I. Грань

–

правильный треугольник.



3

– внутренний угол треугольника.



3

= 60°

n – число граней многогранного угла.

1).n = 3 60° · 3 = 180° < 360° Вывод: Существует 3 вида

2).n = 4 60° · 4 = 240° < 360° правильных многогранников,

3).n = 5 60° · 5 = 300° < 360° гранями которых являются

4).n = 6 60° · 6 = 360° (многогранный правильные треугольники.

угол совпадает с плоскостью)

Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр

I I. Грань

–

квадрат.



4

= внутренний угол квадрата.



4

= 90°

1).n = 3 90° · 3 = 270° < 360° Вывод: Существует 1 вид

2).n = 4 90° · 4 = 360° (многогранный правильного многогранника,

угол совпадает с плоскостью) гранями которого являются

квадраты.

Куб (гексаэдр)

I I I. Грань

–

правильный пятиугольник.



5

= 180° · (5 – 2) / 5 = 108°

1).n = 3 108° · 3 = 324° < 360° Вывод: Существует 1 вид

2).n = 4 108° · 4 = 432° > 360° правильного многогранника,

гранями которого являются

правильные пятиугольник

Додекаэдр

I V. Грань

–

правильный шестиугольник.



6

= 120° Вывод: правильный многогранник

1).n = 3 120° · 3 = 360° (многогранный гранями которого являются

гол совпадает с плоскостью) правильные шестиугольники

не существует.

Вывод: существует 5 видов правильных многогранников.

Почему правильные многогранники получили такие имена?

Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:

эдрон

–

грань окто - восемь

тетра - четыре додека - двенадцать

гекса - шесть икоси - двадцать

Название правиль-

ного многогранника

Вид грани

Число

вер-

шин

( В )

Числог

ра-

ней

( Г )

Число

ребер

( Р )

Вывод из

наблюдений

Четырехгранник

(тетраэдр)

правильный

треугольник

4

4

6

В+Г=Р+2

Шестигранник

(куб-гексаэдр)

квадрат

8

6

12

В+Г=Р+2

Восьмигранник

(октаэдр)

правильный

треугольник

6

8

12

В+Г=Р+2

Двенадцатигранник

(додекаэдр)

правильный

пятиугольник

20

12

30

В+Г=Р+2

Двадцатигранник

(икосаэдр)

правильный

треугольник

12

20

30

В+Г=Р+2

ТЕОРЕМА ДЕКАРТА – ЭЙЛЕРА:

В+Г=Р+2.