СПРАВОЧНИК

ПО МАТЕМАТИКЕ

«КУРС НА ГВЭ - 2021»

Г

– ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

В

– ВЫПУСКНОЙ

Э

- ЭКЗАМЕН

Конспект № 1

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - это цифры, по-другому числа

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - это однозначные числа

Многозначные числа:

10, 11, 12, 13, 14, 15… - это двузначные числа

101, 111, 386, 555… - это трехзначные числа

1346, 5787, 9999… - это четырехзначные числа

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15… - это натуральные числа

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… - это целые числа

+ – ∙ ׃

СУММА РАЗНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧАСТНОЕ

˃

знак меньше,

˂

знак больше, = знак равно

ОКРУГЛЕНИЕ: 0, 1, 2, 3, 4 - ничего

5, 6, 7, 8, 9 -

+1

Например, 4,23 = 4,23

4,25 = 4,3

4,26 = 4,3

980 + (980 + 50) – это числовое выражение

980 + (980 + 50) = 2010

2010 – это значение числового выражения

980 + (980 + m) - это буквенное выражение (есть буква)

2

Конспект № 2

Прямая, отрезок, луч

• А • В

точка А, точка В, точка С

• С

прямая АВ или а

прямая а пересекает прямую в в точке М

отрезок ВС

В – конец отрезка, С – конец отрезка

М N C K E

единичный отрезок

МN, NС, CК, KE – это единичные отрезки

луч ОА

О – начало луча

х -это координатный луч

3

Конспект № 3

СЛОЖЕНИЕ.

а + b = c

1 слагаемое 2 слагаемое сумма

1 слагаемое + 2 слагаемое = сумма

Свойства сложения.

1. Переместительное. а + b = b + a

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное. а + ( b + с ) = ( а + b ) + c

Чтобы к числу а прибавить сумму чисел b и с, можно к сумме чисел

а и b прибавить число с.

3. Свойство нуля. а + 0 = 0 + а = а

Если к числу прибавить 0, то получится то же число.

ВЫЧИТАНИЕ

а - b = c

уменьшаемое вычитаемое разность

уменьшаемое - вычитаемое = разность

Свойства вычитания.

1. Вычитание суммы из числа. а – ( b + c ) = а – b – с

Чтобы из числа вычесть сумму, можно из этого числа вычесть каждое

слагаемое.

2. Вычитание числа из суммы. ( а + b ) – c = a + ( b – c )

( а + b ) – c =( a – c ) + b

Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть это число из одного

слагаемого и к разности прибавить второе

слагаемое.

3. Свойства нуля. а – 0 = а ; а – а = 0

Если из числа вычесть 0, то получится то же число.

Если из числа вычесть это же число, то получится 0.

4

УМНОЖЕНИЕ

а · b = c

1 множитель 2 множитель произведение

1 множитель · 2 множитель = произведение

Свойства умножения.

1. Переместительное. а · b = b · a

От перестановки множителей, произведение не меняется.

2. Сочетательное. а · ( b · с ) = ( а · b ) · c

Чтобы число а умножить на произведение чисел b и с, можно

произведение чисел а и b умножить на число с.

3. Распределительное. ( а + b ) · с = ас + bc, ( а - b ) · с = ас – bc

Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое

умножить на это число и полученные результаты сложить.

3. Свойство единицы. 1 · а = а · 1 = а

Если число умножить на 1, то получится то же число.

4. Свойство нуля. а · 0 = 0 · а = а

Если число умножить на 0, то получится 0.

ДЕЛЕНИЕ

а : b = c

делимое делитель частное

делимое : делитель = частное

Свойства деления.

1. Свойство единицы. а : 1 = а; а : а = 1

Если число разделить на 1, то получится то же число.

Если число разделить само на себя, то получится 1.

2. Свойство нуля. 0 · а = 0

Если 0 разделить на число, то получится 0: 0 : а = 0

5

а : 0 = нельзя ДЕЛИТЬ НА

0

НЕЛЬЗЯ !!!

6

Конспект № 4

УРАВНЕНИЯ

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число (переменную).

Корень уравнения – это значение переменной, при котором уравнение

обращается в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней

нет.

1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть (от

суммы отнять) известное слагаемое.

348 + х = 590

х = 590 – 348

х = 242 х – говорим ИКС

Ответ: х = 242

2) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить

вычитаемое.

х – 24 = 38

х = 38 + 24

х = 62

Ответ: х = 62

3) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть

разность.

124 – х = 32

х = 124 – 32

х = 92

Ответ: х = 92

4) Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить

на известный множитель.

35 · х = 105

х = 105 : 35

х = 3

Ответ: х = 3

5) Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на

делитель.

х : 15 = 8

х = 8 · 15

х = 120

Ответ: х = 120

4) Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на

частное.

325 : х = 13

х = 325 : 13

х = 25

7

Ответ: х = 25

Конспект № 5

Деление с остатком

Примеры:

Конспект № 6

Упрощение выражений

3a + 7a = (3 + 7) · a = 10a

26x – 12x = (26 – 12) · x = 14x

69 · 27 + 31 · 27 = (69 + 31) · 27 = 100 · 27 = 2700

8

Конспект № 7

Порядок выполнения действий

1 2 3 1 2 3 4 2 1 3

a – b + c – d = a : b · c · d = a – b : (c + d) · e =

9

Конспект № 8

Степень числа

5

2

2 – это основание 5 – это степень

17 · 17 = 17² = 289 17² = 17 · 17 n² = n · n - это квадрат числа

3 · 3 · 3 = 3³ = 27 3³ = 3 · 3 · 3 n³ = n · n · n - это куб числа

7¹ = 7, 16¹ = 16, 1¹ = 1

Конспект № 9

Формулы

S – это путь, расстояние S = ʋ · t - это формула расстояния (м)

ʋ - это скорость ʋ = S : t - это формула скорости (м/с)

t – это время t = S : ʋ - это формула времени (с)

+

ʋ - сближения, ʋ = ʋ

1

+ ʋ

2

ʋ - удаления

+

ʋ – удаления, ʋ = ʋ

1

-

ʋ

2

+ ʋ

2

-

10

х + b = c x = c – b

а + x = c x = c – a

х – b = c x = b + c

a – x = c x = a – c

х · b = c x = c ׃ b

a · x = c x = c ׃ a

х ׃ b = c x = b · c

a : x = c x = a : c

11

Конспект № 10

Площадь. Периметр. Объем.

Единицы длины

1 см = 10 мм

1 дм = 10 см

1 м = 10 дм

Единицы площади

1 см² = 100 мм²

1 дм² = 100 см²

1 м² = 100 дм²

1 а = 100 м²

1 га = 100 а

1 га = 10 000 м²

1 км² = 100 га

Единицы объема

1 см³ = 1000 мм³

1 дм³ = 1000 см³

1 м³ = 1000 дм³

1 км³ = 1 000 000 000 м³

1 л = 1 дм³

1 л = 1 000 см³

см – сантиметр

дм – дециметр

м - метр

мм² - миллиметр в

квадрате

см² - сантиметр в

квадрате

дм² - дециметр в

квадрате

м² - метр в квадрате

км² - километр в

квадрате

а - ар

га - гектар

см³ - сантиметр в кубе

дм³ - дециметр в кубе

м³ - метр в кубе

км³ - километр в кубе

л - литр

Прямоугольник

S = a · b

-

площадь прямоугольника

a - длина

b – ширина

P = 2 · (a + b) – периметр прямоугольника

Квадрат

S = a · a - площадь квадрата

S = a² - площадь квадрата

a – сторона квадрата

P = 4 · a - периметр квадрата

Прямоугольный

параллелепипед

S = 2 · (ab + bc + ac)

–

площадь

параллелепипеда

а – длина

b – ширина

с – высота

V = a · b · c - объем паралелепипеда

Куб

V = a³ - объем куба

12

Конспект № 11

Окружность. Круг.

Окружность

Радиус окружности R

R = D : 2

О –

центр окружности

Диаметр окружности D

D = 2 · R

АD –

диаметр

окружности

Круг

Диаметр круга D

Точки

В,

D

– лежат

на

окружности

Точки

А,

О,

Е

– лежат

внутри круга

Точки

A,

O,

E,

C,

F

– не

лежат на окружности

Точки

C,

F

– лежат

вне

круга

ᴗ АВ - дуга окружности

ᴗ ВА – дуга окружности

П р я м а я

п е р е с е к а е т

окружность

Окружность

1

п е р е с е ка е т

окружность 2

13

Конспект № 12

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

Линейка

–

для

измерения

длины

Измерительная лента (метр) – для измерения длины

Транспортир – для измерения

углов

1 – линейка

2 – измерительный

цилиндр (

для измерения

объема жидкости)

3

– градусник

(

для

измерения

температуры

тела человека)

4

– термометр

(для

измерения

температуры

воздух)

5

– секундомер

(

для

измерения времени)

1 2 3 4 5

Треугольник

14

Конспект № 13

ДРОБИ

Обыкновенные дроби.

Дробь

(

b

а

)

–

одна или несколько равных долей целого.

а – числитель, b – знаменатель.

Знаменатель дроби показывает на сколько равных частей разделено целое.

Числитель дроби показывает сколько таких частей взято.

2

1

-(одна вторая) половина,

3

1

-(одна третья) треть,

4

1

- (одна четвертая)четверть

Деление и дроби:

а : b

=

b

а

,

3 : 4

=

4

3

Правильная дробь –

дробь, у

которой числитель меньше знаменателя.

4

3

< 1

Неправильная дробь –

дробь, у

которой числитель больше или

равен знаменателю.

4

4

= 1,

4

5

> 1

Смешанное число: 1

3

2

= 1 +

3

2

; (

1 – целая часть,

3

2

- дробная часть

)

1

3

2

- говорим ОДНА ЦЕЛАЯ ДВЕ ТРЕТЬИХ

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо числитель

разделить на знаменатель. Частное записать целой частью, остаток –

числителем дробной части, знаменатель оставить прежним.

4

27

= 27 : 4 = 6

4

3

говорим ШЕСТЬ ЦЕЛЫХ ТРИ ЧЕТВЕРТЫХ

Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, надо целую

часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель.

Полученное число записать в числитель неправильной дроби, знаменатель

оставить прежним.

6

4

3

=

4

3

4

6





=

4

27

говорим ДВАДЦАТЬ СЕМЬ ЧЕТВЕРТЫХ

15

16

Конспект № 14

Действия с обыкновенными дробями

1.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями, числители складывают, а

знаменатель оставляют прежним.

Если получается неправильная дробь, выделяют целую часть.

8

3

+

8

4

=

8

7

(семь восьмых);

5

2

+

5

4

=

5

6

= 1

5

1

(одна целая одна пятая)

2.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя

уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют

прежним.

9

7

-

9

5

=

9

2

(две девятых)

3.

Сложение смешанных чисел.

При сложении смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно –

дробные.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, выделяют

из нее целую часть и прибавляют к целой части.

3

5

2

+ 1

5

1

= ( 3 + 1 ) + (

5

2

+

5

1

) = 4 +

5

3

= 4

5

3

(четыре целых три пятых)

3

9

7

+ 2

9

4

= ( 3 + 2 ) + (

9

7

+

9

4

) = 5 +

9

11

= 5 + 1

9

2

= 6

9

2

(шесть целых две

девятых)

4.

Вычитание смешанных чисел.

При вычитании смешанных чисел отдельно находят разность целых и дробных

частей.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, берут 1

из целой части, представляют ее в виде дроби с тем же знаменателем и

прибавляют к дробной части уменьшаемого.

2

5

3

− 1

5

2

= ( 2 – 1 ) + (

5

3

−

5

2

) = 1 +

5

1

= 1

5

1

(одна целая одна пятая)

6

7

3

− 2

7

5

= 5

7

10

− 2

7

5

= ( 5 − 2 ) + (

7

10

−

7

5

) = 3 +

7

5

= 3

7

5

(три целых пять

седьмых)

4−

8

5

= 3

8

8

−

8

5

= 3 + (

8

8

−

8

5

) = 3 +

8

3

= 3

8

3

(три целых три восьмых)

17

18

Конспект № 15

Сравнение дробей

Конспект № 16

Десятичные дроби

Особая запись дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д., в которой целая

часть отделяется от дробной запятой, а знаменатель не пишется.

6

10

3

= 6 + 0,3 = 6,3 (шесть целых три десятых) ; 7

1000

21

= 7

1000

021

= 7,021 (семь целых

двадцать одна тысячная)

Разложение числа по разрядам. 0,456 = 0,4 + 0, 05 + 0, 006

десятые сотые тысячные

Действия с десятичными дробями.

Сложение и вычитание десятичных дробей.

1.

Уравнять количество знаков после запятой (после запятой одинаковое

количество чисел).

2.

Записать запятую под запятой.

3.

Выполнить сложение или вычитание, не обращая внимания (не смотря)

на запятые.

4.

Поставить в ответе запятую под запятыми.

2 , 3 6 7 , 9 0

+ −

3 , 2 6 3 , 4 6

_____________ ___________

5 , 5 6 4 , 4 4

5, 56 – пять целых пятьдесят шесть сотых; 4, 44 – четыре целых сорок четыре сотых

Умножение десятичных дробей.

1.

Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые (последняя

цифра под последней цифрой).

2.

Отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после

запятой в обоих множителях вместе.

19

Деление десятичных дробей на натуральное число.

I.

Если целая часть делимого больше делителя или равна ему, то

нужно делить, не обращая внимания на запятую, а в частном ставить

запятую тогда, когда заканчивается деление целой части.

II.

Если целая часть делимого меньше делителя, то сначала в частном

пишется 0 и ставится запятая, а затем продолжают деление, не

обращая внимания на запятую в делимом.

_ 2 3 , 0 4 |‌_4_ _ 1 , 4 4 |_6

2 0 5,76 1 2 0,24

_ 3 0 _ 2 4

2

8 2 4

_ 2 4 0

2 4

0

5, 76 – пять целых семьдесят шесть сотых; 0, 24 – ноль целых двадцать

четыре сотых

Деление десятичных дробей на десятичную дробь.

1. В делимом и в делителе перенести запятую вправо

на столько цифр,

сколько их после запятой в делителе.

2.

Выполнить деление дроби на натуральное число.

1 , 4 4 : 0 , 0 0 1 2 = 1 4 4 0 0 : 1 2 = 1 2 0 0

(одна тысяча двести)

1 , 2 5 : 0 , 5 = 1 2 , 5 : 5 = 2 , 5

(две целых пять десятых)

20

Умножение и деление десятичных дробей

на 10, 100, 1000 и т.д.; на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

1.

При умножении на 10, 100, 1000 и т.д. или делении на 0,1; 0,01, 0,001

и т. д., запятую передвигают вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

3 , 2 5 8 · 1 0 0 = 3 2 5 , 8

(триста двадцать пять целых восемь десятых)

5 , 6 7 : 0 , 1 = 5 6 , 7

(пятьдесят шесть целых семь десятых)

2.

При делении на 10, 100, 1000 и т. д. или умножении на 0,1; 0,01, 0,001

и т. д., запятую передвигают влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

3 2 , 5 8 : 10 = 3 , 2 5 8

(три целых двести пятьдесят восемь тысячных)

5 6 , 7 · 0 , 0 1 = 0 , 5 6 7

(ноль целых пятьсот шестьдесят семь тысячных)

Умножение на 10, 100, 1000 . . .

Пример: 16, 375 · 10 = 163, 75

16, 375 · 100 = 1637, 5

16, 375 · 1000 = 16 375

на 1, 2, 3…



Деление на 10, 100, 1000 . . .

Пример: 16, 375 : 10 = 1, 63 75

16, 375 : 100 = 0, 1637 5

16, 375 : 1000 = 0, 016 375

21

на 1, 2, 3…

1 6 , 375

1 6 , 3 7 5

22

Конспект № 17

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое = (Сумма чисел) : (количество слагаемых)

n

а

а

а

а

n









...

3

2

1

Пример 1: Найдите среднее арифметическое чисел 0,1; 0,2 и 0,3.

Решение:

0,1; 0,2 и 0,3 - три слагаемых, значит n = 3

(0,1 + 0,2 + 0,3) : 3 = 0,2

Ответ: среднее арифметическое 0,2 (ноль целых две десятых).

Сумма чисел = (Среднее арифметическое) · (количество чисел)

Пример 2: Среднее арифметическое двух чисел равно 3,1. Одно число равно 3,8. Найдите

второе число.

Решение:

1) Найдем сумму чисел

3,1 · 2 = 6,2

2) Найдем второе число

Мы знаем, что одно число 3,8; сумма чисел 6,2

тогда 6,2 – 3,8 = 2,4

Ответ: второе число 2,4.

Конспект № 18

23

Задача 4: В мешке 30 шариков, 6 из них – синие. Каков процент синих шариков?

Решение:

Синие шарики : все шарики · 100% = 6 : 30 · 100 = 20 (%)

Ответ: 20 % шариков – синие.

Задача 5: Машина с прицепом может перевезти 12 тонн груза. Машина вмещает 60 %

груза. Сколько груза вмещает прицеп?

Решение:

12 тонн = 12 000 кг

12 000 кг = 100 %

12 000 : 100 · 60 = 7200 (кг) – груза вмещает машина

12 000 – 7200 = 4800 (кг) – груза вмещает прицеп

Ответ: 4800 кг.

Конспект № 19

24

Угол

Виды углов:

Транспортир

–

прибор

для

измерения

углов.

Острый угол – угол меньше 90°.

Прямой угол – угол равен 90°.

Тупой угол – угол больше 90°.

Развернутый угол – угол равен 180°.

Конспект № 20

Круговые диаграммы

Конспект № 21

25

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

Делителем натурального числа а называется натуральное число,

на которое число а делится без остатка.

Пример: Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

12 : 1 = 12 12 : 3 = 4 12 : 6 = 2

12 : 2 = 6 12 : 4 = 3 12 : 12 = 1

Кратным натурального числа а называется натуральное число,

которое делится без остатка на а.

Пример: Числа кратные числу 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48 и другие…

8 · 1 = 8 8 · 3 = 24 8 · 5 = 40

8 · 2 = 16 8 · 4 = 32 8 · 6 = 48

Признаки делимости.

Число делится на

2

5

10

Если оно оканчивается на

0, 2, 4, 6, 8

0 или 5

0

60 : 2 = 30 60 : 5 = 12 60 : 10 = 6

64 : 2 = 32 65 : 5 = 13

66 : 2 = 33

68 : 2 = 34

Число делится на

3

9

Если сумма цифр числа делится на

3

9

246 : 3 = ? 246 = 2 + 4 + 6 = 12 сумма чисел 12 : 3 = 4, значит 246 : 3 = 82

567 : 9 = ? 567 = 5 + 6 + 7 = 18 сумма чисел 18 : 9 = 2, значит 567 : 9 = 63

Простыми числами называются числа, имеющие два делителя

(1 и само число).

Составными числами называются числа, имеющие более двух

делителей.

Разложить число на простые множители - значит представить это число

в виде произведения простых чисел.

756 2 756 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7; 675 3 675 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5;

378 ‌ 2 225 3

189 3 75 3

63 3 25 5

21 3 5 5

7 7 1

1

Примечание:

делитель меняется на следующий, когда число перестает

делиться на предыдущий.

Наибольший общий делитель натуральных чисел – это

наибольшее натуральное число, на которое все данные числа

26

делятся без остатка.

Д(36) = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; Д(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48;

НОД(36;48) = 12

Взаимно простыми числами называются натуральные числа,

НОД которых равен 1.

Наименьшее общее кратное натуральных чисел – это

наименьшее натуральное число, которое делится без остатка

на все данные числа.

К(12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . .

К(9) = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, . . .

НОК(12;9) = 36

Чтобы найти НОД и НОК натуральных чисел, надо:

НОД

НОК

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Подчеркнуть одинаковые множители в данных

разложениях.

3. Найти произведение

подчеркнутых

множителей в одном из

разложений.

3. Одно из чисел умножить на

оставшиеся множители других

разложений.

54 2 36 2 НОД(54;36) = 2 · 3 · 3 =18;

27 3 18 2

9 3 9 3 НОК(54;36) = 54 · 2 = 108

3 3 3 3 = 36 · 3 = 108.

1 1

84 2 28 2 36 2 НОД(84;28;36) = 2 · 2 = 4;

42 2 14 2 18 2

21 3 7 7 9 3 НОК(84;28;36) = 84 · 3 =252

7 7 1 3 3 = 28 · 3 · 3 = 252

1 1 = 36 · 7 = 252.

Если число

а

делится без остатка на

b

, то НОД( а;b )=

b

, а НОК( а;b ) =

а.

Если числа

а

и

b

- взаимно простые, то НОК( а;b ) =

a · b

.

Конспект № 22

Основное свойство дроби

27

Конспект № 23

Сокращение дробей

Конспект № 24

Приведение дробей к общему знаменателю (НОЗ)

28

Правило: Чтобы найти НОЗ надо:

1)

Найти

НОК

дробей

(как

это

сделать?

посмотри Конспект № 20);

2)

Разделить

НОЗ

на

знаменатели

данных

дробей.

Так

ты

найдешь

дополнительный

множитель для каждой дроби;

3) Умножить числитель и знаменатель каждой

дроби на дополнительный множитель.

Конспект № 25

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Дополнение к Конспекту № 15

29

30

Конспект № 26

Сложение и вычитание смешанных чисел

Дополнение к конспекту № 14

Конспект № 27

Умножение и деление обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Конспект № 28

Нахождение дроби от числа

31

Конспект № 29

Применение распределительного свойства умножения

Умножение

смешанного

числа

н а

натуральное число:

32

Конспект № 30

Взаимно обратные числа

Конспект № 31

Деление

33

Конспект № 32

Нахождение числа по его дроби

34

Конспект № 33

Дробные выражения

Дробное выражение

– это частное двух чисел или выражений, в котором

знак деления обозначен чертой.

Числитель

–

э т о

в ы р а ж е н и е ,

которое стоит над чертой.

Знаменатель –

это

выражение,

которое стоит под чертой.

35

Конспект № 34

Отношения

I. Частное двух чисел называют отношением этих чисел:

Пример № 1: Найти отношения: а) 9 : 5; б) 0,21 : 0,3; в) 51 : 7.

Решение:

Выполняем деление.

Пример № 2: Найти неизвестные члены отношений: а) х : 6 = 24; б) 35 : х = 0,07.

Решение:

а) х : 6 = 24.

Д е л и м о е

р а в н о х, д е л и т е л ь

р а в е н 6,

ч а с т н о е

р а в н о 24. Чтобы

найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

х = 24 · 6

х = 144

Ответ: х = 144

б) 35 : х = 0,07.

Делимое

равно 35,

д е л и т е л ь

р а в е н х,

ч а с т н о е

р а в н о 0,07. Чтобы

найти

неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

х = 35 : 0,07

х = 3500 : 7

х= 500

Ответ: х = 500

II. Если члены данного отношения

переставить

местами, то

получившееся

отношение называют обратным для данного отношения.

III. Отношение не изменится, если оба члена отношения умножить или разделить

на одно и то же число, отличное от нуля.

В самом деле, отношение означает деление.

Члены отношения — это числитель и знаменатель обыкновенной дроби.

36

Конспект № 35

Пропорции

Пропорция – это равенство двух отношений:

a : b = c : d

1)

5)

37

Конспект № 36

Масштаб

Масштаб - это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на

местности (в реальности, в жизни, правда).

Масштаб записывают в виде отношения двух чисел.

Масштаб этой карты 1 : 10 000 000 (см).

Это означает, что в 1 сантиметре (1 см)

н а

к а р т е

п о м е щ а е т с я 10 000 000

сантиметров (100 000 000 см) реального

расстояния.

Или можно сказать, что в 1 сантиметре (1

см) на карте помещается 100 000 метров

(100 м) реального расстояния.

А

также

можно

сказать,

что в

1

сантиметре (1 см) на карте помещается

100

километров

(100

км)

реального

расстояния.

Санкт-Петербург и Москва на карте соединены отрезком длиной в 6,5 (см).

Определим, сколько в реальности (км) между Москвой и Санкт-Петербургом.

Для

решения

этой

задачи

составим

таблицу

и

запишем

в

таблице

нужные

данные.

Неизвестную величину, то, что нам не известно, обозначим буквой «x».

На карте

В реальности

Масштаб

1 (см)

10 000 000 (см)

Расстояние между Москвой и

Санкт - Петербургом

6,5 (см)

х (см)

Составим и решим пропорцию:

Ответ: 650 км — приблизительное расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом.

38

Конспект № 37

Длина окружности и площадь круга

Дополнение к Конспекту № 11.

О – центр окружности

ОК – радиус окружности ( R или r )

AB - диаметр окружности ( D или d )

C = 2 · π · R - длина окружности

R = C : ( 2 · π ) - радиус окружности

π – это число «пи»

π = 3,14 ( всегда! )

S = π · R² - площадь окружности

Конспект № 38

Шар

Шар

Сфера – это поверхность шара.

Что в жизни имеет форму шара? Что похоже на шар?

Футбольный мяч

Глобус

Арбуз

39

Конспект № 39

Координаты на прямой

Положительные

координаты – это числа 1,

2, 3, 4, 5, 6.

Отрицательные

координаты- это числа

-1, -2, -3, -4, -5.

Число

0

–

это

нача ло

отсчета.

1

с м

–

э т о единичный

отрезок

Здесь единичный отрезок равен 4 клеткам (2 см).

Координата

точки

– это

ч и с л о ,

п о к а з ы в а ю щ е е

п о л о ж е н и е

т о ч к и

н а

прямой.

Координаты точек:

M(−1,5) K(−1)

P(12) T(2) F(2,25)

Конспект № 40

Противоположные числа. Модуль числа.

Противоположные числа – это два числа, у которых разные только знаки.

Пример: - 276 противоположное число 276

124 противоположное число – 124

- 7,8 противоположное число 7,8

Модуль числа

Отметим на координатной прямой точку, изображающую число 6. Обозначим ее А.

1.

Точка А находится на расстоянии 6 единичных отрезков справа от О (0).

2.

Есть ли на координатной прямой ещё точки, расстояние от которых до О (0) равно 6

единичным отрезкам?

3.

Для такого расстояния придумано специальное название: модуль числа.

40

Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей число на

координатной прямой до начала отсчета.

Модуль числа а обозначают | а |.

| 6 | = 6, | – 6 | = 6

| – 3,5 | = 3,5; | 3,5 | = 3,5

| 0 | = 0

Модуль никогда не бывает отрицательным.

Пример № 1: а) | 81 | = 81; б) | 1,3 | = 1,3; в) | – 5,2 | = 5,2;

г) | 8/9 | = 8/9; д) | – 5/7 | = 5/7; е) | – 2 9/25 | = 2 9 /25;

Пример № 2: а) | – 8 | – | – 5 | = 8 – 5 = 3 в) | 240 | : | – 80 | = 240 : 80 = 3

б) | – 10 | . | – 15 | = 10 . 15 = 150 г) | 0,1 | . | – 10 | = 0,1 . 10 = 1

Конспект № 41

Сравнение чисел

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

-8,2 < 6

Если два числа отрицательные, то меньше то, модуль которого больше.

-16 < -10

Ноль больше любого отрицательного числа.

0 > -5 ; -15 > 0

Ноль меньше любого положительного числа.

0 ˂ 20

41

Конспект № 42

Сложение отрицательных чисел чисел с разными знаками

42