Автор: Шутова Наталья Модестовна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: ГОУ РК
Населённый пункт: г. Сыктывкар, Республика Коми
Наименование материала: статья
Тема: Формулы сокращенного умножения
Раздел: полное образование
Формулы сокращенного умножения
Н.М. Шутова, учитель математики, ГОУ РК «Физико-математический лицей-
интернат»
Ключевые слова: формулы сокращенного умножения, треугольник Паскаля,
бином Ньютона, актуализация, обобщение, частные случаи.
Аннотация:
в
статье
представлен
опыт
организации
актуализации
и
расширения знаний по теме «Формулы сокращенного умножения» в 10-м
классе естественнонаучного профиля, может быть использован
в рамках
основного образовательного процесса
на уроках алгебры и начал анализа
и/или во внеурочной деятельности по предмету.
В течение 17 лет в физико-математическом лицее-интернате на уровне
среднего
общего
образования
реализуется
второй
профиль
обучения
–
естественнонаучный. Предполагалось, что выпускники естественнонаучных
классов продолжат обучение в медицинских вузах, и при формировании
учебного плана было очевидно, что два предмета: «химия» и «биология»
должны изучаться на углубленном уровне. А как быть с математикой? Во-
первых,
без
нее
серьезное
погружение
ни
в
химию,
ни
в
биологию
невозможно. Во-вторых, ребенок, сегодня выбирающий
профессию врача,
завтра
решает
стать
инженером-химиком.
В-третьих,
разделение
единого
государственного
экзамена
по
математике
на
два
уровня
и
возможность
выбора учеником только одного показали, что более 60% учащихся этих
классов выбирают профильный уровень. В-четвертых, в новый 10-й класс
этого профиля поступают выпускники образовательных организаций из всех
муниципалитетов
республики
и
уровень
их
математической
подготовки
сильно разнится. Поэтому очень важно организовать изучение математики
так,
чтобы
максимально
учесть
имеющуюся
математическую
подготовку
учащихся,
их образовательные потребности, преемственность в обучении
математике при переходе на следующий уровень основного, а в последующем
высшего образования.
Изучение учебного курса
«Алгебра и начала анализа» в 10 классе
целесообразно начинать с актуализации тем, частично изученных на уровне
основного
общего
образования:
«Формулы
сокращенного
умножения»,
«Теория многочленов», «Уравнения высших степеней». Учебный материал
этих
тем
широко
используется
при
решении
задач
практически
из
всех
разделов, изучаемых в курсе алгебры и начал анализа, а значит, без него
невозможна
и
успешная
сдача
единого
государственного
экзамена
по
математике как базового, так и профильного уровней.
Поэтому, с одной
стороны, есть необходимость повторить учебный материал, с другой, есть
возможность
расширить,
обобщить,
углубить
каждую
из
тем.
Полезно
добавить
новые
факты,
в
том
числе
исторические,
рассмотреть
тесную
взаимосвязь
тем,
усложнить
уровень
практических
заданий.
Так
к
стандартным
формулам
сокращенного
умножения
можно
присоединить
бином
Ньютона,
формулу
разности n
степеней,
квадрат
суммы
трех
слагаемых и т.д. Представить вниманию учащихся небольшую по объему, но
очень красивую теорию многочленов, включающую теорему Безу и схему
Горнера. А в рамках темы «Уравнения высших степеней» рассмотреть способ
нахождения
корней
квадратного
уравнения
на
основе
свойств
коэффициентов, теорему Виета для неприведенного квадратного уравнения,
методы решения возвратных и однородных уравнений.
Необходимые
учебные часы можно предусмотреть как в рамках основных часов, так и в
рамках части учебного плана,
формируемой участниками образовательных
отношений,
например
на
факультативных
или
элективных
занятиях,
консультациях,
кружках.
Остановимся
подробнее
на
теме
«Формулы
сокращенного умножения».
В курсе основной школы формулы сокращенного умножения вводятся
постепенно. Формулы изучаются в основном по две на одном уроке, обычно
в такой последовательности:
1.
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
2.
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2a b
+
b
2
3.
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2 ab
+
b
2
4.
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3a
2
b
+
3a b
2
+
b
3
5.
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3 a
2
b
+
3 ab
2
−
b
3
6.
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a b
+
b
2
)
7.
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
ab
+
b
2
)
.
В
результате,
как
правило,
учащиеся
демонстрируют
формальное
знание формул (за счет заучивания и сохранения в памяти) и применение в
стандартных ситуациях
на практике. Ученики чувствуют себя достаточно
уверенно
и
активно
вступают
в
диалог
с
учителем,
что
способствует
созданию
ситуации
успеха
у
учащихся
и
установлению
доверительных
отношений
как
между
самими
учениками,
так
и
между
учениками
и
учителем.
Вместе с тем «обычное»
повторение этой темы стало бы
нерациональным
использованием
учебного
времени
и
«неинтересным»
началом
сотрудничества
учителя
и
учащихся.
Поэтому
формулы
сокращенного умножения рационально актуализировать и добавить новые в
следующем порядке:
1.
(
a
+
b
)
2
,
(
a
+
b
)
3
,
(
a
+
b
)
4
2.
(
a
+
b
)
n
3.
(
a
−
b
)
2
,
(
a
−
b
)
3
,
(
a
−
b
)
4
4.
(
a
−
b
)
n
5.
a
2
−
b
2
, a
3
−
b
3
, a
4
−
b
4
6.
a
n
−
b
n
7.
a
3
+
b
3
8.
a
2 k
+
1
+
b
2 k
+
1
9.
(
a
+
b
+
c
)
2
,
(
a
+
b
+
c
)
3
10.
(
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
)
2
.
В
качестве
положительных
моментов
такого
порядка
рассмотрения
формул можно отметить следующее:
учащиеся достаточно уверенно оперируют формулами из пунктов 1, 3,
5, 7; остальные формулы легко получаются в результате обобщения
формул из пунктов 1, 3, 5, 7; к доказательству формул из пунктов 2, 6,
10 можно вернуться при изучении метода математической индукции;
учащимся предоставляется возможность выдвигать гипотезы о том, как
изменение какого-либо параметра в исходной формуле отразится на
результате;
выдвижение гипотез и их подтверждение (опровержение), переход от
ч а с т н ы х
с л у ч а е в
к
о б щ и м
в ы в од а м
в а ж н ы
и м е н н о
в
естественнонаучном
классе,
учитывая
специфику
научных
методов,
используемых в биологии и химии;
эмоциональный эффект урока возможно усилить за счет исторических
справок о треугольнике Паскаля, биноме Ньютона;
появившиеся новые сведения о произведении первых n натуральных
чисел (факториал), биномиальных коэффициентах, новые формулы и
методы их доказательств позволят в последующем продемонстрировать
взаимосвязь и единство отдельных разделов математики.
По
завершении
получения
всех
формул
возможно
рассмотрение
частных случаев:
b
=
1 ;
a
−
b
¿
(
√
a
)
2
−
(
√
b
)
2
=
(
√
a
−
√
b
) (
√
a
+
√
b
)
;
a
−
b
=(
3
√
a
)
3
−(
3
√
b
)
3
=(
3
√
a
−
3
√
b
)(
3
√
a
2
+
3
√
ab
+
3
√
b
2
)
;
a
+
b
=(
3
√
a
)
3
+(
3
√
b
)
3
=(
3
√
a
+
3
√
b
)(
3
√
a
2
−
3
√
ab
+
3
√
b
2
)
а также получение красивых неравенств:
1.
a
2
+
b
2
≥ 2 ab
(Доказательство:
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2 ab
+
b
2
,
т . к .
(
a
−
b
)
2
≥ 0, то
a
2
−
2a b
+
b
2
≥ 0
, а значит
a
2
+
b
2
≥ 2 ab
).
2.
a
2
+
b
2
+
c
2
≥ a b
+
ac
+
bc
(Доказательство:
имеем
неравенство
a
2
+
b
2
≥ 2 ab
,
аналогично
a
2
+
c
2
≥ 2ac
,
c
2
+
b
2
≥ 2c b
. Сложим все три неравенства, получим
2a
2
+
2 b
2
+
2c
2
≥ 2a b
+
2 ac
+
2b c
. Разделим обе части неравенства на 2. Получим
a
2
+
b
2
+
c
2
≥ a b
+
ac
+
bc
).
3.
Если
a
+
b≥ 1
, то
a
4
+
b
4
≥
1
8
. (Доказательство: пусть
a
+
b≥ 1
. Возведем в
квадрат обе части неравенства:
a
2
+
2a b
+
b
2
≥ 1
. Имеем
a
2
−
2a b
+
b
2
≥ 0
. Сложим
эти
два
неравенства:
2a
2
+
2 b
2
≥ 1
.
Разделим
обе
части
неравенства
на
2:
a
2
+
b
2
≥
1
2
. Возведем обе части неравенства в квадрат:
a
4
+
2a
2
b
2
+
b
4
≥
1
4
, с
другой
стороны
a
4
−
2 a
2
b
2
+
b
4
≥ 0
. Если сложить полученные неравенства и
разделить обе части неравенства на 2, то получим
a
4
+
b
4
≥
1
8
).
В зависимости от наличия времени и собственных предпочтений уроки
можно проводить,
используя эвристическую беседу, организуя групповую
работу или в формате мини-исследования. Последний позволяет учащимся
осваивать исследовательский метод, включающий в себя умение наблюдать,
подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их истинность,
делать выводы, критически осмысливать полученные результаты, применять
их в дальнейшем (что наиболее соответствует профилю обучения).
Важным является вопрос оформления полученных результатов. Одним
из возможных способов является табличное представление итогов работы
(таблица
1).
Подобная
таблица
позволяет
структурировать
полученную
информацию и в дальнейшем использовать на уроках математики, в том
числе при подготовке к государственной итоговой аттестации.
Таблица 1
Формулы сокращенного умножения
№
п/п
Формула
Название
Частные случаи, примечание
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2ab
+
b
2
квадрат
суммы
(
a
+
1
)
2
=
a
2
+
2 a
+
1
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3a
2
b
+
3ab
2
+
b
3
куб
суммы
(
a
+
1
)
3
=
a
3
+
3 a
2
+
3a
+
1
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4 a
3
b
+6
a
2
b
2
+
4a b
3
+
b
4
(
a
+
1
)
4
=
a
4
+
4 a
3
+6
a
2
+
4 a
+
1
(
a
+
b
)
n
=
C
n
0
a
n
+
C
n
1
a
n
−
1
b
+
C
n
2
a
n
−
2
b
2
+
…
+
C
n
k
a
n
−
k
b
k
+
…
+
C
n
n
b
n
бином
Ньютона
C
n
k
=
n
(
n
−
1
)
…..
(
n
−
k
+
1
)
k !
k!=1·2·3··· k
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2 ab
+
b
2
квадрат
разности
(
a
−
1
)
2
=
a
2
−
2a
+
1
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3 a
2
b
+
3 ab
2
−
b
3
куб
разности
(
a
−
1
)
3
=
a
3
−
3a
2
+
3 a
−
1
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
разность
квадратов
a
–
b
= (
√
a
−
√
b
¿ (
√
a
+
√
b
)
,
a
≥ 0, b ≥
0
a
2
−
1
=
(
a
−
1
)
(
a
+
1
)
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
ab
+
b
2
)
разность
кубов
a
–
b
= (
3
√
a
−
3
√
b
¿ (
3
√
a
2
+
3
√
ab
+
3
√
b
2
)
a
3
−
1
=
(
a
−
1
)
(
a
2
+
a
+
1
)
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
a
2
b
+
a b
2
+
b
3
)
a
4
−
1
=
(
a
−
1
)
(
a
3
+
a
2
+
a
+
1
)
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
…
+
ab
n
−
2
+
b
n
−
1
)
разность n
степеней
a
n
−
1
=
(
a
−
1
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
+
a
n
−
3
+
…
+
a
+
1
)
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
ab
+
b
2
)
сумма
кубов
a
+
b
= (
3
√
a
+
3
√
b
¿(
3
√
a
2
−
3
√
ab
+
3
√
b
2
)
a
3
+
1
=
(
a
+
1
)
(
a
2
−
a
+
1
)
a
2 k
+
1
+
b
2 k
+
1
=
(
a
+
b
)
(
a
2k
−
a
2 k
−
1
b
+
a
2k
−
2
b
2
−
…
+
b
2 k
)
сумма
нечетных
степеней
a
2 k
+
1
+
1
=
(
a
+
1
)
(
a
2 k
−
a
2k
−
1
+
a
2k
−
2
−
…
+
1
)
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2ab
+
2bc
+
2ac
квадрат
суммы
трех
слагаемых
(
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
)
2
=
a
1
2
+
a
2
2
+
…
+
a
n
2
+
2a
1
a
2
+
…
+
2 a
n
−
1
a
n
квадрат
суммы n
слагаемых
(
a
+
b
+
c
)
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
+
3 a
2
b
+
3 a
2
c
+
3b
2
a
+
3 b
2
c
+
3c
2
a
+
3c
2
b
+
6abc
куб
суммы
трех
слагаемых