к меньшей (в данном случае при b/

c = 2,



= 0,493).

4. П роверка прочн ост и при расчет н ым сопрот ивле нии R = 180 МПа. Расчетное

напряжение по третьей теории прочности для плоского напряженного состояния определяется

по формуле:

.

Участок АВ. Линейное напряженное состояние является частным случаем плоского (



= 0),

поэтому в нашем случае:

,

где R = 180 МПа.

Участок ВС . Проверка прочности по третьей теории:

36,25 МПа < 180 МПа.

Участок СD . Сначала найдем максимальное нормальное напряжение от внутренних силовых

факторов N, M

x

и M

y

:

МПа.

Касательные напряжения в угловой точке от кручения равны 0. Имеет место линейное

напряженное состояние:

МПа < 180 МПа.

Далее рассмотрим напряженное состояние в окрестности точки, где действует максимальное

касательное напряжение



= 27,7 МПа. Имеет место плоское напряженное состояние:

МПа;

МПа < 180 МПа.

Следовательно, так как условие обеспечения прочности во всех опасных точках участков

ломанного бруса выполняются, то прочность конструкции в целом следует считать

обеспеченной.

Контрольные вопросы:

1. Гипотезы прочности.

2. Эквивалентное напряжение при изгибе и растяжении или сжатии.

3. Эквивалентное напряжение при изгибе и кручении.

4. Эквивалентное напряжение при кручении и растяжении или сжатии

181