Министерство образования Республики Башкортостан

Государственное Бюджетное Образовательное учреждение

Аургазинский многопрофильный колледж

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Тема: «К ВОПРОСУ О ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ

»

Разработал: Мухаметшин Рафис Раисович

Преподаватель общеобразовательных дисциплин

Рассмотрено

на заседании ПЦК

Протокол № ____ от

«__» _______________2019 г.

с. Кармаскалы 2019 г.

К ВОПРОСУ О ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ

Аннотация: в статье описан один из возможных вариантов доказательства

гармонического характера колебаний математического и пружинного

маятников, изменений заряда, напряжения и силы электрического тока в

колебательном контуре, а также энергии этих колебательных систем. Логически

обосновано и математически строго доказано, почему только двумя

тригонометрическими функциями – синусом и косинусом могут быть описаны

любые изменяющиеся во времени характеристики всевозможных

гармонических колебаний. Статья будет полезна для средней и высшей школы

как пример применения метода дифференциального исчисления для

исследования физических процессов и явлений.

Ключевые слова: гармонические колебания, математический и пружинный

маятник, колебательный контур, частота, циклическая частота, период,

функция, фаза колебаний, уравнение гармонических колебаний, производная.

Повторяющиеся движения – колебания, достаточно широко распространены в

природе и технике. Колебания веток деревьев и поверхности водоемов в

ветреную погоду, движения различных вращающихся и совершающих

возвратно-поступательные движения частей и деталей машин и механизмов,

периодические сокращения сердца и дыхательные движения живых организмов

– все это примеры колебаний.

Если внимательно пронаблюдать за колебаниями маятника и проанализировать

их, то можно убедиться, что основные его характеристики – координата

(отклонение от положения равновесия), скорость и ускорение изменяются с

течением времени плавно и непрерывно, а не дискретно. С этого, а также из

определения колебательного движения следует, что все вышеуказанные

параметры колебаний могут быть описаны только непрерывными

периодическими функциями. Очевидно, что со всего многообразия функций

этим условиям удовлетворяют лишь только синус (sin) и косинус (cos).

Такие колебания, координата, скорость и ускорение которых изменяются по

закону синуса или косинуса, называются гармоническими. Их название

происходит от греческого слова αρμουχοσ (гармоникос) – стройный, слаженный,

согласованный.

Вообще же любая изменяющаяся величина x(t) считается гармонически

изменяющейся со временем, если ее вторая производная по времени х

//

(t)пропорциональна самой этой величине, взятой с обратным знаком:

х

//

(t) = -ω

2

x(t) (1)

где ω – т.н. циклическая частота колебаний, измеряемая в СИ в рад/с.

Поэтому уравнение (1) можно считать условием гармоничности колебаний

величины x.

Докажем, что колебания математического и пружинного маятников, а также

электромагнитные колебания в колебательном контуре будут гармоническими,

т.е. такими, что их изменяющиеся со временем характеристики будут

удовлетворять уравнению (1).

Как известно, математическим маятником называют тело, подвешенное на

тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с

массой тела, а его размеры пренебрежимо малы по сравнению с длиной нити.

Во время движения маятника на него действует сила тяжести и сила натяжения

нити . Предположим, что маятник движется вправо и отклоняется при этом на

угол α от положения равновесия. При этом возникает равнодействующая

сила F

p

= -mg*sinα, стремящаяся возвратить маятник в положение равновесия.

Знак «-» указывает, что равнодействующая сила направлена в

противоположную сторону смещения маятника.

Если α выражено в радианах, то при малых углах α ≈ sinα ≈ , поэтому будем

иметь:F

p

= - mg* .

Т.к. согласно второму закону Ньютона F = ma, а ускорение a есть вторая

производная координаты по времени х

//

(t), то получим, что

- mg* = m* х

//

(t), откуда х

//

(t) = - x(t) (2)

Полученное уравнение (2) полностью соответствует уравнению (1).

Следовательно, колебания маятника при малых углах α будут гармоническими.

Из идентичности уравнений (1) и (2) определяем, что циклическая частота

колебаний маятника ω =, а т.к. ω =, то для периода колебания математического

маятника получим так называемую формулу Гюйгенса: T = 2π .

Если за х

мах

обозначить амплитуду маятника и считать, что в начальный момент

времени его координата равна амплитуде, тогда зависимость его

координаты x(t) от времени будет иметь вид:

x(t) = х

мах

* cosα = х

мах

* cosωt (3)

Величина ωt, стоящая под знаком синуса или косинуса в уравнении

гармонических колебаний, однозначно определяющая при заданной амплитуде

значение изменяющейся величины, называется фазой колебаний.

Докажем, что уравнение (3) полностью удовлетворяет уравнению

гармонических колебаний (1).

Для этого найдем сначала первую производную x

/

(t) координаты

маятника x(t) по времени, т.е. его скорость, продифференцировав по времени

уравнение (3):

v(t) = x

/

(t) = - ωx

max

*sinωt , (4)

а потом вторую производную – x

//

(t) – найдя его ускорение:

a(t) = x

//

(t) = (x

/

(t))

/

=( - ωx

max

*sinωt )

/

= - ω

2

х

мах

*cosωt = -ω

2

x(t) .Следовательно, х

//

(t) = -ω

2

x(t), что и требовалось доказать.

Т.к. - sinφ = cos(φ + ) , то уравнение (4) примет вид:

v(t) = ωx

max

* cos(ωt + ). Сравнивая фазу ωt + изменения скорости в этом

уравнении с фазой изменения координаты в уравнении (3) приходим к выводу,

что изменение скорости при гармонических колебаниях опережает по фазе

изменение координаты на радиана.

Поскольку ускорение a(t) = - ω

2

х

мах

*cosωt = ω

2

х

мах

*cos(ωt+π), следовательно,

изменение ускорения опережает на π радиан изменение координаты и

на радиана изменение скорости при гармонических колебаниях маятника. Если

координата маятника изменяется в соответствии с уравнением (3), то

графически эти смещения будут выглядеть следующим образом:

Если же в начальный момент маятник проходит положение равновесия, то

зависимость его координаты x(t) от времени будет описываться функцией sin:

x(t) = х

мах

* sinωt (5)

Тогда аналогично найдем скорость: v(t) = x

/

(t) = ωx

max

*cosωt ; и ускорение: a(t)

=x

//

(t) = (x

/

(t))

/

=( ωx

max

*cosωt )

/

= - ω

2

х

мах

* sinωt = -ω

2

x(t) .

Таким образом, можно считать доказанным, что колебания маятника при малых

углах будут гармоническими, т.к. уравнения (3) и (5), описывающие

зависимость его координаты от времени, удовлетворяют условию

гармоничности (1).

Докажем, что и колебания пружинного маятника - тела массой m,

прикрепленного к пружине с закрепленным концом и коэффициентом

упругости k, также будут гармоническими, а следовательно описываются

функциями sin и cos.

Будем считать, что маятник движется только под действием силы упругости

пружины F

упр

, тогда с учетом закона Гука и второго закона Ньютона будем

иметь: -kx = ma , а т.к. a(t) = x

//

(t), то получим, что

- kx = m* x

//

(t), откуда x

//

(t) = - *x(t). (5)

Т.к. полученное уравнение (5) идентично уравнению (1), то отсюда следует, что

пружинный маятник также колеблется гармонически. Таким образом,

циклическая частота пружинного маятника ω =, а его

период T = 2π.

Следовательно, уравнение движения пружинного маятника будет иметь

вид: x(t) =х

мах

*cosωt , если маятник в начальный момент отклонен от положения

равновесия в крайнее положительное направление оси х, и

x(t) = х

мах

* sinωt , если маятник в начальный момент находится в положении

равновесия.

Аналогично докажем, что изменения заряда q и напряжения U на обкладках

конденсатора емкостью С колебательного контура, а также тока I в его катушке

индуктивностью L также имеют гармонический характер.

После того, как конденсатор зарядили, он начнет

разряжаться через катушку – в ней возникает изменяющийся по величине и

направлению электрический ток. При этом в катушке возникает ЭДС

самоиндукции (напряжение): Ɛ= -L* = U. Т.к. при ∆t→ ∞ =I

/

(t), а электрический

ток I(t) есть первая производная заряда q

/

(t) по времени, то для напряжения на

конденсаторе получим: U= - L* = - L* q

//

(t) , где q

//

(t) - вторая производная

заряда по времени. Поскольку напряжение на конденсаторе, его электроемкость

и заряд связаны уравнением U = , то приравняв правые части последних двух

равенств получаем:

- L* q

//

(t) = , откуда имеем уравнение подтверждающее, что заряд на

конденсаторе изменяется гармонически т.к. q

//

(t) = - *q(t).

Исходя из выше изложенного, можно утверждать, что если в начальный момент

конденсатор заряжен, то его заряд, напряжение и ток в катушке будут

изменяться соответственно по законам:

q = q

max

*cos ωt (6),

U = *cos ωt , I = q

/

(t)= - ωq

max

*sinωt ,

где ω = - циклическая частота электромагнитных колебаний в контуре. Тогда

для периода этих колебаний получим так называемую формулу Томсона: Т =

2π .

Если заряд на конденсаторе контура изменяется по закону синуса

q = q

max

*sin ωt (7) ,

то U = *sin ωt , I = ωq

max

*cosωt .

Понятно, что при механических гармонических колебаниях маятника также по

гармоническим законам изменяются:

равнодействующая сила Ϝ = - m ω

2

х

мах

cosωt;

кинетическая энергия Е

к

= = (ωx

max

*sinωt)

2

и

потенциальная энергия Е

п

= (х

мах

* cosωt)

2

для случая,

когда координата

изменяется по закону косинуса – уравнение (3), или

Ϝ = - m ω

2

х

мах

sinωt ; Е

к

= (ωx

max

*cosωt)

2

; Е

п

= (х

мах

* sinωt)

2

, если координата

изменяется по закону синуса – уравнение (5).

Если координата маятника изменяется по косинусоидальному закону

(x(t) = х

мах

*cosωt ), то графически изменение скорости (v(t)= -ωx

max

*sinωt ) и его

кинетической энергии (Е

к

= (ωx

max

*sinωt)

2

будет выглядеть ниже следующим

образом:

Полная энергия тела, совершающего гармонические механические колебания

Е

пол

= Е

к

+ Е

п

=ωx

max

)

2

= (8)

прямо пропорциональна квадрату амплитуды скорости или квадрату амплитуды

колебания.

Исходя из выше изложенного ясно, что в колебательном контуре так же

гармонически изменяются энергии электрического и магнитного полей:

E

эл

= cos

2

ωt , E

мн

= ω

2

*sin

2

ωt в случае, если заряд конденсатора изменяется по

закону косинуса – уравнение (6)

или E

эл

= sin

2

ωt и E

мн

= ω

2

*cos

2

ωt , если заряд изменяется по синусу – уравнение

(7). Полная энергия колебательного контура

Е

пол

= Е

э

+ Е

м

= = ω

2

(9)

прямо пропорциональна квадрату амплитуды заряда или квадрату амплитуды

силы тока.

Это и выше изложенное утверждение и соответствующие им уравнения (8) и (9)

– одно из свойств гармонических колебаний, которое может быть использовано

для их энергетического определения, вне зависимости от их типа –

механические они или электромагнитные: гармоническими колебаниями любой

физической величины называют такие, полная энергия колебаний которых

пропорциональна квадрату амплитуды этих колебаний (или квадрату изменения

скорости этой величины).

Список литературы

1.

В.А.Лободюк, К.П., Рябошапка, О.И.Шулишова. Справочник по

элементарной физике. – Киев, «Наукова думка», 1975

2.

Ю.В.Гофман. Законы, формулы, задачи физики. – Киев, «Наукова думка»,

1977

3.

Н.М.Шахманаев. Физика: колебания и волны. – Москва, «Просвещение»,

1984