Формирование умений математического моделирования обучающихся

Одной

из

основных

задач

современного

образования

является

формирование

практически

компетентной

личности.

Поэтому

поиск

новых

возможностей

усиления

прикладной направленности школьного курса математики, средств формирования навыков

математического

моделирования

является

перспективным

направлением

исследований

в

области теории и методики обучения математике.

Психологический

аспект

данной

проблемы

(Закономерности

мыслительной

деятельности,

переформулирование

задач,

моделирование

как

средство

познания

и

др.)

рассмотрены в работах Л. Выготского, П.Я. Гальперина, С. Костюка, А.Н. Леонтьева, Е.И.

Машбиц, С.Л. Рубинштейна и др.

Теоретический анализ научно-методической литературы дал основания утверждать,

что термин «модель» является многогранным, поэтому ученые трактуют его по-разному.

В частности, этим термином называют логическую структуру, в которой описан ряд

отношений между ее элементами; графическое представление объекта или процесса в виде

графика,

блок

схемы

или

кривой,

характеризующей

динамику

исследуемого

процесса;

систему математических соотношений, описывающих исследуемый процесс или явление;

реально существующую или воображаемую систему, которая, находясь с оригиналом в

отношении сходства, позволяет получить о нем новую информацию. Проведенный анализ

научно-методической

и

математической

литературы

позволил

выделить

следующие

определения:

- математическая модель - это описание изучаемого объекта, процесса или некоторой

ситуации на языке математических понятий, формул, уравнений, отношений и т.д.;

- математическое моделирование - это метод научного познания окружающего мира,

который заключается в построении и исследовании математических моделей его отдельных

процессов, явлений и объектов.

Математическое моделирование - является методом исследования процессов (или

явлений)

путем

построения

системы

математических

соотношений

(математических

моделей), описываемые [1, с. 528].

Математическая модель - это только специальный способ описания, позволяющий для

анализа использовать формально-логический аппарат математики.

Предметное иллюстрирование, инсценировка условия задачи, сокращенная запись и

представление

-

воспроизведения

в

мыслях

помогают

отразить

задачей

ситуацию

в

соответствии

со

своей

специфики:

языком

чертежи,

знаков,

символов,

записей

или

предметов. Но изображение, воспроизведения чего-то, а в данном случае - содержания задачи

с помощью других объектов (Чертежи, записи, знаки, символы, предметы, инсценировка)

являются

характерными

признаками

моделей

и

процесса

моделирования.

То

есть

все

вышеупомянутые средства, начиная от предметного иллюстрирования, являются моделями

задач,

которые,

как

показывает

проведенное

исследование,

должны

быть

постоянным

обязательным компонентом работы с задачей. Они являются той опорой, которая помогает

ученикам понять суть и сознательно выбрать правильный путь решения [5].

Модели задач является результатом процесса моделирования содержания этих задач.

Моделирование сюжетных задач - это практическое воспроизведение описанной в задаче

ситуации с помощью предметов или их изображений, схем, таблиц, чертежи, отражающие

связи и зависимости между данными и искомыми величинами.

Для

обеспечения

эффективности

процесса

работы

над

задачами

ученики,

решая

математическую

сюжетную

задачу,

должны

понимать

и

осознать,

что

она

является

отражением реальной ситуации, «Задачной ситуации», то есть, что они решают реальную

жизненную ситуацию. Поэтому ребенок должен всегда четко представлять, "видеть" то, что

описано

в

условии,

акцентируя

свое

внимание

на

указанных

величинах,

связях

и

зависимостях между ними. Соответственно для решения задачи необходимо построить ее

модель: воспроизвести указанную в задаче ситуацию для возможности непосредственного

1

чувственного или обобщенного ее восприятия. При этом с предметами, знаками, условными

записями школьники должны быть ознакомлены, чтобы легко и правильно понимать и

использовать их в учебной деятельности.

Кроме

того,

нужно

учитывать

необходимость

использования

мысленной

модели,

которую мысленно строит ученик. Педагогу обязательно нужно направить ребенка на эти

представления, сопровождая их схематическим отображением описанной ситуации.

О

представлении

в

мыслях

того,

о

чем

говорится

в

задаче,

говорили

дидакты-

методисты М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, Л. Н. Скаткин. Читая задачу, утверждалось ними,

дети имеют представлять отраженную в ней жизненную ситуацию. Для этого полезно,

прочитав задачу, предложить школьникам представить то, о чем говорится в задаче, и

рассказать, как они это представили (Нарисовать словесную картину) [4, с. 159].

Можно

прочитать

и

другую,

противоположную

точку

зрения,

где

есть

оговорка,

советы вообще не использовать такой подход в работе над задачами. Мотивируют это тем,

что такой процесс является неконтролируемым со стороны учителя и представления могут

отвести рассуждения ребенка от условия задачи [3, с. 162; 13, с. 202]. Естественно, что такое

мнение не беспочвенно.

Однако

одной

из

традиционных

условий,

обеспечивающих

эффективность

использования

принципа

наглядности,

является

обучать

учеников

видеть,

воспринимать

объект обучения, о котором идет речь. Об этом говорили не только ученые и педагоги ХХ в.,

но и выдающиеся педагоги прошлого И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушинский. Очевидно, что это

правило

распространяется

и

на

использование

моделей,

в

частности

как

средств

моделирования. Поэтому детей необходимо учить правильно работать, воспринимать любые

виды моделей, в том числе умственные, мышлении. Итак, с первых уроков работы над

задачами у школьников нужно вырабатывать умение четко представлять то, о чем говорится в

тексте задачи: мысленно воспроизводить процесс, описанный в задаче а также формировать

умение школьников воспроизводить это наглядное с помощью предметов, схем, чертежи,

таблиц или других средств, то есть моделировать ситуацию, описанную в задаче.

Очевидно, что моделирование имеет важное значение для понимания как структуры

задачи, так и связей между данными и искомыми величинами, о которых идет речь в условии.

Эффективность работы над задачами обеспечивается наличием процесса моделирования и

пониманием учителем, что наглядный материал, который используется, являются моделями и

выполнением

других

условий

эффективного

применения

средств

наглядности

и

моделирования.

Анкетирование

учителей,

анализ

практики

работы

в

школах

и

непосредственное

наблюдение за учебно-воспитательным процессом показали, что в России есть определенный

опыт использования математического моделирования в процессе обучения, но в основном

этот опыт касается решения прикладных задач, иногда объяснение нового материала. При

этом

большинство

респондентов

отметили,

что

использование

математического

моделирования в учебно-воспитательном процессе способствует повышению уровня знаний

учащихся

и

интереса

к

изучению

предмета,

но

для

его

успешной

организации

нужно

методическое обеспечение.

Основные положения разработанной методики формирования у учащихся основной

школы знаний, умений и навыков математического моделирования следующие:

1. Определяя целевой компонент методики формирования у учащихся навыков и

умений

математического

моделирования,

следует

учитывать

психолого-педагогические

особенности

школьников

каждой

возрастной

группы,

содержание

математического

образования, а также обеспечивать преемственность в обучении.

2. Смысловая составляющая методики формирования у учащихся навыков и умений

математического моделирования предполагает его изучение как сквозной содержательной

линии ШКМ, что завершается отдельной темой, где ученики получают обобщенные знания о

математическое моделирование.

2

3. Процесс формирования навыков и умений математического моделирования имеет

состоять из следующих этапов: пропедевтический (5 - 6 классы), начальный (7 - 8 классы),

основной (9 класс) и исследовательский.

4.

Формирование

навыков

и

умений

математического

моделирования,

высокое

качество знаний и творческое развитие школьников должно обеспечиваться через удачное

использование организационно-методического инструментария (методов, форм и средств) в

процессе обучения математике в 5 - 6 классах и геометрии в 7 - 9 классах. В частности:

- Эффективность формирования навыков и умений математического моделирования

имеет достигаться за счет оптимального сочетания традиционных и инновационных методов

обучения. Особую роль при этом необходимо отвести интерактивным методам и метода

проектов.

- Выбор организационных форм обучения учащихся математического моделирования

зависит от возрастных особенностей и содержания математического восприятия.

-

Средства

обучения

школьников

математического

моделирования

определяются

исходя

из

целей

этого

обучения.

Большое

внимание

следует

уделять

использованию

наглядности и электронных средств.

5. Контроль результатов обучения математическому моделированию в учеников имеет

осуществляться

на

основе

комплексного

подхода,

который

заключается

в

выполнении

школьниками

разных

видов

задач:

доказательства

теорем,

решения

прикладных

задач,

изготовление средств обучения, выполнения измерительных работ на местности, написание

исследовательских и расчетно-графических работ, создания проектов [11].

6. Изучение и использование элементов математического моделирования на уроках

математики в 5 - 6 классах и геометрии в 7 - 9 классах создает благоприятные условия для:

-

сознательного

овладению

учащимися

математическим

моделированием

как

универсальным методом учебного познания окружающей среды;

- повышение уровня развития творческих способностей школьников;

-

активизации

познавательного

интереса

к

изучению

предмета

и

эффективности

обучение.

Одной из эффективных форм учебной деятельности по формированию у учащихся

основной школы навыков математического моделирования является кружковая работа. Во

время

их

проведения

школьники

не

только

знакомятся

со

строением

и

способами

использования простых землемерных приборов, но и с методами решения определенных

практических задач, наглядно геометрические понятия, свойства фигур, практикуются в

переносе сложившейся мысленной модели определенного объекта или процесса в реальную

действительность.

Методическая система включает:

- цели и задачи формирования знаний и умений математического моделирования;

- содержание учебного материала, что касается математического моделирования, и его

структурирования;

- наиболее эффективные методы и приемы обучения, способствующие формированию

умений и навыков математического моделирования;

- целесообразные организационные формы обучение;

- необходимые дидактические средства обучения.

Опишем

цели

обучения

математическому

моделированию

учащихся

каждой

возрастной группы (Табл. 1).

Таблица 1

Цели обучения математическому моделированию учащихся основной школы

Класс

Цель

учебная

развивающая

воспитательная

3

9

Обобщить

знания о математической

модели, ее виды, этапы

математического

моделирования;

усовершенствова

ть умение решать задачи

методом

математического

моделирования;

формировать

умение

использовать

информационно-

коммуникационные

технологии при создании

и исследовании

математической

модели.

Развивать

формально-логическое и

формально-

операционное

мышление,

память

учащихся,

совершенствовать

в л а д е н и е

о б щ и м и

приемами

умственной

деятельности.

Воспитывать

интерес к

теоретических

проблем

математики,

нравственность,

культуру,

самостоятельность в

получении

новых знаний,

умение

рассматривать

ситуацию

под разными углами

зрения, выбирать

оптимальный

в ы ход ,

критически

о т н о с и т ь с я

к

ошибкам.

Согласно к цели ставим следующие задачи

а) учебные:

1) умственного характера:

1.1) стимулирование интеллектуальной активности;

1.2) формирование научного мировоззрения;

2) практического характера:

2.1) повышение жизненной компетенции учащихся;

2.2) формирование навыков поисковой деятельности;

б) развивающие:

1)

формирование

и

развитие

познавательных

процессов

(памяти,

воображения,

внимания,

мышления),

общих

приемов

умственной

деятельности

и

коммуникативных

навыков;

в) воспитательные:

1) создание широкого поля для установления межпредметных связей;

2) стимулирование и поддержка интереса к предмету;

3) осуществление пропедевтической профориентационной работы.

Адаптируем содержание учебного материала, определенный действующей программе

по

математике

[2],

к

формированию

знаний,

умений

и

навыков

математического

моделирования. (табл.2).

Таблица 2

Структурная модель обучения учащихся основной школы математическому

моделированию на уроках математики и геометрии

Класс

Содержание учебного материала

Виды математических

моделей

Требования к уровню

подготовки учащихся

4

9

Тема 1. Решение треугольников

Т е м а

2 .

П р а в и л ь н ы е

многоугольники

Тема 3. Декартовы координаты на

плоскости

Т е м а

4 .

Г е о м е т р и ч е с к и е

преобразования

Тема 5. Векторы на плоскости

Тема

6.

Начальные

сведения

по

стереометрии

Знако-символьные: числовые и

б у к в е н н ы е

в ы р а ж е н и я ;

уравнения,

неравенства,

их

системы, формулы, функции.

О б р а з н ы е :

р и с у н к и

четырехугольников,

треугольника,

правильных

м н о г о у г о л ь н и к о в

и

и х

элементов; призмы, пирамиды,

цилиндра,

конуса,

ш а р а ;

графики функций.

Статические:

наглядно сти

геометрических фигур.

Имеет понятия о

планиметрическая

ф и г у р ы

к а к

математические модели.

Имеет

п р е д с т а в л е н и е

о

стереометрические

ф и г у р ы

к а к

математические модели.

Строит

целесообразные

знако-

символьные,

образные модели

для решения прикладных

задач.

Изображает

изучены геометрические

ф и г у р ы

и

и х

комбинации.

Полученные в процессе изучения геометрии в 9 классе знания о математическом

моделировании

нуждаются,

по

нашему

мнению,

обобщению

и

систематизации.

Мы

предлагаем осуществить это в конце 9 класса на уроках алгебры при овладении темы

«Элементы

прикладной

математики»,

причем

программа

в

контексте

данной

темы

предполагает выделение часов на изучение математического моделирования [2].

Таблица 3

Структурная модель изучения темы «Математическое моделирование» на уроках

алгебры в 9 классе

Содержание учебного материала

Требования к уровню подготовки учащихся

Математическое моделирование.

Математическая модель, ее виды.

Этапы построения и исследование модели.

Математические

модели

в

курсе

математики

основной школы.

Имеет

понятия

о

алгебраических

выражениях,

уравнениях, неравенствах и их системах, функции и

их

графики,

планиметрическая

фигуры

как

математические модели.

Имеет представление о стереометрические фигуры

как математические модели.

Строит целесообразные знако-символьные, образные

модели для решения прикладных задач.

Решает прикладные задачи методом математического

моделирования.

Использует

информационно-коммуникационные

технологии

при

создании

и с с л ед о в а н и я

математической модели.

Что

касается

методов,

приемов

и

организационных

форм

деятельности,

то

проведенный анализ психолого-педагогических особенностей подростков позволил сделать

следующие выводы:

5

•

для младших подростков (10 - 11 лет) целесообразной будет такая организация

учебно-воспитательного процесса, при которой преобладали бы методы, приемы и формы

деятельности с опорой на стимулирование и поддержку интереса к предмету;

• Для среднего подросткового возраста (12 - 13 лет) наиболее удачной будет такая

организация учебно-воспитательного процесса, при которой применялись бы групповые

методы, приемы и формы деятельности с опорой на практическое применение знаний;

•

для старших подростков (14 - 15 лет) целесообразной будет такая организация

учебно-воспитательного

процесса,

при

которой

преимущество

отдавалось

бы

методам,

приемам и формам деятельности с опорой на научные основы школьных предметов [7].

Таким

образом,

предложенная

концептуальная

модель

методической

системы

формирования у учащихся знаний, умений и навыков математического моделирования на

уроках

алгебры

и

геометрии

органично

включается

в

учебный

процесс,

учитывает

психолого-педагогические особенности подростков и может быть использована учителями

разных категорий различных типов школ.

Литература:

1.

Введение в математическое моделирование: Учебное пособие // Под ред. П. В.

Трусова. – М.: Логос, 2005. 440 c.

2.

Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. – М.: Физматлит, 2002.

3.

Кирьянов Б.Ф. Математическое моделирование. – Великий Новгород: НовГУ,

2006. – 35с.

4.

Макарова Н. А. Основные этапы моделирования. – СПб.: Питер, 2005.

5.

Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи.

Методы. Примеры. 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2002. – 320 с.

6.

Умнов А.Е. Методы математического моделирования. – М.: МФТИ, 2012. – 295с.

5.

7.

Федеральный

государственный

образовательный

стандарт

основного

общего

образования (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 декабря

2010 г. N 1897).

8.

Шафаревич И.Р. Математическое мышление и природа // ВИЕТ. 1996. ¦ 1. С. 78-

84.

6